Polígono cercano

En matemáticas , un polígono cercano es un concepto de geometría de incidencia introducido por Ernest E. Shult y Arthur Yanushka en 1980. ^{[ 1 ]} Shult y Yanushka demostraron la conexión entre los llamados sistemas de líneas tetraédricas cerradas en espacios euclidianos y una clase de geometrías de puntos y líneas que denominaron polígonos cercanos. Estas estructuras generalizan la noción de polígono generalizado , ya que todo 2 n -gono generalizado es un 2 n -gono cercano de un tipo particular. Los polígonos cercanos fueron estudiados extensamente y la conexión entre ellos y los espacios polares duales ^{[ 2 ]} se demostró en las décadas de 1980 y principios de 1990. Algunos grupos simples esporádicos , por ejemplo el grupo de Hall-Janko y los grupos de Mathieu , actúan como grupos de automorfismos de polígonos cercanos.

Un 2d -gono cercano es una estructura de incidencia (${\displaystyle P,L,I}$), dónde${\displaystyle P}$es el conjunto de puntos,${\displaystyle L}$es el conjunto de líneas y${\displaystyle I\subsetequ P\times L}$es la relación de incidencia , tal que:

• La distancia máxima entre dos puntos (el llamado diámetro) es d .
• Por cada punto${\displaystyle x}$y cada línea${\displaystyle L}$existe un punto único en${\displaystyle L}$que está más cerca de${\displaystyle x}$.

Nótese que las distancias se miden en el grafo de colinealidad de puntos, es decir, el grafo formado al tomar puntos como vértices y unir un par de vértices si son incidentes con una línea común. También podemos dar una definición alternativa de teoría de grafos : un casi 2d -gono es un grafo conexo de diámetro finito d con la propiedad de que para cada vértice x y cada clique maximal M existe un único vértice x' en M más cercano a x . Las cliques maximales de dicho grafo corresponden a las líneas en la definición de estructura de incidencia. Un casi 0-gono ( d = 0) es un solo punto, mientras que un casi 2-gono ( d = 1) es solo una sola línea, es decir, un grafo completo . Un casi cuadrilátero ( d = 2) es lo mismo que un cuadrilátero generalizado (posiblemente degenerado) . De hecho, se puede demostrar que todo 2d- gono generalizado es un casi 2d - gono que satisface las dos condiciones adicionales siguientes:

• Cada punto es incidente con al menos dos líneas.
• Para cada par de puntos x , y a una distancia i < d , existe un vecino único de y a una distancia i − 1 de x .      

Un polígono cercano se denomina denso si cada línea incide en al menos tres puntos y si cada par de puntos a distancia dos tiene al menos dos vecinos comunes. Se dice que tiene orden ( s , t ) si cada línea incide en precisamente s + 1 puntos y cada punto incide en precisamente t + 1 líneas. Los polígonos cercanos densos cuentan con una teoría extensa y varias clases de ellos (como los polígonos cercanos densos delgados) han sido completamente clasificadas. ^{[ 3 ]}     

• Todos los grafos bipartitos conexos son polígonos cercanos. De hecho, cualquier polígono cercano que tenga exactamente dos puntos por línea debe ser un grafo bipartito conexo.
• Todos los polígonos generalizados finitos, excepto los planos proyectivos.
• Todos los espacios polares duales .
• El octágono cercano de Hall-Janko, también conocido como octágono cercano de Cohen- Tits ^{[ 4 ]} asociado con el grupo de Hall-Janko . Se puede construir eligiendo la clase de conjugación de 315 involuciones centrales del grupo de Hall-Janko como puntos y líneas como subconjuntos de tres elementos {x, y, xy} siempre que x e y conmuten.
• El hexágono cercano M24 está relacionado con el _grupo de Mathieu M24 y el código binario extendido de Golay . Se construye tomando las 759 octadas (bloques) en el diseño de Witt S (5, 8, 24) correspondientes al código de Golay como puntos y una terna de tres octadas disjuntas por pares como líneas. ^{[ 5 ]}
• Consideremos las particiones de {1, 2, ..., 2 n + 2} en n + 1 subconjuntos de dimensión 2 como puntos y las particiones en n − 1 subconjuntos de dimensión 2 y un subconjunto de dimensión 4 como líneas. Un punto es incidente a una línea si, como partición, es un refinamiento de la línea. Esto nos da un casi 2 n -gono con tres puntos en cada línea, usualmente denotado H _n . Su grupo de automorfismos completo es el grupo simétrico S _{2 n +2} . ^{[ 6 ] [ 7 ]}

Un finito cercano${\displaystyle 2d}$-gon S se llama regular si tiene un orden${\displaystyle (s,t)}$y si existen constantes${\displaystyle t_{i},i\in \{1,\ldots ,d\}}$, de tal manera que para cada dos puntos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$a distancia${\displaystyle i}$, hay precisamente${\displaystyle t_{i}+1}$líneas a través de${\displaystyle y}$que contiene un punto (necesariamente único) a distancia${\displaystyle i-1}$de${\displaystyle x}$Resulta que los habituales cerca${\displaystyle 2d}$Los -gons son precisamente aquellos cercanos${\displaystyle 2d}$-gonos cuyo grafo de puntos (también conocido como grafo de colinealidad ) es un grafo regular en distancia . Un generalizado${\displaystyle 2d}$-gon del orden${\displaystyle (s,t)}$es un cliente habitual cerca${\displaystyle 2d}$-gon con parámetros${\displaystyle t_{1}=0,t_{2}=0,\ldots ,t_{d}=t}$

• Geometría finita
• espacio polar
• Espacio lineal parcial
• Plan de asociación
• Gráfico de Hall-Janko

• Brouwer, AE; Cohen, AM; Wilbrink, HA; Hall, JJ (1994), "Cerca de polígonos y espacios de Fischer" (PDF) , Geometriae Dedicata , 49 (3): 349– 368, doi : 10.1007/BF01264034.

• Brouwer, AE ; Cohen, AM; Neumaier, A. (1989), Gráficos regulares de distancia , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag., ISBN 3-540-50619-5, MR 1002568 .

• Brouwer, AE ; Wilbrink, HA (1983), Dos secuencias infinitas de polígonos cercanos (PDF) , Informe ZW194/83, Mathematisch Centrum.

• Cameron, Peter J. (1982), "Espacios polares duales", Geometriae Dedicata , 12 : 75–85 , doi : 10.1007/bf00147332 , MR 0645040 .

• Cameron, Peter J. (1991), Espacios proyectivos y polares , QMW Maths Notes, vol.  13, Londres: Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, MR 1153019 .
• De Bruyn, Bart (2006), Cerca de polígonos , fronteras en las matemáticas, Birkhäuser Verlag, doi : 10.1007/978-3-7643-7553-9 , ISBN 3-7643-7552-3, MR 2227553 .

• De Clerck, F.; Van Maldeghem, H. (1995), "Algunas clases de geometrías de rango 2", Manual de geometría de incidencia , Ámsterdam: Holanda Septentrional, págs . .
• Shult, Ernest E. (2011), Puntos y líneas , Universitext, Springer, doi : 10.1007/978-3-642-15627-4 , ISBN 978-3-642-15626-7.

• Shult, Ernesto; Yanushka, Arthur (1980), "Cerca de n-gons y sistemas de líneas", Geometriae Dedicata , 9 : 1– 72, doi : 10.1007/BF00156473 , MR 0566437 .