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Colineación

En geometría proyectiva , una colineación es una aplicación biyectiva (una biyección ) de un espacio proyectivo a otro, o de un espacio proyectivo a sí mismo, de tal manera que ...

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En geometría proyectiva , una colineación es una aplicación biyectiva (una biyección ) de un espacio proyectivo a otro, o de un espacio proyectivo a sí mismo, de tal manera que las imágenes de los puntos colineales son también colineales. Una colineación es, por lo tanto, un isomorfismo entre espacios proyectivos, o un automorfismo de un espacio proyectivo a sí mismo. Algunos autores restringen la definición de colineación al caso en que es un automorfismo. [ 1 ] El conjunto de todas las colineaciones de un espacio a sí mismo forma un grupo , llamado grupo de colineaciones .

Definición

En pocas palabras, una colineación es una correspondencia biunívoca entre dos espacios proyectivos, o entre un espacio proyectivo y sí mismo, de tal manera que las imágenes de puntos colineales también son colineales. Esto puede formalizarse utilizando diversas formas de representar un espacio proyectivo. Además, el caso de la recta proyectiva es especial y, por lo tanto, generalmente se trata de manera diferente.

Álgebra lineal

Para un espacio proyectivo definido en términos de álgebra lineal (como la proyectividad de un espacio vectorial ), una colineación es una aplicación entre los espacios proyectivos que preserva el orden con respecto a la inclusión de subespacios.

Formalmente, sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y W un espacio vectorial sobre un cuerpo L. Consideremos los espacios proyectivos PG ( V ) y PG ( W ), que consisten en las rectas vectoriales de V y W. Llamemos D ( V ) y D ( W ) al conjunto de subespacios de V y W, respectivamente. Una colineación de PG ( V ) a PG ( W ) es una aplicación α  : D ( V ) → D ( W ) tal que:

  • α es una biyección.
  • A ⊆ B ⇔ α( A ) ⊆ α( B ) para todo A , B en D ( V ). [ 2 ]

Axiomáticamente

Dado un espacio proyectivo definido axiomáticamente en términos de una estructura de incidencia (un conjunto de puntos P, líneas L y una relación de incidencia I que especifica qué puntos se encuentran sobre qué líneas, satisfaciendo ciertos axiomas), una colineación entre espacios proyectivos así definidos es entonces una función biyectiva f entre los conjuntos de puntos y una función biyectiva g entre el conjunto de líneas, preservando la relación de incidencia. [ 3 ]

Todo espacio proyectivo de dimensión mayor o igual a tres es isomorfo a la proyectividad de un espacio lineal sobre un anillo de división , por lo que en estas dimensiones esta definición no es más general que la lineal-algebraica anterior, pero en dimensión dos hay otros planos proyectivos, a saber, los planos no desarguesianos , y esta definición permite definir colineaciones en tales planos proyectivos.

En la dimensión uno, el conjunto de puntos que se encuentran sobre una única línea proyectiva define un espacio proyectivo, y la noción resultante de colineación es simplemente cualquier biyección del conjunto.

Colineaciones de la línea proyectiva

En un espacio proyectivo de dimensión uno (una recta proyectiva; la proyectividad de un espacio vectorial de dimensión dos), todos los puntos son colineales, por lo que el grupo de colineación es precisamente el grupo simétrico de los puntos de la recta proyectiva. Esto difiere del comportamiento en dimensiones superiores, por lo que se proporciona una definición más restrictiva, especificada de manera que se cumpla el teorema fundamental de la geometría proyectiva .

En esta definición, cuando V tiene dimensión dos, una colineación de PG ( V ) a PG ( W ) es una aplicación α  : D ( V ) → D ( W ) , tal que:

Este último requisito garantiza que todas las colineaciones sean aplicaciones semilineales.

Tipos

Los principales ejemplos de colineaciones son las transformaciones lineales proyectivas (también conocidas como homografías ) y las colineaciones automórficas . Para espacios proyectivos que parten de un espacio lineal, el teorema fundamental de la geometría proyectiva establece que todas las colineaciones son una combinación de estas, como se describe a continuación.

transformaciones lineales proyectivas

Las transformaciones lineales proyectivas (homografías) son colineaciones (los planos en un espacio vectorial se corresponden con líneas en el espacio proyectivo asociado, y las transformaciones lineales transforman planos en planos, por lo que las transformaciones lineales proyectivas transforman líneas en líneas), pero en general no todas las colineaciones son transformaciones lineales proyectivas. El grupo de transformaciones lineales proyectivas ( GLP ) es, en general, un subgrupo propio del grupo de colineaciones.

Colineaciones automórficas

UnLa colineación automórfica es una aplicación que, en coordenadas, es unautomorfismo de campoaplicado a las coordenadas.

Teorema fundamental de la geometría proyectiva

Si la dimensión geométrica de un espacio proyectivo papiano es al menos 2, entonces toda colineación es el producto de una homografía (una transformación lineal proyectiva) y una colineación automórfica. Más precisamente, el grupo de colineaciones es el grupo semilineal proyectivo , que es el producto semidirecto de homografías por colineaciones automórficas.

En particular, las colineaciones del plano proyectivo real PG(2, R ) son exactamente las homografías, ya que R no tiene automorfismos no triviales (ver Automorfismo#Ejemplos y nota al pie d en Número real ).

Supongamos que φ es una aplicación semilineal no singular de V a W , con dimensión de V al menos tres. Definimos α  : D ( V ) → D ( W ) diciendo que Z α = { φ ( z )  : z ∈ Z } para todo Z en D ( V ). Como φ es semilineal, se comprueba fácilmente que esta aplicación está correctamente definida y, además, como φ no es singular, es biyectiva. Ahora es obvio que α es una colineación. Decimos que α es inducida por φ .

El teorema fundamental de la geometría proyectiva afirma lo contrario:

Supongamos que V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K con dimensión al menos tres, W es un espacio vectorial sobre un cuerpo L , y α es una colineación de PG( V ) a PG( W ). Esto implica que K y L son cuerpos isomorfos, V y W tienen la misma dimensión, y existe una aplicación semilineal φ tal que φ induce α .

Para n ≥ 3 , el grupo de colineación es el grupo semilineal proyectivo , P Γ L – este es PGL, retorcido por automorfismos de cuerpo ; formalmente, el producto semidirecto P Γ L ≅ PGL ⋊ Gal( K / k ) , donde k es el cuerpo primo para K .

Estructura lineal

Así, para K un campo primo (Fpag{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}oQ{\displaystyle \mathbb {Q} }), tenemos PGL = P Γ L , pero para K no es un campo primo (comodo{\displaystyle \mathbb {C} }oFpagnorte{\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}para n ≥ 2 ), el grupo lineal proyectivo es en general un subgrupo propio del grupo de colineación, que puede pensarse como "transformaciones que preservan una estructura semilineal proyectiva ". Correspondientemente, el grupo cociente P Γ L / PGL ≅ Gal( K / k ) corresponde a "elecciones de estructura lineal", siendo la identidad (punto base) la estructura lineal existente. Dado un espacio proyectivo sin una identificación como la proyectividad de un espacio lineal, no hay isomorfismo natural entre el grupo de colineación y PΓL, y la elección de una estructura lineal (realización como proyectividad de un espacio lineal) corresponde a una elección de subgrupo PGL < P Γ L , estas elecciones forman un torsor sobre Gal( K / k ).

Historia

La idea de una línea se abstrajo a una relación ternaria determinada por la colinealidad (puntos que se encuentran en una sola línea). Según Wilhelm Blaschke [ 4 ], fue August Möbius quien primero abstrajo esta esencia de la transformación geométrica:

¿Qué significan ahora nuestras transformaciones geométricas? Möbius ya planteó y respondió esta pregunta en su Cálculo Baricéntrico (1827). Allí no habló de transformaciones , sino de permutaciones (Verwandtschaften), al afirmar que dos elementos extraídos de un dominio se permutaban al intercambiarlos mediante una ecuación arbitraria. En nuestro caso particular, ecuaciones lineales entre coordenadas de puntos homogéneos, Möbius denominó a la permutación (Verwandtschaft) de ambos espacios de puntos, en particular, colineación . Este significado sería modificado posteriormente por Chasles a homografía . La expresión de Möbius se comprende de inmediato si, siguiendo su ejemplo, llamamos colineales a los puntos que se encuentran en la misma línea. La designación de Möbius puede expresarse diciendo que los puntos colineales se transforman mediante una permutación en puntos colineales, o, dicho de otro modo, que las líneas rectas permanecen rectas.

Los matemáticos contemporáneos conciben la geometría como una estructura de incidencia con un grupo de automorfismos formado por aplicaciones del espacio subyacente que preservan la incidencia . Dicha aplicación permuta las líneas de la estructura de incidencia, y la noción de colineación se mantiene.

Como mencionan Blaschke y Klein, Michel Chasles prefería el término homografía a colineación . La distinción entre ambos términos surgió al aclararse la diferencia entre el plano proyectivo real y la recta proyectiva compleja . Dado que no existen automorfismos de cuerpo no triviales del cuerpo de los números reales , todas las colineaciones son homografías en el plano proyectivo real [ 5 ]; sin embargo, debido al automorfismo de cuerpo de la conjugación compleja , no todas las colineaciones de la recta proyectiva compleja son homografías. En aplicaciones como la visión por computadora, donde el cuerpo subyacente es el cuerpo de los números reales, homografía y colineación pueden usarse indistintamente.

Antihomografía

La operación de tomar el conjugado complejo en el plano complejo equivale a una reflexión en la recta real . Con la notación z ∗ para el conjugado de z , una antihomografía viene dada por

F(z)=az∗+bdoz∗+d.{\displaystyle f(z)={\frac {az^{*}+b}{cz^{*}+d}}.}

Así, una antihomografía es la composición de una conjugación con una homografía , y también lo es un ejemplo de una colineación que no es una homografía. Por ejemplo, geométricamente, el mapeoF(z)=1/z∗{\displaystyle f(z)=1/z^{*}}equivale a la inversión del círculo . [ 6 ] Las transformaciones de la geometría inversiva del plano se describen frecuentemente como la colección de todas las homografías y antihomografías del plano complejo. [ 7 ]

Notas

  1. ↑ Por ejemplo, Beutelspacher y Rosenbaum 1998 , pág. 21 , Casse 2006 , pág. 56 y Yale 2004 , pág. 226
  2. ↑ Los geómetras todavía suelen usar una notación de tipo exponencial para las funciones y esta condición aparecerá a menudo como A ⊆ B ⇔ A α ⊆ B α para todo A , B en D ( V ).
  3. ↑ "Preservar la relación de incidencia" significa que si el punto p está en la línea l, entonces f ( p ) está en g ( l ) ; formalmente, si ( p , l ) ∈ I entonces ( f ( p ), g ( l )) ∈ I ′ .
  4. ↑ Felix Klein (1926, 1949) Vorlesungen über Höhere Geometrie , editado por Blaschke, página 138
  5. ↑ Casse 2006 , pág. 64, Corolario 4.29
  6. ↑ Morley y Morley 1933 , pág. 38
  7. ^ Blair 2000 , pág.  43 ; Schwerdtfeger 2012 , pág.  42 .

Referencias

  • Beutelspacher, Albrecht ; Rosenbaum, Ute (1998), Geometría proyectiva / De los fundamentos a las aplicaciones , Cambridge University Press, ISBN 0-521-48364-6
  • Blair, David E. (2000), Teoría de la inversión y mapeo conforme , Biblioteca matemática estudiantil, vol.  9, Sociedad Matemática Americana, ISBN 9780821826362
  • Blaschke, Wilhelm (1948), Geometría proyectiva , Wolfenbütteler Verlagsanstalt
  • Casse, Rey (2006), Geometría proyectiva / Una introducción , Oxford University Press, ISBN 9780199298860
  • Morley, Frank ; Morley, FV (1933), Geometría inversiva , Londres: G. Bell and Sons
  • Schwerdtfeger, Hans (2012), Geometría de los números complejos , Courier Dover Publications, ISBN 9780486135861
  • Yale, Paul B. (2004) [publicado originalmente en 1968], Geometría y simetría , Dover, ISBN 0-486-43835-X