Geometría digital

La geometría digital se ocupa de conjuntos discretos (normalmente conjuntos de puntos discretos ) considerados modelos digitalizados o imágenes de objetos del espacio euclidiano 2D o 3D . En pocas palabras, digitalizar es sustituir un objeto por un conjunto discreto de sus puntos. Las imágenes que vemos en la pantalla del televisor, en la pantalla de trama de un ordenador o en los periódicos son, de hecho, imágenes digitales .

Sus principales áreas de aplicación son los gráficos por computadora y el análisis de imágenes .

Los principales aspectos del estudio son:

• Construcción de representaciones digitalizadas de objetos, con énfasis en la precisión y la eficiencia (ya sea mediante síntesis, ver, por ejemplo, el algoritmo lineal de Bresenham o los discos digitales, o mediante digitalización y posterior procesamiento de imágenes digitales).
• Estudio de las propiedades de los conjuntos digitales; véase, por ejemplo, teorema de Pick , convexidad digital, rectitud digital o planaridad digital.
• Transformar representaciones digitalizadas de objetos, por ejemplo (A) en formas simplificadas tales como (i) esqueletos, mediante la eliminación repetida de puntos simples de modo que la topología digital de una imagen no cambie, o (ii) eje medial, mediante el cálculo de máximos locales en una transformación de distancia de la representación digitalizada del objeto dada, o (B) en formas modificadas utilizando morfología matemática .
• Reconstruir objetos "reales" o sus propiedades (área, longitud, curvatura, volumen, superficie, etc.) a partir de imágenes digitales.
• Estudio de curvas digitales, superficies digitales y variedades digitales .
• Diseño de algoritmos de seguimiento para objetos digitales.
• Funciones en el espacio digital.
• Dibujo de curvas, un método para dibujar una curva píxel por píxel.

La geometría digital se superpone en gran medida con la geometría discreta y puede considerarse parte de ella.

Un espacio digital 2D suele ser un espacio de cuadrícula 2D que solo contiene puntos enteros en un espacio euclidiano 2D. Una imagen 2D es una función en un espacio digital 2D (ver procesamiento de imágenes ).

En el libro de Rosenfeld y Kak, la conectividad digital se define como la relación entre elementos en el espacio digital. Por ejemplo, conectividad 4 y conectividad 8 en 2D. Véase también conectividad de píxeles . Un espacio digital y su conectividad (digital) determinan una topología digital .

En el espacio digital, se propusieron, de forma independiente, la función digitalmente continua (A. Rosenfeld, 1986) y la función gradualmente variada (L. Chen, 1989).

Una función digitalmente continua es una función en la que el valor (un entero) en un punto digital es el mismo o se desvía como máximo en 1 de sus vecinos. En otras palabras, si x e y son dos puntos adyacentes en un espacio digital, | f ( x ) −  f ( y )| ≤ 1.

Una función gradualmente variada es una función de un espacio digital a donde y son números reales. Esta función posee la siguiente propiedad: Si x e y son dos puntos adyacentes en , supongamos que , entonces , , o . De modo que podemos ver que la función gradualmente variada se define como más general que la función digitalmente continua. ${\estilo de visualización \Sigma}$${\displaystyle \{A_{1},\puntos ,A_{m}\}}$${\displaystyle A_{1}<\cdots <A_{m}}$$Estilo de visualización A_{i}}$${\estilo de visualización \Sigma}$${\displaystyle f(x)=A_{i}}$${\displaystyle f(y)=A_{i}}$${\displaystyle f(x)=A_{i+1}}$$Estilo de visualización A_{i-1}}$

Un teorema de extensión relacionado con las funciones anteriores fue mencionado por A. Rosenfeld (1986) y completado por L. Chen (1989). Este teorema establece: Sea y . La condición necesaria y suficiente para la existencia de la extensión gradualmente variada de es : para cada par de puntos y en , supongamos que y , tenemos , donde es la distancia (digital) entre y . ${\displaystyle D\subconjunto \Sigma }$${\displaystyle f:D\rightarrow \{A_{1},\puntos ,A_{m}\}}$${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización D}$${\displaystyle f(x)=A_{i}}$${\displaystyle f(y)=A_{j}}$${\displaystyle |ij|\leq d(x,y)}$${\displaystyle d(x,y)}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$

• Geometría computacional
• Topología digital
• Geometría discreta
• Geometría combinatoria
• Tomografía
• Nube de puntos

• A. Rosenfeld, Funciones «continuas» en imágenes digitales, Pattern Recognition Letters, v.4 n.3, p. 177–184, 1986.
• L. Chen, La condición necesaria y suficiente y los algoritmos eficientes para el relleno gradualmente variado, Chinese Sci. Bull. 35 (10), págs. 870–873, 1990.

• Rosenfeld, Azriel (1969). Procesamiento de imágenes por computadora . Academic Press.
• Rosenfeld, Azriel (1976). Análisis de imágenes digitales . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-07579-8.
• Rosenfeld, Azriel ; Kak, Avinash C. (1982). Procesamiento de imágenes digitales . Boston: Academic Press. ISBN 0-12-597301-2.
• Rosenfeld, Azriel (1979). Lenguajes de imágenes . Academic Press. ISBN 0-12-597340-3.
• Chassery, J.; A. Montanvert. (1991). Geometría discreta y análisis de imágenes . Hermes. ISBN 2-86601-271-2.
• Kong, TY; Rosenfeld, A., eds. (1996). Algoritmos topológicos para el procesamiento de imágenes digitales . Elsevier. ISBN 0-444-89754-2.
• Voss, K. (1993). Imágenes discretas, objetos y funciones en Zn . Springer. ISBN 0-387-55943-4.
• Herman, GT (1998). Geometría de espacios digitales . Birkhauser. ISBN 0-8176-3897-0.
• Marchand-Maillet, S.; YM Sharaiha (2000). Procesamiento binario de imágenes digitales . Academic Press. ISBN 0-12-470505-7.
• Soille, P. (2003). Análisis de imágenes morfológicas: principios y aplicaciones . Springer. ISBN 3-540-42988-3.
• Chen, L. (2004). Superficies y variedades discretas: una teoría de la geometría y la topología digitales discretas . SP Computing. ISBN 0-9755122-1-8.
• Rosenfeld, Azriel ; Klette, Reinhard (2004). Geometría digital: métodos geométricos para el análisis de imágenes digitales (La serie Morgan Kaufmann sobre gráficos por computadora). San Diego: Morgan Kaufmann. ISBN 1-55860-861-3.
• Chen, L. (2014). Geometría digital y discreta: teoría y algoritmos. Springer. ISBN 978-3-319-12099-7.
• Kovalevsky, Vladimir A. (2008). Geometría de espacios localmente finitos, topología computacional y algoritmos para imágenes computacionales . Berlín. ISBN 978-3-9812252-0-4 . 

• Comité Técnico de Geometría Discreta de la IAPR
• Sitio web sobre geometría y topología digital
• Curso de geometría digital y morfología matemática (Ch. Kiselman)
• DGtal: Caja de herramientas y biblioteca de algoritmos de geometría digital de código abierto