Geometría parcial

Una estructura de incidencia${\displaystyle C=(P,L,I)}$consta de un conjunto${\displaystyle P}$de puntos, un conjunto${\displaystyle L}$de líneas y una relación de incidencia o conjunto de banderas,${\displaystyle I\subsetequ P\times L}$; un punto${\displaystyle p}$Se dice que es un incidente con una línea${\displaystyle l}$si​${\displaystyle (p,l)\in I}$⁠ . Es una geometría parcial ( finita )si hay números enteros${\displaystyle s,t,\alpha \geq 1}$de tal manera que:

• Para cualquier par de puntos distintos${\displaystyle p}$y​${\displaystyle q}$⁠ , hay como máximo un incidente de línea con ambos.
• Cada línea es incidente con${\displaystyle s+1}$agujas.
• Cada punto es incidente con${\displaystyle t+1}$pauta.
• Si un punto${\displaystyle p}$y una línea${\displaystyle l}$no son incidentes, hay exactamente${\displaystyle \alpha }$pares​${\displaystyle (q,m)\in I}$⁠ , de tal manera que${\displaystyle p}$es incidente con${\displaystyle m}$y${\displaystyle q}$es incidente con ⁠${\displaystyle l}$.​

Una geometría parcial con estos parámetros se denota por ⁠${\displaystyle \mathrm {pg} (s,t,\alpha)}$.​

• El número de puntos viene dado por${\displaystyle {\frac {(s+1)(st+\alpha )}{\alpha }}}$y el número de líneas por${\displaystyle {\frac {(t+1)(st+\alpha )}{\alpha }}}$.​
• El gráfico de puntos (también conocido como gráfico de colinealidad ) de un${\displaystyle \mathrm {pg} (s,t,\alpha)}$es un grafo fuertemente regular :${\displaystyle \mathrm {srg} {\Big (}(s+1){\frac {(st+\alpha )}{\alpha }},s(t+1),s-1+t(\alpha -1),\alpha (t+1){\Big )}}$.​
• Las geometrías parciales son estructuras dualizables: el dual de una${\displaystyle \mathrm {pg} (s,t,\alpha)}$es simplemente un${\displaystyle \mathrm {pg} (t,s,\alpha)}$.​

• Los cuadriláteros generalizados son precisamente esas geometrías parciales.${\displaystyle \mathrm {pg} (s,t,\alpha)}$con​${\displaystyle \alpha =1}$.​
• Los sistemas Steiner${\displaystyle S(2,s+1,ts+1)}$son precisamente esas geometrías parciales${\displaystyle \mathrm {pg} (s,t,\alpha)}$con​${\displaystyle \alpha =s+1}$.​

Un espacio lineal parcial${\displaystyle S=(P,L,I)}$del orden${\displaystyle s,t}$Se denomina geometría semiparcial si hay números enteros.${\displaystyle \alpha \geq 1,\mu }$de tal manera que:

• Si un punto${\displaystyle p}$y una línea${\displaystyle l}$no son incidentes, hay o${\displaystyle 0}$o exactamente${\displaystyle \alpha }$pares​${\displaystyle (q,m)\in I}$⁠ , de tal manera que${\displaystyle p}$es incidente con${\displaystyle m}$y${\displaystyle q}$es incidente con ⁠${\displaystyle l}$.​
• Cada par de puntos no colineales tiene exactamente${\displaystyle \mu }$vecinos comunes.

Una geometría semiparcial es una geometría parcial si y solo si${\displaystyle \mu =\alpha (t+1)}$.​

Se puede demostrar fácilmente que el gráfico de colinealidad de dicha geometría es fuertemente regular con parámetros ⁠${\displaystyle (1+s(t+1)+s(t+1)t(s-\alpha +1)/\mu ,s(t+1),s-1+t(\alpha -1),\mu )}$.​

Un buen ejemplo de dicha geometría se obtiene tomando los puntos afines de${\displaystyle \mathrm {PG} (3,q^{2})}$y solo aquellas líneas que intersecan el plano en el infinito en un punto de un subplano de Baer fijo; tiene parámetros ⁠${\displaystyle (s,t,\alpha ,\mu )=(q^{2}-1,q^{2}+q,q,q(q+1))}$.​

• Grafo fuertemente regular
• Arco máximo

• Brouwer, AE; van Lint, JH (1984), "Grafos fuertemente regulares y geometrías parciales", en Jackson, DM; Vanstone, SA (eds.), Enumeración y diseño , Toronto: Academic Press, pp . 85–122 
• Bose, RC (1963), "Grafos fuertemente regulares, geometrías parciales y diseños parcialmente equilibrados" (PDF) , Pacific J. Math. , 13 : 389–419 , doi : 10.2140/pjm.1963.13.389
• De Clerck, F.; Van Maldeghem, H. (1995), "Algunas clases de geometrías de rango 2", Manual de geometría de incidencia , Ámsterdam: Holanda Septentrional, págs . 
• Thas, JA (2007), "Geometrías parciales", en Colbourn, Charles J.; Dinitz, Jeffrey H. (eds.), Manual de diseños combinatorios (2.ª  ed.), Boca Raton: Chapman & Hall/ CRC, pp. 557–561 , ISBN  1-58488-506-8
• Debroey, I.; Thas, JA (1978), "Sobre geometrías semiparciales", Journal of Combinatorial Theory, Serie A , 25 : 242–250 , doi : 10.1016/0097-3165(78)90016-x