Proyeccionamiento

En matemáticas , la proyectividad es un procedimiento que asocia a un espacio vectorial no nulo V un espacio proyectivo P ( V ) , cuyos elementos son subespacios unidimensionales de V. De forma más general, cualquier subconjunto S de V cerrado bajo ^la multiplicación escalar define un subconjunto de P ( V ) formado por las rectas contenidas en S y se denomina proyectividad de S. ^{[ 1} ]

• La proyectividad es un caso especial de la factorización por una acción de grupo : el espacio proyectivo P ( V ) es el cociente del conjunto abierto V \ {0} de vectores no nulos por la acción del grupo multiplicativo del cuerpo base por transformaciones escalares. La dimensión de P ( V ) en el sentido de la geometría algebraica es una unidad menor que la dimensión del espacio vectorial V .
• La proyectividad es funtorial con respecto a las aplicaciones lineales inyectivas : si

${\displaystyle f:V\to W}$

es una aplicación lineal con núcleo trivial entonces f define una aplicación algebraica de los espacios proyectivos correspondientes,

${\displaystyle \mathbf {P} (f):\mathbf {P} (V)\to \mathbf {P} (W).}$

En particular, el grupo lineal general GL( V ) actúa sobre el espacio proyectivo P ( V ) mediante automorfismos .

Un procedimiento relacionado incrusta un espacio vectorial V sobre un cuerpo K en el espacio proyectivo P ( V ⊕ K ) de la misma dimensión. A cada vector v de V , le asocia la línea generada por el vector ( v , 1) de V ⊕ K .

En geometría algebraica , existe un procedimiento que asocia una variedad proyectiva Proj S con un álgebra conmutativa graduada S (bajo ciertas restricciones técnicas sobre S ). Si S es el álgebra de polinomios en un espacio vectorial V , entonces Proj S es P ( V ) . Esta construcción de Proj da lugar a un functor contravariante de la categoría de anillos conmutativos graduados y aplicaciones graduadas sobreyectivas a la categoría de esquemas proyectivos .