Geometría de incidencia

En matemáticas , la geometría de incidencia es el estudio de las estructuras de incidencia . Una estructura geométrica como el plano euclidiano es un objeto complejo que involucra conceptos como longitud, ángulos, continuidad, intermediación e incidencia . Una estructura de incidencia se obtiene al eliminar todos los demás conceptos y quedar solo la información sobre qué puntos se encuentran en qué líneas. Incluso con esta limitación, se pueden demostrar teoremas y surgen hechos interesantes sobre esta estructura. Estos resultados fundamentales siguen siendo válidos al añadir conceptos adicionales para formar una geometría más rica. A veces, los autores confunden la distinción entre un estudio y los objetos de ese estudio, por lo que no sorprende encontrar que algunos autores se refieren a las estructuras de incidencia como geometrías de incidencia. ^{[ 1 ]}

Las estructuras de incidencia surgen de forma natural y se han estudiado en diversas áreas de las matemáticas. Por consiguiente, existen diferentes terminologías para describir estos objetos. En teoría de grafos se denominan hipergrafos , y en teoría del diseño combinatorio, diseños de bloques . Además de la diferencia terminológica, cada área aborda el tema de manera distinta y se interesa por cuestiones sobre estos objetos que sean relevantes para su disciplina. El uso del lenguaje geométrico, como se hace en la geometría de incidencia, da forma a los temas y ejemplos que se suelen presentar. Sin embargo, es posible traducir los resultados de una disciplina a la terminología de otra, pero esto a menudo conduce a afirmaciones enrevesadas y poco naturales que no parecen derivarse de forma espontánea de los temas tratados. En los ejemplos seleccionados para este artículo, utilizamos únicamente aquellos con un marcado carácter geométrico.

Un caso particular que ha suscitado gran interés trata sobre conjuntos finitos de puntos en el plano euclidiano y lo que se puede decir acerca del número y tipo de líneas (rectas) que determinan. Algunos resultados de esta situación pueden extenderse a contextos más generales, ya que solo se consideran propiedades de incidencia.

Estructuras de incidencia

Una estructura de incidencia $(P, L, I)$ consiste en un conjunto $P$ cuyos elementos se llaman puntos , un conjunto disjunto $L$ cuyos elementos se llaman líneas y una relación de incidencia $I$ entre ellos, es decir, un subconjunto de $P \times L$ cuyos elementos se llaman banderas . ^{[ 2 ]} Si $(A, l)$ es una bandera, decimos que $A$ es incidente con $l$ o que $l$ es incidente con $A$ (la terminología es simétrica), y escribimos $A I l$ . Intuitivamente, un punto y una línea están en esta relación si y solo si el punto está en la línea. Dado un punto $B$ y una línea $m$ que no forman una bandera, es decir, el punto no está en la línea, el par $(B, m)$ se llama antibandera .

Distancia en una estructura de incidencia

En una estructura de incidencia, no existe un concepto natural de distancia (una métrica ). Sin embargo, sí existe una métrica combinatoria en el grafo de incidencia correspondiente (grafo de Levi) , que consiste en la longitud del camino más corto entre dos vértices de dicho grafo bipartito . La distancia entre dos objetos de una estructura de incidencia —dos puntos, dos líneas o un punto y una línea— se define como la distancia entre los vértices correspondientes en el grafo de incidencia de dicha estructura.

Otra forma de definir una distancia utiliza nuevamente un concepto de teoría de grafos en una estructura relacionada, en este caso, el grafo de colinealidad de la estructura de incidencia. Los vértices del grafo de colinealidad son los puntos de la estructura de incidencia, y dos puntos se unen si existe una línea incidente que pasa por ambos. La distancia entre dos puntos de la estructura de incidencia se define entonces como su distancia en el grafo de colinealidad.

Cuando se considera la distancia en una estructura de incidencia, es necesario mencionar cómo se está definiendo.

Espacios lineales parciales

Las estructuras de incidencia más estudiadas son aquellas que satisfacen algunas propiedades adicionales (axiomas), como planos proyectivos , planos afines , polígonos generalizados , geometrías parciales y polígonos cercanos . Se pueden obtener estructuras de incidencia muy generales imponiendo condiciones "suaves", tales como:

Un espacio lineal parcial es una estructura de incidencia para la cual se cumplen los siguientes axiomas: ^{[ 3 ]}

Cada par de puntos distintos determina como máximo una línea.
Cada línea contiene al menos dos puntos distintos.

En un espacio lineal parcial, también es cierto que cada par de líneas distintas se intersecan en un único punto como máximo. Esta afirmación no tiene por qué darse por sentada, ya que se demuestra fácilmente a partir del primer axioma.

Las condiciones de regularidad imponen restricciones adicionales:

RLk : Cada línea incide con el mismo número de puntos. Si es finito, este número se suele denotar por $k$ .

RPr : Cada punto incide con el mismo número de líneas. Si este número es finito, a menudo se denota por $r$ .

El segundo axioma de un espacio lineal parcial implica que $k > 1.$ Ninguna condición de regularidad implica la otra, por lo que debe asumirse que $r > 1$ .

Un espacio lineal parcial finito que satisface ambas condiciones de regularidad con $k, r > 1$ se llama configuración táctica . ^{[ 4 ]} Algunos autores se refieren a estas simplemente como configuraciones , ^{[ 5 ]} o configuraciones proyectivas . ^{[ 6 ]} Si una configuración táctica tiene $n$ puntos y $m$ líneas, entonces, al contar dos veces las banderas, se establece la relación $nr = mk$ . Una notación común se refiere a configuraciones $(n r, m k)$ . En el caso especial donde $n$ $=$ $m$ (y por lo tanto, $r$ $=$ $k$ ) la notación $($ $n$ $k$ $,$ $n$ $k$ $)$ a menudo se escribe simplemente como $($ $n$ $k$ $)$ .

Un espacio lineal es un espacio lineal parcial tal que: ^{[ 7 ]}

Cada par de puntos distintos determina exactamente una línea.

Algunos autores añaden un axioma de "no degeneración" (o "no trivialidad") a la definición de un espacio lineal (parcial), como por ejemplo:

Existen al menos dos líneas distintas. ^{[ 8 ]}

Esto se utiliza para descartar algunos ejemplos muy pequeños (principalmente cuando los conjuntos $P$ o $L$ tienen menos de dos elementos) que normalmente serían excepciones a las afirmaciones generales sobre las estructuras de incidencia. Una alternativa a añadir el axioma es referirse a las estructuras de incidencia que no lo satisfacen como triviales y a las que sí lo satisfacen como no triviales .

Todo espacio lineal no trivial contiene al menos tres puntos y tres líneas, por lo que el espacio lineal no trivial más simple que puede existir es un triángulo.

Un espacio lineal que tiene al menos tres puntos en cada línea es un diseño de Sylvester-Gallai .

Ejemplos geométricos fundamentales

Algunos de los conceptos y la terminología básicos surgen de ejemplos geométricos, en particular de planos proyectivos y planos afines .

Planos proyectivos

Un plano proyectivo es un espacio lineal en el que:

Cada par de líneas distintas se encuentran en un único punto.

y que satisface la condición de no degeneración:

Existen cuatro puntos, de los cuales no hay tres colineales .

Existe una biyección entre $P$ y $L$ en un plano proyectivo. Si $P$ es un conjunto finito, el plano proyectivo se denomina plano proyectivo finito . El orden de un plano proyectivo finito es $n = k - 1$ , es decir, uno menos que el número de puntos en una línea. Todos los planos proyectivos conocidos tienen órdenes que son potencias de números primos $.$ Un plano proyectivo de orden $n$ es una configuración $((n² + n + 1) n + 1) .$

El plano proyectivo más pequeño tiene orden dos y se conoce como el plano de Fano .

Avión Fano

Esta famosa geometría de incidencia fue desarrollada por el matemático italiano Gino Fano . En su trabajo ^{[ 9 ]} sobre la demostración de la independencia del conjunto de axiomas para el espacio proyectivo n- dimensional que desarrolló, ^{[ 10 ]} produjo un espacio tridimensional finito con 15 puntos, 35 líneas y 15 planos, en el que cada línea tenía solo tres puntos. ^{[ 11 ]} Los planos en este espacio consistían en siete puntos y siete líneas y ahora se conocen como planos de Fano .

El plano de Fano no puede representarse en el plano euclidiano utilizando únicamente puntos y segmentos de línea recta (es decir, no es realizable). Esto es consecuencia del teorema de Sylvester-Gallai , según el cual toda geometría de incidencia realizable debe incluir una línea ordinaria , una línea que contiene solo dos puntos. El plano de Fano no posee dicha línea (es decir, es una configuración de Sylvester-Gallai ), por lo que no es realizable. ^{[ 12 ]}

Un cuadrilátero completo consta de cuatro puntos, de los cuales no hay tres colineales. En el plano de Fano, los tres puntos que no pertenecen a un cuadrilátero completo son los puntos diagonales de dicho cuadrilátero y son colineales. Esto contradice el axioma de Fano , frecuentemente utilizado como axioma para el plano euclidiano, que establece que los tres puntos diagonales de un cuadrilátero completo nunca son colineales.

Planos afines

Un plano afín es un espacio lineal que satisface:

Para cualquier punto $A$ y línea $l$ que no sea incidente con él (una antibandera ), existe exactamente una línea $m$ incidente con $A$ (es decir, $A I m$ ), que no cumple con $l$ (conocido como el axioma de Playfair ),

y que cumpla la condición de no degeneración:

Existe un triángulo, es decir, tres puntos no colineales.

Se dice que las líneas $l$ y $m$ del enunciado del axioma de Playfair son paralelas . Todo plano afín puede extenderse de forma única a un plano proyectivo. El orden de un plano afín finito es $k$ $, el número de puntos en una$ línea. Un plano afín de orden $n$ es una configuración $((n²) n +1, (n² + n) n) .$

Configuración de Hesse

El plano afín de tercer orden es una configuración $(9 4, 12 3)$ . Cuando se encuentra inmerso en algún espacio ambiente, se denomina configuración de Hesse . No es realizable en el plano euclidiano, pero sí en el plano proyectivo complejo como los nueve puntos de inflexión de una curva elíptica con las 12 rectas incidentes con tríos de estos.

Las 12 líneas se pueden dividir en cuatro clases de tres líneas cada una, donde, en cada clase, las líneas son disjuntas entre sí. Estas clases se denominan clases paralelas de líneas. Al añadir cuatro puntos nuevos, cada uno a todas las líneas de una misma clase paralela (de modo que todas estas líneas se intersecan), y una nueva línea que contiene solo estos cuatro puntos, se obtiene el plano proyectivo de tercer orden, una configuración $(13 4)$ . Por el contrario, partiendo del plano proyectivo de tercer orden (que es único) y eliminando cualquier línea y todos los puntos que contiene, se obtiene este plano afín de tercer orden (que también es único).

Al eliminar un punto y las cuatro líneas que pasan por ese punto (pero no los otros puntos en ellas) se obtiene la configuración de Möbius-Kantor $(8 3)$ .

Geometrías parciales

Dado un entero $α \geq 1$ , una configuración táctica que satisface:

Para cada anti-bandera $(B, m)$ hay $α$ banderas $(A, l)$ tales que $B I l$ y $A I m$ ,

se denomina geometría parcial . Si hay $s + 1$ puntos en una línea y $t + 1$ líneas que pasan por un punto, la notación para una geometría parcial es $pg(s, t, α)$ .

Si $α = 1,$ estas geometrías parciales son cuadriláteros generalizados .

Si $α = s + 1,$ estos se denominan sistemas de Steiner .

Polígonos generalizados

Para $n > 2$ , ^{[ 13 ]} un $n$ -gono generalizado es un espacio lineal parcial cuyo grafo de incidencia $Γ$ tiene la propiedad:

La circunferencia de $Γ$ (longitud del ciclo más corto ) es el doble del diámetro de $Γ$ (la mayor distancia entre dos vértices, $n$ en este caso).

Un 2-gono generalizado es una estructura de incidencia, que no es un espacio lineal parcial, y consta de al menos dos puntos y dos líneas, donde cada punto incide sobre cada línea. El grafo de incidencia de un 2-gono generalizado es un grafo bipartito completo.

$Un n$ -gono generalizado no contiene ningún $m$ -gono ordinario para $2 \leq m < n$ y para cada par de objetos (dos puntos, dos líneas o un punto y una línea) hay un $n$ -gono ordinario que los contiene a ambos.

Los 3-gonos generalizados son planos proyectivos. Los 4-gonos generalizados se denominan cuadriláteros generalizados . Según el teorema de Feit-Higman, los únicos $n-$ gonos generalizados finitos con al menos tres puntos por línea y tres líneas por punto tienen $n$ = 2, 3, 4, 6 u 8.

Polígonos cercanos

Para un entero no negativo $d, un$ $d-$ gono cercano a $2d$ es una estructura de incidencia tal que:

La distancia máxima (medida en el gráfico de colinealidad) entre dos puntos es $d$ y
Para cada punto $X$ y cada línea l $hay$ un único punto en $l$ que está más cerca de $X.$

Un polígono cercano a cero es un punto, mientras que un polígono cercano a dos es una línea. El grafo de colinealidad de un polígono cercano a dos es un grafo completo . Un polígono cercano a cuatro es un cuadrilátero generalizado (posiblemente degenerado). Todo polígono generalizado finito, excepto los planos proyectivos, es un polígono cercano. Cualquier grafo bipartito conexo es un polígono cercano, y cualquier polígono cercano con exactamente dos puntos por línea es un grafo bipartito conexo. Además, todos los espacios polares duales son polígonos cercanos.

Muchos polígonos cercanos están relacionados con grupos simples finitos como los grupos de Mathieu y el grupo de Janko J2 . Además, los 2d- gonos generalizados , que están relacionados con los grupos de tipo Lie , son casos especiales de 2d - gonos cercanos.

Planos de Möbius

Un plano de Möbius abstracto (o plano inverso) es una estructura de incidencia donde, para evitar posibles confusiones con la terminología del caso clásico, las líneas se denominan ciclos o bloques .

Específicamente, un plano de Möbius es una estructura de incidencia de puntos y ciclos tal que:

Cada triplete de puntos distintos es incidente con exactamente un ciclo.
Para cualquier bandera $(P, z)$ y cualquier punto $Q$ que no incide en $z,$ existe un ciclo único $z *$ tal que $P \subseteq z *, Q \subseteq z *$ y $z \cap z * = {P}$ . (Se dice que los ciclos se tocan en $P$ ).
Cada ciclo tiene al menos tres puntos y existe al menos un ciclo.

La estructura de incidencia obtenida en cualquier punto $P$ de un plano de Möbius, considerando como puntos todos los puntos distintos de $P$ y como líneas solo aquellos ciclos que contienen $a P$ (una vez excluido $P$ ), es un plano afín. Esta estructura se denomina residuo en $P$ en la teoría del diseño.

Un plano de Möbius finito de orden $m$ es una configuración táctica con $k = m + 1$ puntos por ciclo que es un 3-diseño , específicamente un diseño de bloque $3-(m 2 + 1, m + 1, 1)$ .

Teoremas de incidencia en el plano euclidiano

El teorema de Sylvester-Gallai

Una cuestión planteada por JJ Sylvester en 1893 y finalmente resuelta por Tibor Gallai se refería a las incidencias de un conjunto finito de puntos en el plano euclidiano.

Teorema (Sylvester-Gallai) : Un conjunto finito de puntos en el plano euclidiano es colineal o existe una línea incidente con exactamente dos de los puntos.

En este contexto , una línea que contiene exactamente dos de los puntos se denomina línea ordinaria . Probablemente, Sylvester llegó a esta pregunta mientras reflexionaba sobre la posibilidad de integrar la configuración de Hesse.

El teorema de Bruijn-Erdős

Un resultado relacionado es el teorema de De Bruijn-Erdős . Nicolaas Govert de Bruijn y Paul Erdős demostraron el resultado en el contexto más general de los planos proyectivos, pero sigue siendo válido en el plano euclidiano. El teorema es: ^{[ 14 ]}

En un plano proyectivo , todo conjunto no colineal de

n

puntos determina al menos

n

líneas distintas.

Como señalaron los autores, dado que su demostración era combinatoria, el resultado se mantiene en un contexto más amplio, de hecho, en cualquier geometría de incidencia en la que exista una única línea que pase por cada par de puntos distintos. También mencionan que la versión del plano euclidiano puede demostrarse a partir del teorema de Sylvester-Gallai mediante inducción .

El teorema de Szemerédi-Trotter

Un límite para el número de banderas determinado por un conjunto finito de puntos y las líneas que estos determinan viene dado por:

Teorema (Szemerédi–Trotter) : dados $n$ puntos y $m$ líneas en el plano, el número de banderas (pares punto-línea incidentes) es:

O\left(n^{2/3}m^{2/3}+n+m\right),

y este límite no se puede mejorar, excepto en términos de las constantes implícitas.

Este resultado puede utilizarse para demostrar el teorema de Beck.

Se conjetura un límite similar para el número de incidencias en el caso de incidencias punto-círculo, pero solo se conocen límites superiores más débiles. ^{[ 15 ]}

Teorema de Beck

El teorema de Beck establece que los conjuntos finitos de puntos en el plano se dividen en dos extremos: uno en el que una gran fracción de los puntos se encuentran sobre una sola línea, y otro en el que se necesita un gran número de líneas para conectar todos los puntos.

El teorema afirma la existencia de constantes positivas $C y K$ tales que, dados cualesquiera $n$ puntos en el plano, al menos una de las siguientes afirmaciones es verdadera:

Hay una línea que contiene al menos n / C de los puntos.
Existen al menos n 2 / K líneas , cada una de las cuales contiene al menos dos de los puntos ^.

En el argumento original de Beck, $C$ es 100 y $K$ es una constante no especificada; se desconocen los valores óptimos de $C$ y $K.$

Más ejemplos

Véase también

Notas

↑ Como, por ejemplo, hace L. Storme en su capítulo sobre Geometría Finita en Colbourn & Dinitz (2007 , pág. 702)
↑ Técnicamente, se trata de una estructura de incidencia de rango dos, donde el rango se refiere al número de tipos de objetos considerados (en este caso, puntos y líneas). También se estudian estructuras de rango superior, pero varios autores se limitan al caso de rango dos, y nosotros haremos lo mismo aquí.
↑ Moorhouse , pág. 5
↑ Dembowski 1968 , pág. 5
↑ Coxeter, HSM (1969), Introducción a la geometría , Nueva York: John Wiley & Sons, pág. 233, ISBN 978-0-471-50458-0
↑ Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometría y la imaginación (2.ª ed.), Chelsea, págs. 94–170 , ISBN 978-0-8284-1087-8{{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
↑ Moorhouse , pág. 5
↑ Existen varias alternativas para este axioma de "no trivialidad". Podría sustituirse por "existen tres puntos que no están en la misma línea", como se hace en Batten y Beutelspacher (1993 , pág. 1) . Hay otras opciones, pero siempre deben ser enunciados de existencia que excluyan los casos más sencillos.
^ Fano, G. (1892), "Sui postulati fondamentali della geometria proiettiva", Giornale di Matematiche , 30 : 106– 132
↑ Collino, Conte y Verra 2013 , pág. 6
↑ ¿ Geometrías finitas de Malkevitch ? Una columna destacada de la AMS
↑ Aigner y Ziegler (2010) .
↑ El uso de la $letra n$ en el nombre es estándar y no debe confundirse con el número de puntos en una configuración.
^ Weisstein, Eric W. , "Teorema de Bruijn-Erdős" de MathWorld
↑ Aronov, Boris; Sharir, Micha (1 de noviembre de 2002). "Cortando círculos en pseudosegmentos y límites mejorados para incidencias% y complejidad de muchas caras" . Geometría discreta y computacional . 28 (4): 475– 490. doi : 10.1007/s00454-001-0084-1 .

Referencias

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Batten, Lynn Margaret (1986), Combinatoria de geometrías finitas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-31857-0
Batten, Lynn Margaret ; Beutelspacher, Albrecht (1993), The Theory of Finite Linear Spaces , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33317-7
Buekenhout, Francis (1995), Manual de geometría de incidencia: edificios y cimientos , Elsevier, ISBN 978-0-444-88355-1
Colbourn, Charles J.; Dinitz, Jeffrey H. (2007), Manual de diseños combinatorios (2.ª ed.), Boca Raton: Chapman & Hall/ CRC, ISBN 978-1-58488-506-1
Collino, Alberto; Conte, Alberto; Verra, Alessandro (2013). "Sobre la vida y obra científica de Gino Fano". arXiv : 1311.7177 [ matemáticas.HO ].
De Bruyn, Bart (2016), Introducción a la geometría de incidencia , Frontiers in Mathematics, Springer International Publishing, doi : 10.1007/978-3-319-43811-5 , ISBN 978-3-319-43810-8
Dembowski, Peter (1968), Geometrías finitas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-61786-0, MR 0233275
Malkevitch, Joe. "¿Geometrías finitas?" . Consultado el 2 de diciembre de 2013 .
Moorhouse, G. Eric. "Geometría de incidencia" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 29 de octubre de 2013. Recuperado el 20 de octubre de 2012 .
Ueberberg, Johannes (2011), Fundamentos de la geometría de incidencia , Monografías de Springer en matemáticas, Springer, doi : 10.1007/978-3-642-20972-7 , ISBN 978-3-642-26960-8.
Shult, Ernest E. (2011), Puntos y líneas , Universitext, Springer, doi : 10.1007/978-3-642-15627-4 , ISBN 978-3-642-15626-7.
Ball, Simeon (2015), Geometría finita y aplicaciones combinatorias , Textos para estudiantes de la Sociedad Matemática de Londres, Cambridge University Press, ISBN 978-1107518438.

Enlaces externos

Contenido multimedia relacionado con la geometría de incidencia en Wikimedia Commons.
Sistema de incidencia en la Enciclopedia de Matemáticas

[1] Como, por ejemplo, hace L. Storme en su capítulo sobre Geometría Finita en Colbourn & Dinitz (2007 , pág. 702)

[2] Técnicamente, se trata de una estructura de incidencia de rango dos, donde el rango se refiere al número de tipos de objetos considerados (en este caso, puntos y líneas). También se estudian estructuras de rango superior, pero varios autores se limitan al caso de rango dos, y nosotros haremos lo mismo aquí.

[3] Moorhouse , pág. 5

[4] Dembowski 1968 , pág. 5

[5] Coxeter, HSM (1969), Introducción a la geometría , Nueva York: John Wiley & Sons, pág. 233, ISBN 978-0-471-50458-0

[6] Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometría y la imaginación (2.ª ed.), Chelsea, págs. 94–170 , ISBN 978-0-8284-1087-8{{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

[7] Moorhouse , pág. 5

[8] Existen varias alternativas para este axioma de "no trivialidad". Podría sustituirse por "existen tres puntos que no están en la misma línea", como se hace en Batten y Beutelspacher (1993 , pág. 1) . Hay otras opciones, pero siempre deben ser enunciados de existencia que excluyan los casos más sencillos.

[9] Fano, G. (1892), "Sui postulati fondamentali della geometria proiettiva", Giornale di Matematiche , 30 : 106– 132

[10] Collino, Conte y Verra 2013 , pág. 6

[11] ¿ Geometrías finitas de Malkevitch ? Una columna destacada de la AMS

[FOOTNOTEAignerZiegler2010-12] Aigner y Ziegler (2010) .

[13] El uso de la $letra n$ en el nombre es estándar y no debe confundirse con el número de puntos en una configuración.

[14] Weisstein, Eric W. , "Teorema de Bruijn-Erdős" de MathWorld

[15] Aronov, Boris; Sharir, Micha (1 de noviembre de 2002). "Cortando círculos en pseudosegmentos y límites mejorados para incidencias% y complejidad de muchas caras" . Geometría discreta y computacional . 28 (4): 475– 490. doi : 10.1007/s00454-001-0084-1 .

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