Arco máximo

Un arco maximal en un plano proyectivo finito es el arco ( k , d ) más grande posible en ese plano proyectivo. Si el plano proyectivo finito tiene orden q (hay q + 1 puntos en cualquier línea), entonces para un arco maximal, k , el número de puntos del arco, es el máximo posible (= qd + d − q ) con la propiedad de que ningún punto d + 1 del arco se encuentra en la misma línea.

Dejar${\displaystyle \pi }$Sea un plano proyectivo finito de orden q (no necesariamente desarguesiano ). Los arcos máximos de grado d (2 ≤ d ≤ q − 1) son arcos ( k , d ) en${\displaystyle \pi }$, donde k es máximo con respecto al parámetro d , en otras palabras, k = qd + d − q .

De forma equivalente, se pueden definir arcos máximos de grado d en${\displaystyle \pi }$como conjuntos no vacíos de puntos K tales que cada línea interseca el conjunto en 0 o d puntos.

Algunos autores permiten que el grado de un arco maximal sea 1, q o incluso q + 1. ^{[ 1 ]} Sea K un arco ( k , d ) maximal en un plano proyectivo de orden q , si

• d = 1, K es un punto del plano,
• d = q , K es el complemento de una línea (un plano afín de orden q ), y
• d = q + 1, K es todo el plano proyectivo.

Todos estos casos se consideran ejemplos triviales de arcos máximos, que existen en cualquier tipo de plano proyectivo para cualquier valor de q . Cuando 2 ≤ d ≤ q − 1, el arco máximo se denomina no trivial , y la definición dada anteriormente y las propiedades enumeradas a continuación se refieren a arcos máximos no triviales.

• El número de líneas que pasan por un punto fijo p , que no están en un arco máximo K , que intersecan a K en d puntos, es igual a${\displaystyle (q+1)-{\frac {q}{d}}}$. Por lo tanto, d divide a q .
• En el caso especial de d = 2, los arcos máximos se conocen como hiperóvalos, que solo pueden existir si q es par.
• Un arco K que tiene un punto menos que un arco maximal siempre puede extenderse de forma única a un arco maximal añadiendo a K el punto en el que se encuentran todas las líneas que intersecan a K en d − 1 puntos. ^{[ 2 ]}
• En PG(2, q ) con q impar, no existen arcos maximales no triviales. ^{[ 3 ]}
• En PG(2,2 ^h ), existen arcos máximos para cada grado 2 ^t , 1 ≤ t ≤ h . ^{[ 4 ]}

Se pueden construir geometrías parciales , derivadas de arcos máximos: ^{[ 5 ]}

• Sea K un arco maximal de grado d . Consideremos la estructura de incidencia.${\displaystyle S(K)=(P,B,I)}$donde P contiene todos los puntos del plano proyectivo que no están en K , B contiene todas las líneas del plano proyectivo que intersecan a K en d puntos, y la incidencia I es la inclusión natural. Esta es una geometría parcial  :${\displaystyle pg(qd,q-{\frac {q}{d}},q-{\frac {q}{d}}-d+1)}$.
• Considere el espacio${\displaystyle PG(3,2^{h})(h\geq 1)}$y sea K un arco máximo de grado${\displaystyle d=2^{s}(1\leq s\leq m)}$en un subespacio bidimensional${\displaystyle \pi }$Consideremos una estructura de incidencia.${\displaystyle T_{2}^{*}(K)=(P,B,I)}$donde P contiene todos los puntos que no están en${\displaystyle \pi }$, B contiene todas las líneas que no están en${\displaystyle \pi }$y se cruzan${\displaystyle \pi }$en un punto en K , y I es nuevamente la inclusión natural. ${\displaystyle T_{2}^{*}(K)}$es de nuevo una geometría parcial  :${\displaystyle pg(2^{h}-1,(2^{h}+1)(2^{m}-1),2^{m}-1)\,}$.

• Bola, S.; Blokhuis, A.; Mazzocca, F. (1997), "Los arcos máximos en planos desarguesianos de orden impar no existen", Combinatorica , 17 : 31– 41, doi : 10.1007/bf01196129 , MR 1466573 , Zbl 0880.51003  
• Denniston, RHF (abril de 1969), "Algunos arcos máximos en planos proyectivos finitos", Journal of Combinatorial Theory , 6 (3): 317–319 , doi : 10.1016/s0021-9800(69)80095-5 , MR 0239991 , Zbl 0167.49106  
• Hirschfeld, JWP (1979), Geometrías proyectivas sobre cuerpos finitos , Nueva York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853526-3
• Mathon, Rudolf (2002), "Nuevos arcos maximales en planos desarguesianos", Journal of Combinatorial Theory , Serie A, 97 (2): 353–368 , doi : 10.1006/jcta.2001.3218 , MR 1883870 , Zbl 1010.51009  
• Thas, JA (1974), "Construcción de arcos máximos y geometrías parciales", Geometriae Dedicata , 3 : 61– 64, doi : 10.1007/bf00181361 , MR 0349437 , Zbl 0285.50018