Avión de Fano

En geometría finita , el plano de Fano (por Gino Fano ) es un plano proyectivo finito con el menor número posible de puntos y líneas: 7 puntos y 7 líneas, con 3 puntos en cada línea y 3 líneas a través de cada punto. Estos puntos y líneas no pueden existir con este patrón de incidencias en la geometría euclidiana , pero se les pueden dar coordenadas utilizando el cuerpo finito con dos elementos. La notación estándar para este plano, como miembro de una familia de espacios proyectivos , es PG(2, 2) . Aquí, PG significa " geometría proyectiva ", el primer parámetro es la dimensión geométrica (es un plano, de dimensión 2) y el segundo parámetro es el orden (el número de puntos por línea, menos uno).

El plano de Fano es un ejemplo de estructura de incidencia finita , por lo que muchas de sus propiedades pueden establecerse mediante técnicas combinatorias y otras herramientas utilizadas en el estudio de geometrías de incidencia . Al tratarse de un espacio proyectivo, las técnicas algebraicas también pueden ser herramientas eficaces en su estudio.

En un uso separado, un plano de Fano es un plano proyectivo que nunca satisface el axioma de Fano ; en otras palabras, los puntos diagonales de un cuadrángulo completo son siempre colineales. ^[1] "El" plano de Fano de 7 puntos y líneas es "un" plano de Fano.

El plano de Fano se puede construir mediante álgebra lineal como el plano proyectivo sobre el cuerpo finito con dos elementos. De manera similar, se pueden construir planos proyectivos sobre cualquier otro cuerpo finito, siendo el plano de Fano el más pequeño.

Utilizando la construcción estándar de espacios proyectivos mediante coordenadas homogéneas , los siete puntos del plano de Fano pueden etiquetarse con los siete triples ordenados distintos de cero de dígitos binarios 001, 010, 011, 100, 101, 110 y 111. Esto puede hacerse de tal manera que por cada dos puntos p y q , el tercer punto en la línea pq tenga la etiqueta formada sumando las etiquetas de p y q módulo 2 dígito por dígito (por ejemplo, 010 y 111 dando como resultado 101). En otras palabras, los puntos del plano de Fano corresponden a los puntos distintos de cero del espacio vectorial finito de dimensión 3 sobre el cuerpo finito de orden 2.

Debido a esta construcción, el plano de Fano se considera un plano desarguesiano , aunque el plano es demasiado pequeño para contener una configuración de Desargues no degenerada (que requiere 10 puntos y 10 líneas).

Las líneas del plano de Fano también pueden recibir coordenadas homogéneas, utilizando nuevamente triples de dígitos binarios distintos de cero. Con este sistema de coordenadas, un punto es incidente a una línea si la coordenada del punto y la coordenada de la línea tienen un número par de posiciones en las que ambas tienen bits distintos de cero: por ejemplo, el punto 101 pertenece a la línea 111, porque tienen bits distintos de cero en dos posiciones comunes. En términos del álgebra lineal subyacente, un punto pertenece a una línea si el producto interno de los vectores que representan el punto y la línea es cero.

Las líneas se pueden clasificar en tres tipos.

• En tres de las líneas los triples binarios de los puntos tienen el 0 en una posición constante: la línea 100 (que contiene los puntos 001, 010 y 011) tiene 0 en la primera posición, y las líneas 010 y 001 se forman de la misma manera.
• En tres de las líneas, dos de las posiciones en los triples binarios de cada punto tienen el mismo valor: en la línea 110 (que contiene los puntos 001, 110 y 111) la primera y la segunda posición son siempre iguales entre sí, y las líneas 101 y 011 se forman de la misma manera.
• En la línea restante 111 (que contiene los puntos 011, 101 y 110), cada triple binario tiene exactamente dos bits distintos de cero.

Alternativamente, los 7 puntos del plano corresponden a los 7 elementos no identidad del grupo (Z ₂ ) ³ = Z ₂ × Z ₂ × Z ₂ . Las líneas del plano corresponden a los subgrupos de orden 4, isomorfos a Z ₂ × Z ₂ . El grupo de automorfismos GL(3, 2) del grupo (Z ₂ ) ³ es el del plano de Fano, y tiene orden 168.

Como ocurre con cualquier estructura de incidencia, el grafo de Levi del plano de Fano es un grafo bipartito , en el que los vértices de una parte representan los puntos y los de la otra las rectas, con dos vértices unidos si el punto y la recta correspondientes son incidentes . Este grafo en particular es un grafo cúbico conexo (regular de grado 3), tiene circunferencia 6 y cada parte contiene 7 vértices. Es el grafo de Heawood , el único de 6 jaulas . ^[2]

Una colineación , automorfismo o simetría del plano de Fano es una permutación de los 7 puntos que conserva la colinealidad: es decir, lleva puntos colineales (en la misma línea) a puntos colineales. Por el Teorema fundamental de la geometría proyectiva , el grupo de colineación completo (o grupo de automorfismo o grupo de simetría ) es el grupo lineal proyectivo PGL(3, 2) , ^[a] Hirschfeld 1979, p. 131 ^[3]

Este es un grupo bien conocido de orden 168 = 2 ³ ·3·7, el siguiente grupo simple no abeliano después de A ₅ de orden 60 (ordenado por tamaño).

Como grupo de permutación que actúa sobre los 7 puntos del plano, el grupo de colineación es doblemente transitivo , lo que significa que cualquier par ordenado de puntos puede asignarse mediante al menos una colineación a cualquier otro par ordenado de puntos. ^[4] (Ver más abajo).

Las colineaciones también pueden verse como automorfismos que preservan el color del gráfico de Heawood (ver figura).

F _{8 es una} extensión de campo de grado tres de F ₂ , por lo que los puntos del plano de Fano pueden identificarse con F ₈ ∖ {0} . El grupo de simetría puede escribirse PGL(3, 2) = Aut( P ² F ₂ ) . De manera similar, PSL(2, 7) = Aut( P ¹ F ₇ ) . Existe una relación entre los objetos subyacentes, P ² F ₂ y P ¹ F _7, llamada el mapa de la Cuna del Gato. Colorea las siete líneas del plano de Fano ROYGBIV, coloca tus dedos en el espacio proyectivo bidimensional en el espacio tridimensional ambiental y estira tus dedos como en el juego infantil de la Cuna del Gato. Obtendrás un gráfico completo en siete vértices con siete triángulos coloreados (líneas proyectivas). El origen faltante de F ₈ estará en el centro del septágono interior. Ahora etiqueta este punto como ∞ y tíralo hacia atrás hasta el origen. Se puede escribir una biyección desde F ₇ ∪ {∞} hasta F ₈ . Fijemos x ^∞ = 0 y enviemos la pendiente k ↦ x ^∞ + x ^k ∈ F ₈ ≅ F ₂ [ x ] / ( x ³ + x + 1) , donde ahora x ^k etiqueta los vértices de K ₇ con coloración de aristas , notando que F^×
₈es un grupo cíclico de orden 7. Las simetrías de P ¹ F ₇ son transformaciones de Möbius , y las transformaciones básicas son reflexiones (orden 2, k ↦ −1/ k ), traslaciones (orden 7, k ↦ k + 1 ) y duplicación (orden 3 ya que 2 ³ = 1 , k ↦ 2 k ). Las simetrías correspondientes en el plano de Fano son respectivamente intercambiar vértices, rotar el gráfico y rotar triángulos.

Una biyección entre el conjunto de puntos y el conjunto de líneas que preserva la incidencia se denomina dualidad y una dualidad de orden dos se denomina polaridad . ^[5]

Las dualidades pueden verse en el contexto del gráfico de Heawood como automorfismos de inversión de color. Un ejemplo de polaridad lo da la reflexión a través de una línea vertical que biseca la representación del gráfico de Heawood que se muestra a la derecha. ^[6] La existencia de esta polaridad muestra que el plano de Fano es autodual . Esto también es una consecuencia inmediata de la simetría entre puntos y líneas en la definición de la relación de incidencia en términos de coordenadas homogéneas, como se detalla en una sección anterior.

El grupo de permutación de los 7 puntos tiene 6 clases de conjugación .

Estas cuatro estructuras de ciclo definen cada una una única clase de conjugación:

• La permutación de identidad
• 21 permutaciones con dos ciclos de 2
• 42 permutaciones con un ciclo de 4 y un ciclo de 2
• 56 permutaciones con dos ciclos de 3

Las 48 permutaciones con un ciclo 7 completo forman dos clases de conjugación distintas con 24 elementos:

• A corresponde a B , B a C , C a D. Entonces D está en la misma línea que A y B.
• A corresponde a B , B a C , C a D. Entonces D está en la misma línea que A y C.

(Ver aquí la lista completa.)

El número de coloraciones no equivalentes del plano de Fano con colores se puede calcular introduciendo el número de estructuras cíclicas en el teorema de enumeración de Pólya . Este número de coloraciones es (secuencia A241929 en la OEIS ). ${\estilo de visualización n}$${\textstyle {{n^{7}+21n^{5}+98n^{3}+48n} \sobre 168}}$

En cualquier plano proyectivo, un conjunto de cuatro puntos, de los cuales ninguno es colineal, y las seis líneas que unen pares de estos puntos forman una configuración conocida como cuadrángulo completo . Las líneas se llaman lados y los pares de lados que no se encuentran en uno de los cuatro puntos se llaman lados opuestos . Los puntos en los que se encuentran los lados opuestos se llaman puntos diagonales y hay tres de ellos. ^[7]

Si esta configuración se encuentra en un plano proyectivo y los tres puntos diagonales son colineales, entonces los siete puntos y siete líneas de la configuración expandida forman un subplano del plano proyectivo que es isomorfo al plano de Fano y se llama subplano de Fano .

Un resultado famoso, debido a Andrew M. Gleason, establece que si cada cuadrángulo completo en un plano proyectivo finito se extiende a un subplano Fano (es decir, tiene puntos diagonales colineales), entonces el plano es desarguesiano. ^{[8] Gleason llamó} plano Fano a cualquier plano proyectivo que satisfaga esta condición, creando así cierta confusión con la terminología moderna. Para agravar la confusión, el axioma de Fano establece que los puntos diagonales de un cuadrángulo completo nunca son colineales, una condición que se cumple en los planos proyectivos euclidiano y real. Por lo tanto, lo que Gleason llamó planos Fano no satisfacen el axioma de Fano. ^[9]

El plano de Fano contiene los siguientes números de configuraciones de puntos y líneas de diferentes tipos. Para cada tipo de configuración, el número de copias de la configuración multiplicado por el número de simetrías del plano que mantienen la configuración inalterada es igual a 168, el tamaño de todo el grupo de colineaciones, siempre que cada copia pueda asignarse a cualquier otra copia (véase el teorema del estabilizador de órbita ). Dado que el plano de Fano es autodual, estas configuraciones vienen en pares duales y se puede demostrar que el número de colineaciones que fijan una configuración es igual al número de colineaciones que fijan su configuración dual.

• Hay 7 puntos con 24 simetrías que fijan cualquier punto y, dualmente, hay 7 líneas con 24 simetrías que fijan cualquier línea. El número de simetrías se desprende de la 2-transitividad del grupo de colineación, lo que implica que el grupo actúa transitivamente sobre los puntos.
• Hay 42 pares ordenados de puntos, y cada uno de ellos puede ser aplicado por una simetría a cualquier otro par ordenado. Para cualquier par ordenado hay 4 simetrías que lo fijan. En consecuencia, hay 21 pares desordenados de puntos, cada uno de los cuales puede ser aplicado por una simetría a cualquier otro par desordenado. Para cualquier par desordenado hay 8 simetrías que lo fijan.
• Hay 21 banderas que consisten en una línea y un punto en esa línea. Cada bandera corresponde al par desordenado de los otros dos puntos en la misma línea. Para cada bandera, 8 simetrías diferentes la mantienen fija.
• Hay 7 formas de seleccionar un cuadrángulo de cuatro puntos (desordenados), de los cuales ninguno de los tres es colineal. Estos cuatro puntos forman el complemento de una línea, que es la línea diagonal del cuadrángulo y una colineación fija el cuadrángulo si y solo si fija la línea diagonal. Por lo tanto, hay 24 simetrías que fijan cualquier cuadrángulo de este tipo. La configuración dual es un cuadrilátero que consta de cuatro líneas, de las cuales ninguno de los tres se encuentra en un punto y sus seis puntos de intersección, es el complemento de un punto en el plano de Fano.
• Hay = 35 triples de puntos, siete de los cuales son triples colineales, lo que deja 28 triples o triángulos no colineales . La configuración que consiste en los tres puntos de un triángulo y las tres líneas que unen pares de estos puntos se representa mediante un ciclo de 6 en el gráfico de Heawood. Un automorfismo que preserva el color del gráfico de Heawood que fija cada vértice de un ciclo de 6 debe ser el automorfismo identidad. ^[2] Esto significa que hay 168 triángulos etiquetados fijados solo por la colineación identidad y solo seis colineaciones que estabilizan un triángulo no etiquetado, uno para cada permutación de los puntos. Estos 28 triángulos pueden verse como correspondientes a los 28 bitangentes de un cuártico . ^[10] Hay 84 formas de especificar un triángulo junto con un punto distinguido en ese triángulo y dos simetrías que fijan esta configuración. El dual de la configuración del triángulo también es un triángulo.${\displaystyle {\tbinom {7}{3}}}$
• Hay 28 formas de seleccionar un punto y una línea que no sean incidentes entre sí (una antibandera ), y seis formas de permutar el plano de Fano manteniendo fija una antibandera. Para cada par punto-línea no incidente ( p , l ) , los tres puntos que son desiguales a p y que no pertenecen a l forman un triángulo, y para cada triángulo hay una forma única de agrupar los cuatro puntos restantes en una antibandera.
• Hay 28 maneras de especificar un hexágono en el que no hay tres vértices consecutivos en una línea, y seis simetrías que fijan cualquier hexágono de este tipo.
• Hay 84 formas de especificar un pentágono en el que no hay tres vértices consecutivos en una línea y dos simetrías que fijan cualquier pentágono.

El plano de Fano es un ejemplo de una configuración ( n ₃ ) , es decir, un conjunto de n puntos y n líneas con tres puntos en cada línea y tres líneas a través de cada punto. El plano de Fano, una configuración (7 ₃ ), es único y es la configuración más pequeña de este tipo. ^[11] Según un teorema de Steinitz ^[12], se pueden realizar configuraciones de este tipo en el plano euclidiano que tenga como máximo una línea curva (todas las demás líneas se encuentran sobre líneas euclidianas). ^[13]

El plano de Fano es un diseño de bloques pequeños y simétricos , específicamente un diseño 2-(7, 3, 1) . Los puntos del diseño son los puntos del plano y los bloques del diseño son las líneas del plano. ^[14] Como tal, es un ejemplo valioso en la teoría del diseño (en bloques).

Con los puntos etiquetados 0, 1, 2, ..., 6 las líneas (como conjuntos de puntos) son las traducidas del conjunto de diferencias planares (7, 3, 1) dado por {0, 1, 3} en el grupo Z / 7 Z . ^[14] Con las líneas etiquetadas ℓ ₀ , ..., ℓ ₆ la matriz de incidencia (tabla) está dada por:

El plano de Fano, como diseño de bloques, es un sistema triple de Steiner . ^[15] Como tal, se le puede dar la estructura de un cuasigrupo . Este cuasigrupo coincide con la estructura multiplicativa definida por los octoniones unitarios e ₁ , e ₂ , ..., e ₇ (omitiendo 1) si se ignoran los signos de los productos octoniones (Baez 2002).

El matroide de Fano F ₇ se forma tomando los puntos del plano de Fano como conjunto base y los subconjuntos no colineales de tres elementos como bases.

El plano de Fano es uno de los ejemplos importantes en la teoría de la estructura de los matroides . Excluir el plano de Fano como matroide menor es necesario para caracterizar varias clases importantes de matroides, como los regulares , los gráficos y los cográficos.

Si se descompone una línea en tres líneas de 2 puntos se obtiene la "configuración no Fano", que se puede insertar en el plano real. Es otro ejemplo importante en la teoría de matroides, ya que debe excluirse para que se cumplan muchos teoremas.

El plano de Fano puede extenderse en una tercera dimensión para formar un espacio proyectivo tridimensional, denotado por PG(3, 2) . Tiene 15 puntos, 35 líneas y 15 planos y es el espacio proyectivo tridimensional más pequeño . ^[16] También tiene las siguientes propiedades: ^[17]

• Cada punto está contenido en 7 líneas y 7 planos.
• Cada línea está contenida en 3 planos y contiene 3 puntos.
• Cada plano contiene 7 puntos y 7 líneas.
• Cada plano es isomorfo al plano de Fano.
• Cada par de planos distintos se intersecan en una línea.
• Una línea y un plano que no contiene la línea se intersecan exactamente en un punto.

• Configuración proyectiva
• Lotería de Transilvania

• Weisstein, Eric W. , "Avión Fano", MathWorld