Geometría finita

Una geometría finita es cualquier sistema geométrico que tiene solo un número finito de puntos . La geometría euclidiana familiar no es finita, porque una línea euclidiana contiene infinitos puntos. Una geometría basada en los gráficos que se muestran en una pantalla de computadora, donde los píxeles se consideran los puntos, sería una geometría finita. Si bien hay muchos sistemas que podrían llamarse geometrías finitas, se presta mayor atención a los espacios proyectivos y afines finitos debido a su regularidad y simplicidad. Otros tipos significativos de geometría finita son los planos finitos de Möbius o inversos y los planos de Laguerre , que son ejemplos de un tipo general llamado planos de Benz , y sus análogos de dimensiones superiores, como las geometrías inversoras finitas superiores .

Las geometrías finitas pueden construirse mediante álgebra lineal , a partir de espacios vectoriales sobre un cuerpo finito ; los planos afines y proyectivos así construidos se denominan geometrías de Galois . Las geometrías finitas también pueden definirse de forma puramente axiomática. Las geometrías finitas más comunes son las geometrías de Galois, ya que cualquier espacio proyectivo finito de dimensión tres o mayor es isomorfo a un espacio proyectivo sobre un cuerpo finito (es decir, la proyectivización de un espacio vectorial sobre un cuerpo finito). Sin embargo, la dimensión dos tiene planos afines y proyectivos que no son isomorfos a las geometrías de Galois, es decir, los planos no desarguesianos . Se obtienen resultados similares para otros tipos de geometrías finitas.

Las siguientes observaciones se aplican únicamente a planos finitos . Existen dos tipos principales de geometría de planos finitos: afín y proyectiva . En un plano afín , se aplica el sentido normal de líneas paralelas . En un plano proyectivo , por el contrario, dos líneas cualesquiera se intersecan en un único punto, por lo que no existen líneas paralelas. Tanto la geometría de planos afines finitos como la geometría de planos proyectivos finitos pueden describirse mediante axiomas bastante simples .

Una geometría plana afín es un conjunto no vacío X (cuyos elementos se denominan "puntos"), junto con una colección no vacía L de subconjuntos de X (cuyos elementos se denominan "líneas"), tales que:

1. Por cada dos puntos distintos, hay exactamente una línea que contiene ambos puntos.
2. Axioma de Playfair : Dada una línea y un punto que no está en , existe exactamente una línea que contiene tal que${\displaystyle \ell }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell '}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \ell \cap \ell '=\varnothing .}$
3. Existe un conjunto de cuatro puntos, de los cuales ninguno pertenece a la misma línea.

El último axioma asegura que la geometría no sea trivial (ni vacía ni demasiado simple para ser de interés, como una sola línea con un número arbitrario de puntos), mientras que los dos primeros especifican la naturaleza de la geometría.

El plano afín más simple contiene sólo cuatro puntos; se llama plano afín de orden 2. (El orden de un plano afín es el número de puntos en cualquier línea, véase más abajo). Como no hay tres puntos colineales, cualquier par de puntos determina una línea única, por lo que este plano contiene seis líneas. Corresponde a un tetraedro donde las aristas que no se intersecan se consideran "paralelas", o a un cuadrado donde no sólo los lados opuestos, sino también las diagonales se consideran "paralelas".

El plano afín de orden 3 se conoce como configuración de Hesse .

De manera más general, un plano afín finito de orden n tiene n ² puntos y n ² + n líneas; cada línea contiene n puntos y cada punto está en n + 1 líneas.

Una geometría plana proyectiva es un conjunto no vacío X (cuyos elementos se denominan "puntos"), junto con una colección no vacía L de subconjuntos de X (cuyos elementos se denominan "líneas"), tales que:

1. Por cada dos puntos distintos, hay exactamente una línea que contiene ambos puntos.
2. La intersección de dos líneas distintas contiene exactamente un punto.
3. Existe un conjunto de cuatro puntos, de los cuales ninguno pertenece a la misma línea.

Un examen de los dos primeros axiomas muestra que son casi idénticos, excepto que se han intercambiado los papeles de los puntos y las líneas. Esto sugiere el principio de dualidad para las geometrías proyectivas del plano, lo que significa que cualquier enunciado verdadero válido en todas estas geometrías sigue siendo verdadero si intercambiamos puntos por líneas y líneas por puntos. La geometría más pequeña que satisface los tres axiomas contiene siete puntos. En este plano proyectivo, el más simple, también hay siete líneas; cada punto está en tres líneas y cada línea contiene tres puntos.

Este plano proyectivo en particular se denomina a veces plano de Fano . Si se elimina cualquiera de las líneas del plano, junto con los puntos de esa línea, la geometría resultante es el plano afín de orden 2. El plano de Fano se denomina plano proyectivo de orden 2 porque es único (salvo isomorfismo). En general, el plano proyectivo de orden n tiene n ²  +  n  + 1 puntos y el mismo número de líneas; cada línea contiene n  + 1 puntos y cada punto está en n  + 1 líneas.

Una permutación de los siete puntos del plano de Fano que lleva puntos colineales (puntos en la misma línea) a puntos colineales se llama colineación del plano. El grupo de colineación completo es de orden 168 y es isomorfo al grupo PSL(2,7) ≈ PSL(3,2), que en este caso especial también es isomorfo al grupo lineal general GL(3,2) ≈ PGL(3,2) .

Un plano finito de orden n es aquel en el que cada línea tiene n puntos (para un plano afín), o en el que cada línea tiene n + 1 puntos (para un plano proyectivo). Una de las principales preguntas abiertas en la geometría finita es:

¿El orden de un plano finito es siempre una potencia prima?

Se supone que esto es cierto.

Los planos afines y proyectivos de orden n existen siempre que n sea una potencia prima (un número primo elevado a un exponente entero positivo ), utilizando planos afines y proyectivos sobre el cuerpo finito con n = p ^k elementos. También existen planos no derivados de cuerpos finitos (por ejemplo, para ), pero todos los ejemplos conocidos tienen orden de una potencia prima. ^[1] ${\displaystyle n=9}$

El mejor resultado general hasta la fecha es el teorema de Bruck-Ryser de 1949, que establece:

Si n es un entero positivo de la forma 4 k + 1 o 4 k + 2 y n no es igual a la suma de dos cuadrados enteros , entonces n no ocurre como el orden de un plano finito.

El entero más pequeño que no es una potencia prima y no está cubierto por el teorema de Bruck-Ryser es 10; 10 tiene la forma 4 k + 2 , pero es igual a la suma de cuadrados 1 ² + 3 ² . La no existencia de un plano finito de orden 10 se demostró en una prueba asistida por computadora que finalizó en 1989; consulte (Lam 1991) para obtener más detalles.

El siguiente número más pequeño a considerar es 12, para el cual no se ha demostrado ni un resultado positivo ni negativo.

Se pueden encontrar ejemplos individuales en el trabajo de Thomas Penyngton Kirkman (1847) y en el desarrollo sistemático de la geometría proyectiva finita dado por von Staudt (1856).

El primer tratamiento axiomático de la geometría proyectiva finita fue desarrollado por el matemático italiano Gino Fano . En su trabajo ^[2] sobre la prueba de la independencia del conjunto de axiomas para el n -espacio proyectivo que desarrolló, ^[3] consideró un espacio tridimensional finito con 15 puntos, 35 líneas y 15 planos (ver diagrama), en el que cada línea tenía solo tres puntos en ella. ^[4]

En 1906 Oswald Veblen y WH Bussey describieron la geometría proyectiva utilizando coordenadas homogéneas con entradas del campo de Galois GF( q ). Cuando se utilizan coordenadas n + 1, la geometría finita n -dimensional se denota PG( n, q ). ^[5] Surge en geometría sintética y tiene un grupo de transformación asociado .

Para conocer algunas diferencias importantes entre la geometría del plano finito y la geometría de espacios finitos de dimensiones superiores, véase espacio proyectivo axiomático . Para un análisis de los espacios finitos de dimensiones superiores en general, véase, por ejemplo, los trabajos de JWP Hirschfeld . El estudio de estos espacios de dimensiones superiores ( n ≥ 3 ) tiene muchas aplicaciones importantes en las teorías matemáticas avanzadas.

Un espacio proyectivo S puede definirse axiomáticamente como un conjunto P (el conjunto de puntos), junto con un conjunto L de subconjuntos de P (el conjunto de líneas), que satisfacen estos axiomas: ^[6]

• Cada dos puntos distintos p y q están exactamente en una línea.
• Axioma de Veblen : ^[7] Si a , b , c , d son puntos distintos y las líneas que pasan por ab y cd se cruzan, entonces también lo hacen las líneas que pasan por ac y bd .
• Cualquier línea tiene al menos 3 puntos.

El último axioma elimina los casos reducibles que pueden escribirse como una unión disjunta de espacios proyectivos junto con líneas de 2 puntos que unen dos puntos cualesquiera en espacios proyectivos distintos. De manera más abstracta, puede definirse como una estructura de incidencia ( P , L , I ) que consiste en un conjunto P de puntos, un conjunto L de líneas y una relación de incidencia I que indica qué puntos se encuentran en qué líneas.

Para obtener un espacio proyectivo finito se requiere un axioma más:

• El conjunto de puntos P es un conjunto finito.

En cualquier espacio proyectivo finito, cada línea contiene el mismo número de puntos y el orden del espacio se define como uno menos que este número común.

Un subespacio del espacio proyectivo es un subconjunto X , de modo que cualquier recta que contenga dos puntos de X es un subconjunto de X (es decir, está completamente contenido en X ). El espacio lleno y el espacio vacío son siempre subespacios.

Se dice que la dimensión geométrica del espacio es n si ese es el número más grande para el cual existe una cadena estrictamente ascendente de subespacios de esta forma:

${\displaystyle \varnothing =X_{-1}\subset X_{0}\subset \cdots \subset X_{n}=P.}$

Una construcción algebraica estándar de sistemas satisface estos axiomas. Para un anillo de división D, construya un espacio vectorial ( n + 1) -dimensional sobre D (la dimensión del espacio vectorial es el número de elementos en una base). Sean P los subespacios unidimensionales (un solo generador) y L los subespacios bidimensionales (dos generadores independientes) (cerrados bajo la adición vectorial) de este espacio vectorial. La incidencia es contención. Si D es finito, entonces debe ser un cuerpo finito GF( q ), ya que por el pequeño teorema de Wedderburn todos los anillos de división finitos son cuerpos. En este caso, esta construcción produce un espacio proyectivo finito. Además, si la dimensión geométrica de un espacio proyectivo es al menos tres, entonces hay un anillo de división a partir del cual se puede construir el espacio de esta manera. En consecuencia, todos los espacios proyectivos finitos de dimensión geométrica al menos tres están definidos sobre cuerpos finitos. Un espacio proyectivo finito definido sobre un cuerpo finito de este tipo tiene q + 1 puntos en una línea, por lo que los dos conceptos de orden coinciden. Un espacio proyectivo finito de este tipo se denota por PG( n , q ) , donde PG representa geometría proyectiva, n es la dimensión geométrica de la geometría y q es el tamaño (orden) del campo finito utilizado para construir la geometría.

En general, el número de subespacios k -dimensionales de PG( n , q ) viene dado por el producto: ^[8]

${\displaystyle {{n+1} \choose {k+1}}_{q}=\prod _{i=0}^{k}{\frac {q^{n+1-i}-1}{q^{i+1}-1}},}$

que es un coeficiente binomial gaussiano , un análogo q de un coeficiente binomial .

• Dimensión 0 (sin líneas): El espacio es un único punto y es tan degenerado que normalmente se ignora.
• Dimensión 1 (exactamente una línea): todos los puntos se encuentran en la única línea, llamada línea proyectiva .
• Dimensión 2: Hay al menos 2 rectas y dos rectas cualesquiera se cortan. Un espacio proyectivo para n = 2 es un plano proyectivo . Estos son mucho más difíciles de clasificar, ya que no todos son isomorfos con un PG( d , q ) . Los planos desarguesianos (aquellos que son isomorfos con un PG(2, q ) ) satisfacen el teorema de Desargues y son planos proyectivos sobre cuerpos finitos, pero hay muchos planos no desarguesianos .
• Dimensión al menos 3: existen dos líneas que no se intersecan. El teorema de Veblen-Young establece que, en el caso finito, todo espacio proyectivo de dimensión geométrica n ≥ 3 es isomorfo con un PG( n , q ) , el espacio proyectivo n -dimensional sobre algún cuerpo finito GF( q ).

El espacio proyectivo tridimensional más pequeño se encuentra sobre el cuerpo GF(2) y se denota por PG(3,2) . Tiene 15 puntos, 35 líneas y 15 planos. Cada plano contiene 7 puntos y 7 líneas. Cada línea contiene 3 puntos. Como geometrías, estos planos son isomorfos al plano de Fano .

Cada punto está contenido en 7 líneas. Cada par de puntos distintos está contenido en exactamente una línea y cada par de planos distintos se interseca en exactamente una línea.

En 1892, Gino Fano fue el primero en considerar dicha geometría finita.

PG(3,2) surge como el antecedente para una solución del problema de las colegialas de Kirkman , que establece: "Quince colegialas caminan cada día en cinco grupos de tres. Organice la caminata de las niñas durante una semana de modo que, en ese tiempo, cada par de niñas camine junta en un grupo solo una vez". Hay 35 combinaciones diferentes para que las niñas caminen juntas. También hay 7 días de la semana y 3 niñas en cada grupo. Dos de las siete soluciones no isomorfas a este problema se pueden expresar en términos de estructuras en el espacio de Fano 3, PG(3,2), conocidas como empaquetamientos . Una extensión de un espacio proyectivo es una partición de sus puntos en líneas disjuntas, y un empaquetamiento es una partición de las líneas en extensiones disjuntas. En PG(3,2), una extensión sería una partición de los 15 puntos en 5 líneas disjuntas (con 3 puntos en cada línea), lo que correspondería a la disposición de las colegialas en un día en particular. Un empaque de PG(3,2) consta de siete distribuciones disjuntas y, por lo tanto, corresponde a una semana completa de disposiciones.

• Diseño de bloques : una generalización de un plano proyectivo finito.
• Espacio discreto
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• Polígono generalizado
• Geometría de incidencia
• Espacio lineal (geometría)
• Cerca del polígono
• Geometría parcial
• Espacio polar

• Batten, Lynn Margaret (1997), Combinatoria de geometrías finitas , Cambridge University Press, ISBN 0521590140
• Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998), Geometría proyectiva: de los fundamentos a las aplicaciones , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-48364-3, Sr.  1629468
• Collino, Alberto; Conte, Alberto; Verra, Alessandro (2013). "Sobre la vida y obra científica de Gino Fano". arXiv : 1311.7177 [matemáticas HO].
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• Lam, CWH (1991), "La búsqueda de un plano proyectivo finito de orden 10", American Mathematical Monthly , 98 (4): 305–318, doi :10.2307/2323798, JSTOR  2323798

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• Geometría de incidencia de Eric Moorhouse
• Geometría combinatoria algebraica por Terence Tao
• Ensayo sobre geometría finita de Michael Greenberg
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• Recursos de geometría finita Archivado el 27 de septiembre de 2011 en Wayback Machine
• JWP Hirschfeld, investigador en geometrías finitas
  • Libros de Hirschfeld sobre geometría finita
• Columna AMS: ¿Geometrías finitas?
• Geometría de Galois y polígonos generalizados, curso intensivo en 1998
• Carnahan, Scott (2007-10-27), "Pequeños conjuntos finitos", Secret Blogging Seminar , notas sobre una charla de Jean-Pierre Serre sobre las propiedades geométricas canónicas de pequeños conjuntos finitos.{{citation}}: CS1 maint: postscript (link)
• “Problema 31: el problema de la colegiala de Kirkman” en Wayback Machine (archivado el 17 de agosto de 2010)
• Plano proyectivo de orden 12 en MathOverflow.