indistinguibilidad topológica

En topología , dos puntos de un espacio topológico X son topológicamente indistinguibles ^{[ 1 ]} si tienen exactamente los mismos vecindarios . Es decir, si x e y son puntos en X , y N _x es el conjunto de todos los vecindarios que contienen a x , y N _y es el conjunto de todos los vecindarios que contienen a y , entonces x e y son "topológicamente indistinguibles" si y solo si N _x = N _y . (Véase el sistema de vecindarios axiomáticos de Hausdorff ).   

Intuitivamente, dos puntos son topológicamente indistinguibles si la topología de X no puede distinguir entre los puntos.

Dos puntos de X son topológicamente distinguibles si no son topológicamente indistinguibles. Esto significa que existe un conjunto abierto que contiene precisamente uno de los dos puntos ( _o , equivalentemente, existe un conjunto cerrado que contiene precisamente uno de los dos puntos). Este conjunto abierto puede utilizarse para distinguir entre los dos puntos. Un espacio T₀ es un espacio topológico en el que cada par de puntos distintos es topológicamente distinguible. Este es el más débil de los axiomas de separación .

La indistinguibilidad topológica define una relación de equivalencia en cualquier espacio topológico X. Si x e y son puntos de X , escribimos x ≡ y para " x e y son topológicamente indistinguibles". La clase de equivalencia de x se denotará por [ x ].

Por definición, dos puntos distintos cualesquiera en un espacio T ₀ son topológicamente distinguibles. Por otro lado, la regularidad y la normalidad no implican T ₀ , por lo que podemos encontrar ejemplos no triviales de puntos topológicamente indistinguibles en espacios topológicos regulares o normales. De hecho, casi todos los ejemplos que se presentan a continuación son completamente regulares .

• En un espacio indiscreto , cualesquiera dos puntos son topológicamente indistinguibles.
• En un espacio pseudométrico , dos puntos son topológicamente indistinguibles si y solo si la distancia entre ellos es cero.
• En un espacio vectorial seminormado , x ≡ y si y solo si ‖ x − y ‖ = 0.
  • Por ejemplo, sea L ² ( R ) el espacio de todas las funciones medibles de R a R que son de cuadrado integrable (véase el espacio L ^p ). Entonces, dos funciones f y g en L ² ( R ) son topológicamente indistinguibles si y solo si son iguales casi en todas partes .
• En un grupo topológico , x ≡ y si y solo si x ^{− 1} y ∈ cl{ e } donde cl{ e } es la clausura del subgrupo trivial . Las clases de equivalencia son simplemente las clases laterales de cl{ e } (que siempre es un subgrupo normal ).
• Los espacios uniformes generalizan tanto los espacios pseudométricos como los grupos topológicos. En un espacio uniforme, x ≡ y si y solo si el par ( x , y ) pertenece a cada entorno . La intersección de todos los entornos es una relación de equivalencia en X que es precisamente la de indistinguibilidad topológica.
• Sea X la topología inicial con respecto a una familia de funciones.${\displaystyle \{f_{\alpha }:X\to Y_{\alpha }\}}$Entonces, dos puntos x e y en X serán topológicamente indistinguibles si la familia${\displaystyle f_{\alpha }}$no los separa (es decir${\displaystyle f_{\alpha }(x)=f_{\alpha }(y)}$a pesar de${\displaystyle \alpha }$).
• Dada cualquier relación de equivalencia en un conjunto X, existe una topología en X para la cual la noción de indistinguibilidad topológica coincide con dicha relación. Basta con tomar las clases de equivalencia como base para la topología. Esto se denomina topología de partición en X.

La relación de indistinguibilidad topológica en un espacio X se puede recuperar a partir de un preorden natural en X llamado preorden de especialización . Para los puntos x e y en X, este preorden se define por

x ≤ y si y solo si x ∈ cl{ y }

donde cl{ y } denota la clausura de { y }. Equivalentemente, x ≤ y si el sistema de vecindad de x , denotado N _x , está contenido en el sistema de vecindad de y :

x ≤ y si y solo si N _x ⊂ N _y .

Es fácil ver que esta relación en X es reflexiva y transitiva , y por lo tanto define un preorden. Sin embargo, en general, este preorden no será antisimétrico . De hecho, la relación de equivalencia determinada por ≤ es precisamente la de indistinguibilidad topológica:

x ≡ y si y solo si x ≤ y e y ≤ x .

Se dice que un espacio topológico es simétrico (o R ₀ ) si el preorden de especialización es simétrico (es decir, x ≤ y implica y ≤ x ). En este caso, las relaciones ≤ y ≡ son idénticas. La indistinguibilidad topológica se comporta mejor en estos espacios y es más fácil de entender. Cabe señalar que esta clase de espacios incluye todos los espacios regulares y completamente regulares .

Dado que la indistinguibilidad topológica es una relación de equivalencia en cualquier espacio topológico X , podemos formar el espacio cociente KX = X /≡. El espacio KX se denomina cociente de Kolmogorov o identificación T ₀ de X. El espacio KX es, de hecho, T ₀ (es decir, todos los puntos son topológicamente distinguibles). Además, por la propiedad característica de la aplicación cociente, cualquier aplicación continua f  : X → Y de X a un espacio T ₀ se factoriza mediante la aplicación cociente q  : X → KX . Categóricamente, los espacios T ₀ forman una subcategoría reflectiva de la categoría de espacios topológicos, con el cociente de Kolmogorov como reflector.

Aunque la aplicación cociente q generalmente no es un homeomorfismo (ya que no es inyectiva ), sí induce una biyección entre la topología en X y la topología en KX . Intuitivamente, el cociente de Kolmogorov no altera la topología de un espacio; simplemente reduce el conjunto de puntos hasta que estos se vuelven topológicamente distinguibles.

• Espacio de Hausdorff – Tipo de espacio topológico 
• Espacio Hausdorff local : espacio tal que cada punto tiene un vecindario Hausdorff. 
• Axioma de separación – Axiomas en topología que definen las nociones de "separación" 
• Preorden de especialización
• Espacio T ₀ – Concepto en topología Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redirección