Coeficiente binomial gaussiano

En matemáticas , los coeficientes binomiales de Gauss (también llamados coeficientes gaussianos , polinomios gaussianos o coeficientes q -binomiales ) son análogos q de los coeficientes binomiales . El coeficiente binomial de Gauss, escrito como o , es un polinomio en q con coeficientes enteros, cuyo valor cuando q se establece a una potencia prima cuenta el número de subespacios de dimensión k en un espacio vectorial de dimensión n sobre , un cuerpo finito con q elementos; es decir, es el número de puntos en el Grassmanniano finito . ${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}}$${\displaystyle \mathbb {F}_{q}}$ ${\displaystyle \mathrm {Gr} (k,\mathbb {F} _{q}^{n})}$

Los coeficientes binomiales gaussianos se definen por: ^[1]

${\displaystyle {m \choose r}_{q}={\frac {(1-q^{m})(1-q^{m-1})\cdots (1-q^{m-r+1})}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{r})}}}$

donde m y r son números enteros no negativos. Si r > m , el resultado es 0. Para r = 0 , el valor es 1, ya que tanto el numerador como el denominador son productos vacíos .

Aunque la fórmula a primera vista parece ser una función racional , en realidad es un polinomio, porque la división es exacta en Z [ q ]

Todos los factores en numerador y denominador son divisibles por 1 − q , y el cociente es el número q :

${\displaystyle [k]_{q}=\sum _{0\leq i<k}q^{i}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{k-1}={\begin{cases}{\frac {1-q^{k}}{1-q}}&{\text{para}}&q\neq 1\\k&{\text{para}}&q=1\end{cases}},}$

Dividiendo estos factores se obtiene la fórmula equivalente

${\displaystyle {m \choose r}_{q}={\frac {[m]_{q}[m-1]_{q}\cdots [m-r+1]_{q}}{[1]_{q}[2]_{q}\cdots [r]_{q}}}\quad (r\leq m).}$

En términos del factorial q , la fórmula se puede expresar como ${\displaystyle [n]_{q}!=[1]_{q}[2]_{q}\cdots [n]_{q}}$

${\displaystyle {m \choose r}_{q}={\frac {[m]_{q}!}{[r]_{q}!\,[mr]_{q}!}}\quad (r\leq m).}$

Sustituyendo q = 1 se obtiene el coeficiente binomial ordinario . ${\displaystyle {\tbinom {m}{r}}_{q}}$${\displaystyle {\tbinom {m}{r}}}$

El coeficiente binomial gaussiano tiene valores finitos como : ${\displaystyle m\rightarrow \infty }$

${\displaystyle {\infty \choose r}_{q}=\lim _{m\rightarrow \infty }{m \choose r}_{q}={\frac {1}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{r})}}={\frac {1}{[r]_{q}!\,(1-q)^{r}}}}$

${\displaystyle {0 \choose 0}_{q}={1 \choose 0}_{q}=1}$

${\displaystyle {1 \choose 1}_{q}={\frac {1-q}{1-q}}=1}$

${\displaystyle {2 \choose 1}_{q}={\frac {1-q^{2}}{1-q}}=1+q}$

${\displaystyle {3 \choose 1}_{q}={\frac {1-q^{3}}{1-q}}=1+q+q^{2}}$

${\displaystyle {3 \choose 2}_{q}={\frac {(1-q^{3})(1-q^{2})}{(1-q)(1-q^{2})}}=1+q+q^{2}}$

${\displaystyle {4 \choose 2}_{q}={\frac {(1-q^{4})(1-q^{3})}{(1-q)(1-q^{2})}}=(1+q^{2})(1+q+q^{2})=1+q+2q^{2}+q^{3}+q^{4}}$

${\displaystyle {6 \choose 3}_{q}={\frac {(1-q^{6})(1-q^{5})(1-q^{4})}{(1-q)(1-q^{2})(1-q^{3})}}=(1+q^{2})(1+q^{3})(1+q+q^{2}+q^{3}+q^{4})=1+q+2q^{2}+3q^{3}+3q^{4}+3q^{5}+3q^{6}+2q^{7}+q^{8}+q^{9}}$

Una descripción combinatoria de los coeficientes binomiales gaussianos implica inversiones .

El coeficiente binomial ordinario cuenta las r combinaciones elegidas de un conjunto de m elementos. Si se considera que esos m elementos son las diferentes posiciones de caracteres en una palabra de longitud m , entonces cada r combinación corresponde a una palabra de longitud m utilizando un alfabeto de dos letras, digamos {0,1}, con r copias de la letra 1 (que indican las posiciones en la combinación elegida) y m − r letras 0 (para las posiciones restantes). ${\displaystyle {\tbinom {m}{r}}}$

Así, por ejemplo, las palabras que utilizan 0 y 1 son . ${\displaystyle {4 \choose 2}=6}$${\displaystyle 0011,0101,0110,1001,1010,1100}$

Para obtener el coeficiente binomial gaussiano , a cada palabra se le asocia un factor q ^d , donde d es el número de inversiones de la palabra, donde, en este caso, una inversión es un par de posiciones donde la izquierda del par contiene la letra 1 y la posición derecha contiene la letra 0 . ${\displaystyle {\tbinom {m}{r}}_{q}}$

En el ejemplo anterior, hay una palabra con 0 inversiones, , una palabra con 1 inversión, , dos palabras con 2 inversiones, , , una palabra con 3 inversiones, , y una palabra con 4 inversiones, . Este es también el número de desplazamientos a la izquierda de los 1 s desde la posición inicial. ${\displaystyle 0011}$${\displaystyle 0101}$${\displaystyle 0110}$${\displaystyle 1001}$${\displaystyle 1010}$${\displaystyle 1100}$

Estos corresponden a los coeficientes en . ${\displaystyle {4 \choose 2}_{q}=1+q+2q^{2}+q^{3}+q^{4}}$

Otra forma de ver esto es asociar cada palabra con un camino a través de una cuadrícula rectangular con altura r y ancho m − r , que va desde la esquina inferior izquierda hasta la esquina superior derecha. El camino da un paso hacia la derecha por cada 0 y un paso hacia arriba por cada 1 . Una inversión cambia las direcciones de un paso (derecha+arriba se convierte en arriba+derecha y viceversa), por lo tanto, el número de inversiones es igual al área bajo el camino.

Sea el número de formas de lanzar bolas indistinguibles a contenedores indistinguibles, donde cada contenedor puede contener hasta bolas. El coeficiente binomial gaussiano se puede utilizar para caracterizar . De hecho, ${\displaystyle B(n,m,r)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle B(n,m,r)}$

${\displaystyle B(n,m,r)=[q^{r}]{n+m \choose m}_{q}.}$

donde denota el coeficiente de un polinomio (ver también la sección Aplicaciones a continuación). ${\displaystyle [q^{r}]P}$${\displaystyle q^{r}}$${\displaystyle P}$

Al igual que los coeficientes binomiales ordinarios, los coeficientes binomiales gaussianos son simétricos al centro, es decir, invariantes bajo la reflexión : ${\displaystyle r\rightarrow m-r}$

${\displaystyle {m \choose r}_{q}={m \choose m-r}_{q}.}$

En particular,

${\displaystyle {m \choose 0}_{q}={m \choose m}_{q}=1\,,}$

${\displaystyle {m \choose 1}_{q}={m \choose m-1}_{q}={\frac {1-q^{m}}{1-q}}=1+q+\cdots +q^{m-1}\quad m\geq 1\,.}$

La evaluación de un coeficiente binomial gaussiano en q = 1 es

${\displaystyle \lim _{q\to 1}{\binom {m}{r}}_{q}={\binom {m}{r}}}$

es decir, la suma de los coeficientes da el valor binomial correspondiente.

El grado de es . ${\displaystyle {\binom {m}{r}}_{q}}$${\displaystyle {\binom {m+1}{2}}-{\binom {r+1}{2}}-{\binom {(m-r)+1}{2}}=r(m-r)}$

Los análogos de la identidad de Pascal para los coeficientes binomiales gaussianos son: ^[2]

${\displaystyle {m \choose r}_{q}=q^{r}{m-1 \choose r}_{q}+{m-1 \choose r-1}_{q}}$

y

${\displaystyle {m \choose r}_{q}={m-1 \choose r}_{q}+q^{m-r}{m-1 \choose r-1}_{q}.}$

Cuando , ambas dan la identidad binomial habitual. Podemos ver que como , ambas ecuaciones siguen siendo válidas. ${\displaystyle q=1}$${\displaystyle m\to \infty }$

El primer análogo de Pascal permite el cálculo de los coeficientes binomiales gaussianos de forma recursiva (con respecto a m ) utilizando los valores iniciales

${\displaystyle {m \choose m}_{q}={m \choose 0}_{q}=1}$

y también muestra que los coeficientes binomiales gaussianos son de hecho polinomios (en q ).

El segundo análogo de Pascal se deriva del primero utilizando la sustitución y la invariancia de los coeficientes binomiales gaussianos bajo la reflexión . ${\displaystyle r\rightarrow m-r}$${\displaystyle r\rightarrow m-r}$

Estas identidades tienen interpretaciones naturales en términos de álgebra lineal. Recordemos que cuenta subespacios r -dimensionales , y sea una proyección con un espacio nulo unidimensional . La primera identidad proviene de la biyección que lleva al subespacio ; en el caso , el espacio es r -dimensional, y también debemos llevar un registro de la función lineal cuyo gráfico es ; pero en el caso , el espacio es ( r −1)-dimensional, y podemos reconstruir sin ninguna información adicional. La segunda identidad tiene una interpretación similar, tomando para un espacio ( m −1)-dimensional , nuevamente dividiéndose en dos casos. ${\displaystyle {\tbinom {m}{r}}_{q}}$${\displaystyle V\subset \mathbb {F} _{q}^{m}}$${\displaystyle \pi :\mathbb {F} _{q}^{m}\to \mathbb {F} _{q}^{m-1}}$${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle V\subset \mathbb {F} _{q}^{m}}$${\displaystyle V'=\pi (V)\subset \mathbb {F} _{q}^{m-1}}$${\displaystyle E_{1}\not \subset V}$${\displaystyle V'}$${\displaystyle \phi :V'\to E_{1}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle E_{1}\subset V}$${\displaystyle V'}$${\displaystyle V=\pi ^{-1}(V')}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V'=V\cap E_{n-1}}$${\displaystyle E_{m-1}}$

Ambos análogos se pueden demostrar observando primero que de la definición de , tenemos: ${\displaystyle {\tbinom {m}{r}}_{q}}$

Como

${\displaystyle {\frac {1-q^{m}}{1-q^{m-r}}}={\frac {1-q^{r}+q^{r}-q^{m}}{1-q^{m-r}}}=q^{r}+{\frac {1-q^{r}}{1-q^{m-r}}}}$

La ecuación ( 1 ) se convierte en:

${\displaystyle {\binom {m}{r}}_{q}=q^{r}{\binom {m-1}{r}}_{q}+{\frac {1-q^{r}}{1-q^{m-r}}}{\binom {m-1}{r}}_{q}}$

y sustituyendo la ecuación ( 3 ) se obtiene el primer análogo.

Un proceso similar, utilizando

${\displaystyle {\frac {1-q^{m}}{1-q^{r}}}=q^{m-r}+{\frac {1-q^{m-r}}{1-q^{r}}}}$

En cambio, da el segundo análogo.

Existe un análogo del teorema binomial para coeficientes q -binomiales, conocido como teorema binomial de Cauchy:

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}(1+q^{k}t)=\sum _{k=0}^{n}q^{k(k-1)/2}{n \choose k}_{q}t^{k}.}$

Al igual que el teorema binomial habitual, esta fórmula tiene numerosas generalizaciones y extensiones; una de ellas, correspondiente al teorema binomial generalizado de Newton para potencias negativas, es

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{1-q^{k}t}}=\sum _{k=0}^{\infty }{n+k-1 \choose k}_{q}t^{k}.}$

En el límite , estas fórmulas dan como resultado ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$

${\displaystyle \prod _{k=0}^{\infty }(1+q^{k}t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k(k-1)/2}t^{k}}{[k]_{q}!\,(1-q)^{k}}}}$

y

${\displaystyle \prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{k}t}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {t^{k}}{[k]_{q}!\,(1-q)^{k}}}}$.

La configuración proporciona las funciones generadoras para partes distintas y cualesquiera, respectivamente. (Véase también Series hipergeométricas básicas ). ${\displaystyle t=q}$

Con los coeficientes binomiales ordinarios, tenemos:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}={\binom {2n}{n}}}$

Con coeficientes q-binomiales, el análogo es:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}q^{k^{2}}{\binom {n}{k}}_{q}^{2}={\binom {2n}{n}}_{q}}$

Gauss utilizó originalmente los coeficientes binomiales gaussianos en su determinación del signo de la suma cuadrática de Gauss . ^[3]

Los coeficientes binomiales gaussianos aparecen en el recuento de polinomios simétricos y en la teoría de particiones . El coeficiente de q ^r en

${\displaystyle {n+m \choose m}_{q}}$

es el número de particiones de r con m o menos partes, cada una menor o igual a n . De manera equivalente, también es el número de particiones de r con n o menos partes, cada una menor o igual a m .

Los coeficientes binomiales gaussianos también desempeñan un papel importante en la teoría enumerativa de espacios proyectivos definidos sobre un cuerpo finito. En particular, para cada cuerpo finito F _q con q elementos, el coeficiente binomial gaussiano

${\displaystyle {n \choose k}_{q}}$

cuenta el número de subespacios vectoriales de dimensión k de un espacio vectorial de dimensión n sobre F _q (un Grassmanniano ). Cuando se expande como un polinomio en q , produce la conocida descomposición del Grassmanniano en celdas de Schubert. Por ejemplo, el coeficiente binomial de Gauss

${\displaystyle {n \choose 1}_{q}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1}}$

es el número de subespacios unidimensionales en ( F _q ) ⁿ (equivalentemente, el número de puntos en el espacio proyectivo asociado ). Además, cuando q es 1 (respectivamente −1), el coeficiente binomial gaussiano produce la característica de Euler del Grassmanniano complejo (respectivamente real) correspondiente.

El número de subespacios afines de dimensión k de F _q ⁿ es igual a

${\displaystyle q^{n-k}{n \choose k}_{q}}$.

Esto permite otra interpretación de la identidad.

${\displaystyle {m \choose r}_{q}={m-1 \choose r}_{q}+q^{m-r}{m-1 \choose r-1}_{q}}$

como contar los subespacios de dimensión ( r − 1) del espacio proyectivo de dimensión ( m − 1) fijando un hiperplano, contando dichos subespacios contenidos en ese hiperplano y luego contando los subespacios no contenidos en el hiperplano; estos últimos subespacios están en correspondencia biyectiva con los subespacios afines de dimensión ( r − 1) del espacio obtenido al tratar este hiperplano fijo como el hiperplano en el infinito.

En las convenciones comunes en aplicaciones a grupos cuánticos , se utiliza una definición ligeramente diferente; el coeficiente binomial cuántico es

${\displaystyle q^{k^{2}-nk}{n \choose k}_{q^{2}}}$.

Esta versión del coeficiente binomial cuántico es simétrica bajo el intercambio de y . ${\displaystyle q}$${\displaystyle q^{-1}}$

• Lista de análogos q

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• Mukhin, Eugene. «Polinomios simétricos y particiones» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 4 de marzo de 2016.(sin fecha, 2004 o anterior).
• Ratnadha Kolhatkar, Función zeta de las variedades de Grassmann (fecha del 26 de enero de 2004)
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