Configuración (geometría)

En matemáticas , específicamente en geometría proyectiva , una configuración en el plano consiste en un conjunto finito de puntos y una disposición finita de líneas , de modo que cada punto incide en el mismo número de líneas y cada línea incide en el mismo número de puntos. ^[1]

Aunque ciertas configuraciones específicas habían sido estudiadas anteriormente (por ejemplo, por Thomas Kirkman en 1849), el estudio formal de las configuraciones fue introducido por primera vez por Theodor Reye en 1876, en la segunda edición de su libro Geometrie der Lage , en el contexto de una discusión del teorema de Desargues . Ernst Steinitz escribió su disertación sobre el tema en 1894, y fueron popularizadas por el libro de Hilbert y Cohn-Vossen de 1932 Anschauliche Geometrie , reimpreso en inglés como Hilbert & Cohn-Vossen (1952).

Las configuraciones pueden estudiarse como conjuntos concretos de puntos y líneas en una geometría específica, como los planos euclídeos o proyectivos (se dice que son realizables en esa geometría), o como un tipo de geometría de incidencia abstracta . En el último caso están estrechamente relacionadas con los hipergrafos regulares y los grafos bipartitos birregulares , pero con algunas restricciones adicionales: cada dos puntos de la estructura de incidencia pueden asociarse con como máximo una línea, y cada dos líneas pueden asociarse con como máximo un punto. Es decir, la circunferencia del grafo bipartito correspondiente (el grafo de Levi de la configuración) debe ser al menos seis.

Una configuración en el plano se denota por ( p _γ ℓ _π ), donde p es el número de puntos, ℓ el número de líneas, γ el número de líneas por punto y π el número de puntos por línea. Estos números satisfacen necesariamente la ecuación

${\displaystyle p\gamma =\ell \pi \,}$

ya que este producto es el número de incidencias de puntos-líneas ( banderas ).

Las configuraciones que tienen el mismo símbolo, por ejemplo ( p _γ ℓ _π ), no necesitan ser isomorfas como estructuras de incidencia . Por ejemplo, existen tres configuraciones (9 ₃  9 _{3 ) diferentes: la} configuración de Pappus y dos configuraciones menos notables.

En algunas configuraciones, p = ℓ y, en consecuencia, γ = π . Estas se denominan configuraciones simétricas o equilibradas ^[2] y la notación suele condensarse para evitar repeticiones. Por ejemplo, (9 ₃  9 ₃ ) se abrevia como (9 ₃ ).

Entre las configuraciones proyectivas notables se incluyen las siguientes:

• (1 ₁ ), la configuración más simple posible, que consiste en un punto incidente a una línea. A menudo se excluye por ser trivial.
• (3 ₂ ), el triángulo . Cada uno de sus tres lados se encuentra con dos de sus tres vértices, y viceversa. De manera más general, cualquier polígono de n lados forma una configuración de tipo ( n ₂ )
• (4 ₃ 6 ₂ ) y (6 ₂ 4 ₃ ), el cuadrángulo completo y el cuadrilátero completo respectivamente.
• (7 ₃ ), el plano de Fano . Esta configuración existe como una geometría de incidencia abstracta , pero no se puede construir en el plano euclidiano .
• (8 ₃ ), la configuración de Möbius-Kantor . Esta configuración describe dos cuadriláteros que están simultáneamente inscritos y circunscritos entre sí. No se puede construir en geometría del plano euclidiano pero las ecuaciones que la definen tienen soluciones no triviales en números complejos .
• (9 ₃ ), la configuración de Pappus .
• (9 ₄ 12 ₃ ), la configuración de Hesse de nueve puntos de inflexión de una curva cúbica en el plano proyectivo complejo y las doce líneas determinadas por pares de estos puntos. Esta configuración comparte con el plano de Fano la propiedad de que contiene todas las líneas que pasan por sus puntos; las configuraciones con esta propiedad se conocen como configuraciones de Sylvester-Gallai debido al teorema de Sylvester-Gallai que demuestra que no se les pueden dar coordenadas de números reales. ^[3]
• (10 ₃ ), la configuración de Desargues .
• (12 ₄ 16 ₃ ), la configuración de Reye .
• (12 ₅ 30 ₂ ), el doble seis de Schläfli , formado por 12 de las 27 líneas de una superficie cúbica
• (15 ₃ ), la configuración Cremona–Richmond , formada por las 15 líneas complementarias a un doble seis y sus 15 planos tangentes
• (16 ₆ ), la configuración de Kummer .
• (21 ₄ ), la configuración Grünbaum–Rigby .
• (27 ₃ ), la configuración Gray
• (35 ₄ ), configuración de Danzer . ^[4]
• (60 ₁₅ ), la configuración de Klein .

El dual proyectivo de una configuración ( p _γ ℓ _π ) es una configuración ( ℓ _π p _γ ) en la que se intercambian los papeles de "punto" y "línea". Por lo tanto, los tipos de configuraciones vienen en pares duales, excepto cuando se toma el dual como resultado una configuración isomorfa. Estas excepciones se denominan configuraciones autoduales y en tales casos p = ℓ . ^[5]

El número de configuraciones no isomorfas del tipo ( n ₃ ), a partir de n = 7 , viene dado por la secuencia

1 , 1 , 3 , 10 , 31 , 229 , 2036, 21399, 245342, ... (secuencia A001403 en la OEIS )

Estos números cuentan las configuraciones como estructuras de incidencia abstractas, independientemente de su realizabilidad. ^[6] Como analiza Gropp (1997), nueve de las diez (10 ₃ ) configuraciones, y todas las (11 ₃ ) y (12 ₃ ), son realizables en el plano euclidiano, pero para cada n ≥ 16 hay al menos una configuración no realizable ( n ₃ ). Gropp también señala un error de larga data en esta secuencia: un artículo de 1895 intentó enumerar todas las (12 ₃ ) configuraciones, y encontró 228 de ellas, pero la configuración número 229, la configuración de Gropp, no se descubrió hasta 1988.

Existen varias técnicas para construir configuraciones, generalmente a partir de configuraciones conocidas. Algunas de las técnicas más simples construyen configuraciones simétricas ( p _γ ).

Cualquier plano proyectivo finito de orden n es una configuración (( n ² + n + 1) _{n + 1} ) . Sea Π un plano proyectivo de orden n . Retire de Π un punto P y todas las líneas de Π que pasan por P (pero no los puntos que se encuentran en esas líneas excepto P ) y retire una línea ℓ que no pase por P y todos los puntos que están en la línea ℓ . El resultado es una configuración de tipo (( n ² – 1) _n ) . Si, en esta construcción, la línea ℓ se elige como una línea que pasa por P , entonces la construcción resulta en una configuración de tipo (( n ² ) _n ) . Como se sabe que existen planos proyectivos para todos los órdenes n que son potencias de primos, estas construcciones proporcionan infinitas familias de configuraciones simétricas.

No todas las configuraciones son realizables, por ejemplo, no existe una configuración (43 _{7 ).} ^[7] Sin embargo, Gropp (1990) ha proporcionado una construcción que muestra que para k ≥ 3 , existe una configuración ( p _k ) para todos los p ≥ 2 ℓ _k + 1 , donde ℓ _k es la longitud de una regla de Golomb óptima de orden k .

El concepto de configuración puede generalizarse a dimensiones superiores, ^[8] por ejemplo a puntos y líneas o planos en el espacio . En tales casos, las restricciones de que no haya dos puntos que pertenezcan a más de una línea pueden flexibilizarse, porque es posible que dos puntos pertenezcan a más de un plano.

Configuraciones tridimensionales notables son la configuración de Möbius , que consiste en dos tetraedros inscritos mutuamente, la configuración de Reye , que consiste en doce puntos y doce planos, con seis puntos por plano y seis planos por punto, la configuración de Gray que consiste en una cuadrícula de 3×3×3 de 27 puntos y las 27 líneas ortogonales que los atraviesan, y el doble seis de Schläfli , una configuración con 30 puntos, 12 líneas, dos líneas por punto y cinco puntos por línea.

La configuración en el plano proyectivo que se realiza mediante puntos y pseudolíneas se llama configuración topológica. ^[2] Por ejemplo, se sabe que no existen configuraciones punto-línea (19 ₄ ), sin embargo, existe una configuración topológica con estos parámetros.

Otra generalización del concepto de configuración se refiere a las configuraciones de puntos y círculos, siendo un ejemplo notable la configuración (8 ₃ 6 ₄ ) de Miquel . ^[2]

• Configuración de Perles , un conjunto de 9 puntos y 9 líneas que no tienen todos el mismo número de incidencias entre sí.

• Berman, Leah W. , "Configuraciones móviles (n4)", The Electronic Journal of Combinatorics , 13 (1): R104.
• Betten, A; Brinkmann, G.; Pisanski, T. (2000), "Conteo de configuraciones simétricas", Discrete Applied Mathematics , 99 (1–3): 331–338, doi : 10.1016/S0166-218X(99)00143-2.
• Boben, Marko; Gévay, Gábor; Pisanski, T. (2015), "La configuración de Danzer revisitada", Advances in Geometry , 15 (4): 393–408.
• Coxeter, HSM (1999), "Configuraciones autoduales y grafos regulares", La belleza de la geometría , Dover, ISBN 0-486-40919-8
• Dembowski, Peter (1968), Geometrías finitas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, Sr.  0233275
• Gévay, Gábor (2014), "Construcciones para configuraciones de punto-línea (n _k ) grandes", Ars Mathematica Contemporanea , 7 : 175-199.
• Gropp, Harald (1990), "Sobre la existencia y no existencia de configuraciones n _k ", Journal of Combinatorics and Information System Science , 15 : 34–48
• Gropp, Harald (1997), "Configuraciones y su realización", Matemáticas discretas , 174 (1–3): 137–151, doi : 10.1016/S0012-365X(96)00327-5.
• Grünbaum, Branko (2006), "Configuraciones de puntos y líneas", en Davis, Chandler; Ellers, Erich W. (eds.), El legado de Coxeter: reflexiones y proyecciones , American Mathematical Society, págs. 179-225.
• Grünbaum, Branko (2008), "Reflexiones sobre un ejemplo de Danzer", European Journal of Combinatorics , 29 : 1910-1918.
• Grünbaum, Branko (2009), Configuraciones de puntos y líneas , Estudios de posgrado en matemáticas , vol. 103, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4308-6.
• Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometría y la imaginación (2.ª ed.), Chelsea, págs. 94-170, ISBN 0-8284-1087-9.
• Kelly, LM (1986), "Una resolución del problema de Sylvester-Gallai de JP Serre", Geometría discreta y computacional , 1 (1): 101–104, doi : 10.1007/BF02187687.
• Pisanski, Tomaž ; Servatius, Brigitte (2013), Configuraciones desde un punto de vista gráfico, Springer, ISBN 9780817683641.

• Weisstein, Eric W. , "Configuración", MathWorld