Incidencia (geometría)

En geometría , una relación de incidencia es una relación heterogénea que captura la idea que se expresa cuando se usan frases como "un punto está sobre una línea" o "una línea está contenida en un plano". La relación de incidencia más básica es la que existe entre un punto, $P$ , y una línea, $l$ , a veces denotada $P$ $I$ $l$ . Si $P$ y $l$ son incidentes, $P$ $I$ $l$ , el par $($ $P$ $,$ $l$ $)$ se denomina bandera .

En el lenguaje común se utilizan muchas expresiones para describir la incidencia (por ejemplo, una línea pasa por un punto, un punto se encuentra en un plano, etc.), pero se prefiere el término "incidencia" porque no tiene las connotaciones adicionales que tienen estos otros términos y puede usarse de manera simétrica. Enunciados como "la línea $l 1$ interseca la línea $l 2$ " también son enunciados sobre relaciones de incidencia, pero en este caso, es porque es una forma abreviada de decir que "existe un punto $P$ que es incidente con la línea $l 1$ y la línea $l 2$ ". Cuando un tipo de objeto puede considerarse como un conjunto del otro tipo de objeto ( es decir , un plano es un conjunto de puntos), entonces una relación de incidencia puede verse como una contención .

Enunciados como «dos líneas cualesquiera en un plano se intersecan» se denominan proposiciones de incidencia . Este enunciado en particular es verdadero en un plano proyectivo , aunque no en el plano euclidiano , donde las líneas pueden ser paralelas . Históricamente, la geometría proyectiva se desarrolló para que las proposiciones de incidencia fueran verdaderas sin excepciones, como las causadas por la existencia de paralelas. Desde el punto de vista de la geometría sintética , la geometría proyectiva debería desarrollarse utilizando tales proposiciones como axiomas . Esto es de suma importancia para los planos proyectivos debido a la validez universal del teorema de Desargues en dimensiones superiores.

En contraste, el enfoque analítico consiste en definir el espacio proyectivo basándose en el álgebra lineal y utilizando coordenadas homogéneas . Las proposiciones de incidencia se derivan del siguiente resultado básico sobre espacios vectoriales : dados los subespacios $U$ y $W de un espacio vectorial$ $V$ (de dimensión finita) , la dimensión de su intersección es $dim U + dim W - dim (U + W)$ . Teniendo en cuenta que la dimensión geométrica del espacio proyectivo $P (V)$ asociado a $V$ es $dim V - 1$ y que la dimensión geométrica de cualquier subespacio es positiva, la proposición básica de incidencia en este contexto puede tomar la forma: los subespacios lineales $L$ y $M$ del espacio proyectivo $P$ se intersecan siempre que $dim L + dim M \geq dim P$ . ^{[ 1 ]}

Las siguientes secciones se limitan a planos proyectivos definidos sobre cuerpos , a menudo denotados por $PG(2, F)$ , donde $F$ es un cuerpo, o $P 2 F.$ Sin embargo, estos cálculos pueden extenderse naturalmente a espacios proyectivos de dimensiones superiores, y el cuerpo puede reemplazarse por un anillo de división (o cuerpo asimétrico) siempre que se tenga en cuenta que la multiplicación no es conmutativa en ese caso.

$PG(2, F)$

Sea $V$ el espacio vectorial tridimensional definido sobre el cuerpo $F.$ El plano proyectivo $P (V) = PG(2, F)$ consta de los subespacios vectoriales unidimensionales de $V$ , llamados puntos , y los subespacios vectoriales bidimensionales de $V$ , llamados rectas . La incidencia de un punto y una recta viene dada por la inclusión del subespacio unidimensional en el subespacio bidimensional.

Fijemos una base para $V$ de modo que podamos describir sus vectores como ternas de coordenadas (con respecto a esa base). Un subespacio vectorial unidimensional consta de un vector distinto de cero y todos sus múltiplos escalares. Los múltiplos escalares distintos de cero, escritos como ternas de coordenadas, son las coordenadas homogéneas del punto dado, llamadas coordenadas del punto . Con respecto a esta base, el espacio de soluciones de una ecuación lineal simple ${(x, y, z) | ax + by + cz = 0$ } es un subespacio bidimensional de $V$ y, por lo tanto, una línea de $P (V)$ . Esta línea puede denotarse mediante coordenadas de línea $[a, b, c]$ , que también son coordenadas homogéneas ya que los múltiplos escalares distintos de cero darían la misma línea. También se utilizan ampliamente otras notaciones. Las coordenadas de un punto se pueden escribir como vectores columna, $(x, y, z)$ ^T , con dos puntos, $(x : y : z)$ , o con un subíndice, $(x, y, z) P$ . De forma análoga, las coordenadas de una línea se pueden escribir como vectores fila, $(a, b, c)$ , con dos puntos, $[a : b : c]$ o con un subíndice, $(a, b, c) L$ . También son posibles otras variaciones.

Incidencia expresada algebraicamente

Dado un punto $P = (x, y, z)$ y una línea $l = [a, b, c]$ , escrita en términos de coordenadas del punto y de la línea, el punto es incidente con la línea (a menudo escrito como $P I l$ ), si y solo si,

ax + by + cz = 0

.

Esto se puede expresar en otras notaciones como:

ax+by+cz=[a,b,c]\cdot (x,y,z)=(a,b,c)_{L}\cdot (x,y,z)_{P}=

=[a:b:c]\cdot (x:y:z)=(a,b,c)\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right)=0.

Sin importar la notación que se utilice, cuando las coordenadas homogéneas del punto y la línea se consideran simplemente como ternas ordenadas, su incidencia se expresa como un producto escalar igual a 0.

El incidente de la línea con un par de puntos distintos

Sean $P 1$ y $P 2$ un par de puntos distintos con coordenadas homogéneas $(x 1, y 1, z 1)$ y $(x 2, y 2, z 2)$ respectivamente. Estos puntos determinan una única recta $l$ con una ecuación de la forma $ax + by + cz = 0$ y deben satisfacer las ecuaciones:

ax 1 + by 1 + cz 1 = 0

y

ax² + by² + cz² = 0

.

​

​

En forma matricial, este sistema de ecuaciones lineales simultáneas se puede expresar como:

\left({\begin{matrix}x&y&z\\x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}}\right).

Este sistema tiene una solución no trivial si y solo si el determinante ,

\left|{\begin{matrix}x&y&z\\x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\end{matrix}}\right|=0.

La expansión de esta ecuación determinante produce una ecuación lineal homogénea, que debe ser la ecuación de la recta $l$ . Por lo tanto, salvo un factor constante común distinto de cero, tenemos $l = [a, b, c]$ donde:

a = y 1 z 2 - y 2 z 1

,

b = x 2 z 1 - x 1 z 2

, y

c = x 1 y 2 - x 2 y 1

.

En términos de la notación del triple producto escalar para vectores, la ecuación de esta línea se puede escribir como:

P \cdot P 1 \times P 2 = 0

,

donde $P = (x, y, z)$ es un punto genérico.

Colinealidad

Los puntos que inciden en la misma línea se denominan colineales . El conjunto de todos los puntos que inciden en la misma línea se denomina rango .

Si $P 1 = (x 1, y 1, z 1), P 2 = (x 2, y 2, z 2)$ , y $P 3 = (x 3, y 3, z 3)$ , entonces estos puntos son colineales si y solo si

\left|{\begin{matrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{matrix}}\right|=0,

es decir, si y solo si el determinante de las coordenadas homogéneas de los puntos es igual a cero.

Para más de 3 puntos, esto se puede generalizar como una prueba de rango: $P_{1},...,P_{n}$ con las coordenadas homogéneas $(x_{1},y_{1},z_{1}),...,(x_{n},y_{n},z_{n})$ son colineales si y solo si

$\operatorname {rank} {\begin{pmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\\vdots &\vdots &\vdots \\x_{n}&y_{n}&z_{n}\end{pmatrix}}<3$ .

Según la prueba del determinante de Gram , si la matriz $P$ arriba tiene menos de rango completo es equivalente a $\det(P^{\mathsf {T}}P)=0$ .

Intersección de un par de líneas

Sean $l 1 = [a 1, b 1, c 1]$ y $l 2 = [a 2, b 2, c 2]$ un par de rectas distintas. Entonces, la intersección de las rectas $l 1$ y $l 2$ es el punto a $P = (x 0, y 0, z 0)$ que es la solución simultánea (salvo un factor escalar) del sistema de ecuaciones lineales:

a 1 x + b 1 y + c 1 z = 0

y

a²x + b²y + c²z = 0

.

​

​

​

​

​

La solución de este sistema da como resultado:

x 0 = b 1 c 2 - b 2 c 1

,

y 0 = a 2 c 1 - a 1 c 2

, y

z 0 = a 1 b 2 - a 2 b 1

.

Alternativamente, consideremos otra línea $l = [a, b, c]$ que pasa por el punto $P$ , es decir, las coordenadas homogéneas de $P$ satisfacen la ecuación:

ax + by + cz = 0

.

Combinando esta ecuación con las dos que definen $P$ , podemos buscar una solución no trivial de la ecuación matricial:

\left({\begin{matrix}a&b&c\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}}\right).

Tal solución existe siempre que el determinante,

\left|{\begin{matrix}a&b&c\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{matrix}}\right|=0.

Los coeficientes de $a, b$ y $c$ en esta ecuación dan las coordenadas homogéneas de $P.$

La ecuación de la recta genérica que pasa por el punto $P$ en notación de producto triple escalar es:

l \cdot l 1 \times l 2 = 0

.

Concurrencia

Se dice que las líneas que se encuentran en el mismo punto son concurrentes . El conjunto de todas las líneas en un plano incidentes en el mismo punto se llama haz de líneas centrado en ese punto. El cálculo de la intersección de dos líneas muestra que todo el haz de líneas centrado en un punto está determinado por cualesquiera dos de las líneas que se intersecan en ese punto. Inmediatamente se sigue que la condición algebraica para que tres líneas, $[a 1, b 1, c 1], [a 2, b 2, c 2], [a 3, b 3, c 3]$ sean concurrentes es que el determinante,

\left|{\begin{matrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{matrix}}\right|=0.

Véase también

Teorema de Menelao
Teorema de Ceva
Concíclico
El problema de Hopcroft de encontrar incidencias punto-línea
Matriz de incidencia
Álgebra de incidencia
Estructura de incidencia
Geometría de incidencia
Gráfico de Levi
Los axiomas de Hilbert

Referencias

↑ Joel G. Broida y S. Gill Williamson (1998) Introducción completa al álgebra lineal , Teorema 2.11, pág. 86, Addison-Wesley ISBN 0-201-50065-5. El teorema dice que $dim (L + M) = dim L + dim M - dim (L \cap M)$ . Por lo tanto, $dim L + dim M > dim P$ implica $dim (L \cap M) > 0$ .

Harold L. Dorwart (1966) La geometría de la incidencia , Prentice Hall .

[1] Joel G. Broida y S. Gill Williamson (1998) Introducción completa al álgebra lineal , Teorema 2.11, pág. 86, Addison-Wesley ISBN 0-201-50065-5. El teorema dice que $dim (L + M) = dim L + dim M - dim (L \cap M)$ . Por lo tanto, $dim L + dim M > dim P$ implica $dim (L \cap M) > 0$ .

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PG(2, F )