Espacio topológico finito

En matemáticas , un espacio topológico finito es un espacio topológico cuyo conjunto de puntos subyacente es finito . Es decir, es un espacio topológico que tiene solo un número finito de elementos.

Los espacios topológicos finitos se utilizan a menudo para proporcionar ejemplos de fenómenos interesantes o contraejemplos a conjeturas que parecen plausibles. William Thurston ha calificado el estudio de las topologías finitas en este sentido como «un tema peculiar que puede aportar buenas ideas a diversas cuestiones». ^{[ 1 ]}

Topologías en un conjunto finito

Dejar $X$ sea un conjunto finito. Una topología en $X$ es un subconjunto $\tau$ de $P(X)$ (el conjunto de potencias de $X$ ) tal que

$\varnothing \in \tau$ y $X\in \tau$ .
si $U,V\in \tau$ entonces $U\cup V\in \tau$ .
si $U,V\in \tau$ entonces $U\cap V\in \tau$ .

En otras palabras, un subconjunto $\tau$ de $P(X)$ es una topología si $\tau$ contiene ambos $\varnothing$ y $X$ y está cerrado bajo uniones e intersecciones arbitrarias . Elementos de $\tau$ se denominan conjuntos abiertos . La descripción general de los espacios topológicos requiere que una topología sea cerrada bajo uniones arbitrarias (finitas o infinitas) de conjuntos abiertos, pero solo bajo intersecciones de un número finito de conjuntos abiertos. Aquí, esa distinción es innecesaria. Dado que el conjunto potencia de un conjunto finito es finito, solo puede haber un número finito de conjuntos abiertos (y solo un número finito de conjuntos cerrados ).

Una topología en un conjunto finito también puede pensarse como una subretícula de $(P(X),\subset )$ que incluye ambos elementos inferiores $\varnothing$ y el elemento superior $X$ .

Ejemplos

0 o 1 punto

Existe una topología única en el conjunto vacío ∅. El único conjunto abierto es el vacío. De hecho, este es el único subconjunto de ∅.

Asimismo, existe una topología única en un conjunto unitario { a }. En este caso, los conjuntos abiertos son ∅ y { a }. Esta topología es discreta y trivial , aunque en cierto modo es mejor considerarla como un espacio discreto, ya que comparte más propiedades con la familia de espacios discretos finitos.

Para cualquier espacio topológico X, existe una única función continua de ∅ a X , denominada función vacía . También existe una única función continua de X al espacio unitario { a }, denominada función constante a a . En el lenguaje de la teoría de categorías, el espacio vacío sirve como objeto inicial en la categoría de espacios topológicos, mientras que el espacio unitario sirve como objeto terminal .

2 puntos

Sea X = { a , b } un conjunto con 2 elementos. Existen cuatro topologías distintas en X :

{∅, { a , b }} (la topología trivial )
{∅, { a }, { a , b }}
{∅, { b }, { a , b }}
{∅, { a }, { b }, { a , b }} (la topología discreta )

Es fácil ver que la segunda y la tercera topologías mencionadas anteriormente son homeomorfas . La función de X en sí mismo que intercambia a y b es un homeomorfismo. Un espacio topológico homeomorfo a uno de estos se denomina espacio de Sierpiński . Por lo tanto, de hecho, solo existen tres topologías no equivalentes en un conjunto de dos puntos: la trivial, la discreta y la topología de Sierpiński.

El preorden de especialización en el espacio de Sierpiński { a , b } con { b } abierto viene dado por: a ≤ a , b ≤ b , y a ≤ b .

3 puntos

Sea X = { a , b , c } un conjunto con 3 elementos. Hay 29 topologías distintas en X , pero solo 9 topologías no equivalentes:

{∅, { a , b , c }}
{∅, { c }, { a , b , c }}
{∅, { a , b }, { a , b , c }}
{∅, { c }, { a , b }, { a , b , c }}
{∅, { c }, { b , c }, { a , b , c }} ( T ₀ )
{∅, { c }, { a , c }, { b , c }, { a , b , c }} ( T ₀ )
{∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , b , c }} ( T ₀ )
{∅, { b }, { c }, { a , b }, { b , c }, { a , b , c }} ( T ₀ )
{∅, { a }, { b }, { c }, { a , b }, { a , c }, { b , c }, { a , b , c }} ( T ₀ )

Los últimos 5 de estos son todos T ₀ . El primero es trivial, mientras que en 2, 3 y 4 los puntos a y b son topológicamente indistinguibles .

4 puntos

Sea X = { a , b , c , d } un conjunto con 4 elementos. Hay 355 topologías distintas en X , pero solo 33 topologías no equivalentes:

{∅, { a , b , c , d }}
{∅, { a , b , c }, { a , b , c , d }}
{∅, { a }, { a , b , c , d }}
{∅, { a }, { a , b , c }, { a , b , c , d }}
{∅, { a , b }, { a , b , c , d }}
{∅, { a , b }, { a , b , c }, { a , b , c , d }}
{∅, { a }, { a , b }, { a , b , c , d }}
{∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , b , c , d }}
{∅, { a , b , c }, { d }, { a , b , c , d }}
{∅, { a }, { a , b , c }, { a , d }, { a , b , c , d }}
{∅, { a }, { a , b , c }, { d }, { a , d }, { a , b , c , d }}
{∅, { a }, { b , c }, { a , b , c }, { a , d }, { a , b , c , d }}
{∅, { a , b }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }}
{∅, { a , b }, { c }, { a , b , c }, { a , b , c , d }}
{∅, { a , b }, { c }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }}
{∅, { a , b }, { c }, { a , b , c }, { d }, { a , b , d }, { c , d }, { a , b , c , d }}
{∅, { b , c }, { a , d }, { a , b , c , d }}
{∅, { a }, { a , b }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
{∅, { a }, { a , b }, { a , c }, { a , b , c }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
{∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , c }, { a , b , c }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
{∅, { a }, { a , b }, { a , b , c }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
{∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , b , c }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
{∅, { a }, { a , b }, { c }, { a , c }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
{∅, { a }, { a , b }, { a , c }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
{∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
{∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , c }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
{∅, { a }, { b }, { a , b }, { b , c }, { a , b , c }, { a , d }, { a , b , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
{∅, { a }, { a , b }, { a , c }, { a , b , c }, { a , d }, { a , b , d }, { a , c , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
{∅, { a }, { b }, { a , b }, { a , c }, { a , b , c }, { a , d }, { a , b , d }, { a , c , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
{∅, { a }, { b }, { a , b }, { c }, { a , c }, { b , c }, { a , b , c }, { a , b , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
{∅, { a }, { b }, { a , b }, { c }, { a , c }, { b , c }, { a , b , c }, { a , d }, { a , b , d }, { a , c , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
{∅, { a }, { b }, { a , b }, { c }, { a , c }, { b , c }, { a , b , c }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )
{∅, { a }, { b }, { a , b }, { c }, { a , c }, { b , c }, { a , b , c }, { d }, { a , d }, { b , d }, { a , b , d }, { c , d }, { a , c , d }, { b , c , d }, { a , b , c , d }} ( T ₀ )

Los últimos 16 de estos son todos T ₀ .

Propiedades

Preorden de especialización

Las topologías en un conjunto finito X están en correspondencia biunívoca con los preórdenes en X. Recordemos que un preorden en X es una relación binaria en X que es reflexiva y transitiva .

Dado un espacio topológico X (no necesariamente finito) podemos definir un preorden en X mediante

x ≤ y si y solo si x ∈ cl{ y }

donde cl{ y } denota la clausura del conjunto unitario { y }. Este preorden se denomina preorden de especialización en X. Todo conjunto abierto U de X será un conjunto superior con respecto a ≤ (es decir, si x ∈ U y x ≤ y, entonces y ∈ U ). Ahora bien, si X es finito, lo contrario también es cierto: todo conjunto superior es abierto en X. Por lo tanto, para espacios finitos, la topología en X está determinada unívocamente por ≤.

En sentido contrario, supongamos que ( X , ≤) es un conjunto preordenado. Definimos una topología τ en X tomando los conjuntos abiertos como los conjuntos superiores con respecto a ≤. Entonces, la relación ≤ será el preorden de especialización de ( X , τ). La topología definida de esta manera se denomina topología de Alexandrov determinada por ≤.

La equivalencia entre preórdenes y topologías finitas puede interpretarse como una versión del teorema de representación de Birkhoff , una equivalencia entre retículos distributivos finitos (el retículo de conjuntos abiertos de la topología) y órdenes parciales (el orden parcial de clases de equivalencia del preorden). Esta correspondencia también se aplica a una clase más amplia de espacios denominados espacios finitamente generados . Los espacios finitamente generados se caracterizan por ser aquellos en los que una intersección arbitraria de conjuntos abiertos es abierta. Los espacios topológicos finitos constituyen una clase especial de espacios finitamente generados.

Compacidad y numeración

Todo espacio topológico finito es compacto , puesto que cualquier recubrimiento abierto debe ser finito. De hecho, los espacios compactos suelen considerarse una generalización de los espacios finitos, ya que comparten muchas de sus propiedades.

Todo espacio topológico finito es también segundo-contable (solo hay un número finito de conjuntos abiertos) y separable (ya que el espacio en sí es contable ).

Axiomas de separación

Si un espacio topológico finito es _T¹ ( en particular, si es de Hausdorff ), entonces debe ser discreto. Esto se debe a que el complemento de un conjunto unitario es la unión de un número finito de conjuntos unitarios cerrados y, por lo tanto, cerrado. De ello se deduce que cada conjunto unitario debe ser abierto.

Por lo tanto, cualquier espacio topológico finito que no sea discreto no puede ser T ₁ , Hausdorff, ni nada más fuerte.

Sin embargo, es posible que un espacio finito no discreto sea T ₀ . En general, dos puntos x e y son topológicamente indistinguibles si y solo si x ≤ y e y ≤ x , donde ≤ es el preorden de especialización en X . De ello se deduce que un espacio X es T ₀si y solo si el preorden de especialización ≤ en X es un orden parcial . Existen numerosos órdenes parciales en un conjunto finito. Cada uno define una topología T _{0 única.}

De manera similar, un espacio es R ₀ si y solo si el preorden de especialización es una relación de equivalencia . Dada cualquier relación de equivalencia en un conjunto finito X, la topología asociada es la topología de partición en X. Las clases de equivalencia serán las clases de puntos topológicamente indistinguibles. Dado que la topología de partición es pseudometrizable , un espacio finito es R ₀ si y solo si es completamente regular .

Los espacios finitos no discretos también pueden ser normales . La topología de puntos excluidos en cualquier conjunto finito es un espacio T ₀completamente normal que no es discreto.

Conectividad

La conectividad en un espacio finito X se comprende mejor considerando el preorden de especialización ≤ en X. Podemos asociar a cualquier conjunto preordenado X un grafo dirigido Γ tomando los puntos de X como vértices y trazando una arista x → y siempre que x ≤ y . La conectividad de un espacio finito X se puede comprender considerando la conectividad del grafo Γ asociado.

En cualquier espacio topológico, si x ≤ y, entonces existe un camino de x a y . Basta con tomar f (0) = x y f ( t ) = y para t > 0. Es fácil verificar que f es continua. De ello se deduce que las componentes del camino en un espacio topológico finito son precisamente las componentes (débilmente) conexas del grafo asociado Γ. Es decir, existe un camino topológico de x a y si y solo si existe un camino no dirigido entre los vértices correspondientes de Γ.

Todo espacio finito es localmente conexo por caminos ya que el conjunto

\mathop {\uparrow } x=\{y\in X:x\leq y\}

es un vecindario abierto conectado por caminos de x que está contenido en todos los demás vecindarios. En otras palabras, este único conjunto forma una base local en x .

Por lo tanto, un espacio finito es conexo si y solo si es conexo por caminos. Las componentes conexas son precisamente las componentes por caminos. Cada una de estas componentes es a la vez cerrada y abierta en X.

Los espacios finitos pueden tener propiedades de conectividad más fuertes. Un espacio finito X es

Hiperconectado si y solo si existe un elemento mayor con respecto al preorden de especialización. Este es un elemento cuya clausura es todo el espacio X.
ultraconectado si y solo si existe un elemento mínimo con respecto al preorden de especialización. Este es un elemento cuyo único entorno es todo el espacio X.

Por ejemplo, la topología de un punto en un espacio finito es hiperconexa, mientras que la topología de un punto excluido es ultraconexa. El espacio de Sierpiński cumple ambas características.

Estructura adicional

Un espacio topológico finito es pseudometrizable si y solo si es R ₀ . En este caso, una posible pseudométrica viene dada por

d(x,y)={\begin{cases}0&x\equiv y\\1&x\not \equiv y\end{cases}}

donde x ≡ y significa que x e y son topológicamente indistinguibles . Un espacio topológico finito es metrizable si y solo si es discreto.

Asimismo, un espacio topológico es uniformizable si y solo si es R ₀ . La estructura uniforme será la uniformidad pseudométrica inducida por la pseudométrica anterior.

Topología algebraica

Quizás sorprendentemente, existen espacios topológicos finitos con grupos fundamentales no triviales . Un ejemplo sencillo es el pseudocírculo , que es un espacio X con cuatro puntos, dos de los cuales son abiertos y dos cerrados. Existe una aplicación continua del círculo unitario S1 a X que es una equivalencia homotópica débil (es decir ^, induce un isomorfismo de grupos homotópicos ). De ello se deduce que el grupo fundamental del pseudocírculo es cíclico infinito .

De forma más general, se ha demostrado que para cualquier complejo simplicial abstracto finito K , existe un espacio topológico finito X _K y una equivalencia homotópica débil f : | K | → X _K , donde | K | es la realización geométrica de K. De ello se deduce que los grupos homotópicos de | K | y X _K son isomorfos. De hecho, el conjunto subyacente de X _K puede considerarse como el propio K , con la topología asociada al orden parcial de inclusión.

Número de topologías en un conjunto finito

Como se mencionó anteriormente, las topologías en un conjunto finito se corresponden biunívocamente con los preórdenes en el conjunto, y _las topologías T₀ se corresponden biunívocamente con los órdenes parciales . Por lo tanto, el número de topologías en un conjunto finito es igual al número de preórdenes y el número de topologías T₀ _es igual al número de órdenes parciales.

La tabla que aparece a continuación muestra el número de topologías distintas (T ₀ ) en un conjunto con n elementos. También muestra el número de topologías no equivalentes (es decir, no homeomorfas ).

Sea T ( n ) el número de topologías distintas en un conjunto con n puntos. No se conoce ninguna fórmula sencilla para calcular T ( n ) para un n arbitrario . La Enciclopedia en línea de secuencias de enteros actualmente enumera T ( n ) para n ≤ 18.

El número de topologías T ₀ distintas en un conjunto con n puntos, denotado T ₀ ( n ), está relacionado con T ( n ) mediante la fórmula

T(n)=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)\,T_{0}(k)

donde S ( n , k ) denota el número de Stirling de segundo tipo .

Véase también

Referencias

↑ Thurston, William P. (abril de 1994). "Sobre la demostración y el progreso en matemáticas". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 30 (2): 161– 177. arXiv : math/9404236 . doi : 10.1090/S0273-0979-1994-00502-6 .

Stong, Robert E. (1966). "Espacios topológicos finitos" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 123 (2): 325– 340. doi : 10.1090/s0002-9947-1966-0195042-2 . MR 0195042 .
McCord, Michael C. (1966). "Grupos de homología singulares y grupos de homotopía de espacios topológicos finitos" (PDF) . Duke Math. J. 33 ( 3): 465– 474. doi : 10.1215/S0012-7094-66-03352-7 .
Barmak, Jonathan (2011). Topología algebraica de espacios topológicos finitos y aplicaciones . Springer. ISBN 978-3-642-22002-9.
Merrifield, Richard; Simmons, Howard E. (1989). Métodos topológicos en química . Wiley. ISBN 978-0-471-83817-3.

Enlaces externos

May, JP (2003). "Notas y materiales de lectura sobre espacios topológicos finitos" (PDF) . Notas para REU .

[1] Thurston, William P. (abril de 1994). "Sobre la demostración y el progreso en matemáticas". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 30 (2): 161– 177. arXiv : math/9404236 . doi : 10.1090/S0273-0979-1994-00502-6 .

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