Espacio lineal (geometría)

Un espacio lineal es una estructura básica en geometría de incidencia . Un espacio lineal consta de un conjunto de elementos llamados puntos y un conjunto de elementos llamados rectas . Cada recta es un subconjunto distinto de los puntos. Se dice que los puntos que se encuentran en una recta inciden sobre ella. Cada par de puntos se encuentra en una recta, y dos rectas cualesquiera no pueden tener más de un punto en común. Intuitivamente, esta regla se puede visualizar como la propiedad de que dos rectas nunca se intersecan más de una vez.

Los espacios lineales pueden verse como una generalización de los planos proyectivos y afines , y más ampliamente, de los espacios 2-${\displaystyle (v,k,1)}$diseños de bloques , donde se elimina el requisito de que cada bloque contenga el mismo número de puntos y la característica estructural esencial es que 2 puntos inciden con exactamente 1 línea.

El término espacio lineal fue acuñado por Paul Libois en 1964, aunque muchos resultados sobre espacios lineales son mucho más antiguos.

Sea L = ( P , G , I ) una estructura de incidencia , cuyos elementos de P se denominan puntos y cuyos elementos de G se denominan líneas. L es un espacio lineal si se cumplen los siguientes tres axiomas:

• (L1) dos puntos distintos son incidentes con exactamente una línea.
• (L2) cada línea es incidente a al menos dos puntos distintos.
• (L3) L contiene al menos dos líneas distintas.

Algunos autores omiten (L3) al definir espacios lineales. En tal caso, los espacios lineales que cumplen con (L3) se consideran no triviales y los que no, triviales .

El plano euclidiano regular, con sus puntos y líneas, constituye un espacio lineal; además, todos los espacios afines y proyectivos también son espacios lineales.

La tabla que aparece a continuación muestra todos los espacios lineales no triviales posibles formados por cinco puntos. Dado que cualquier par de puntos siempre incide en una misma recta, por convención no se dibujan las rectas que inciden solo en dos puntos. El caso trivial es simplemente una recta que pasa por cinco puntos.

En la primera ilustración, no se dibujan las diez líneas que conectan los diez pares de puntos. En la segunda ilustración, no se dibujan las siete líneas que conectan los siete pares de puntos.

Un espacio lineal de n puntos que contiene una recta incidente en n − 1 puntos se denomina haz cercano . (Véase haz cercano ).  

El teorema de De Bruijn-Erdős muestra que en cualquier espacio lineal finito${\displaystyle S=({\mathcal {P}},{\mathcal {L}},{\textbf {I}})}$que no es un solo punto ni una sola línea, tenemos${\displaystyle |{\mathcal {P}}|\leq |{\mathcal {L}}|}$.

• Diseño de bloques
• Avión Fano
• Espacio proyectivo
• espacio afín
• Geometría molecular
• Espacio lineal parcial

• Shult, Ernest E. (2011), Puntos y líneas , Universitext, Springer, doi : 10.1007/978-3-642-15627-4 , ISBN 978-3-642-15626-7.

• Albrecht Beutelspacher : Einführung in die endliche Geometrie II . Instituto Bibliográfico, 1983, ISBN 3-411-01648-5pág. 159 (alemán)
• JH van Lint , RM Wilson : Un curso de combinatoria . Cambridge University Press, 1992, ISBN 0-521-42260-4pág. 188
• LM Batten, Albrecht Beutelspacher: Teoría de los espacios lineales finitos . Cambridge University Press, Cambridge, 1992.