Superficie gradualmente variada

En matemáticas, una superficie gradualmente variada es un tipo especial de superficie digital . Es una función que transforma un espacio digital bidimensional (véase geometría digital ) en un conjunto ordenado o una cadena.

Una función gradualmente variada es una función de un espacio digital. ${\displaystyle \Sigma }$a${\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$dónde${\displaystyle A_{1}<\cdots <A_{m}}$y${\displaystyle A_{i}}$son números reales. Esta función posee la siguiente propiedad: Si x e y son dos puntos adyacentes en${\displaystyle \Sigma }$, asumir${\displaystyle f(x)=A_{i}}$, entonces${\displaystyle f(y)=A_{i}}$, ${\displaystyle f(x)=A_{i+1}}$, o${\displaystyle A_{i-1}}$.

El concepto de función continua en el espacio digital (también conocida como función digitalmente continua) fue propuesto por Azriel Rosenfeld en 1986. Se trata de una función cuyo valor (un número entero) en un punto digital es igual o casi igual al de sus vecinos. En otras palabras, si x e y son dos puntos adyacentes en un espacio digital, | f ( x ) − f ( y )| ≤ 1.    

Así pues, podemos observar que la función gradualmente variable se define de forma más general que la función digitalmente continua. La función gradualmente variable fue definida por L. Chen en 1989.

Un teorema de extensión relacionado con las funciones anteriores fue mencionado por Rosenfeld (1986) y completado por Chen (1989). Este teorema establece: Sea${\displaystyle D\subset \Sigma }$y${\displaystyle f:D\rightarrow \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$. La condición necesaria y suficiente para la existencia de la extensión gradualmente variada${\displaystyle F}$de${\displaystyle f}$es  : para cada par de puntos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$en${\displaystyle D}$, asumir${\displaystyle f(x)=A_{i}}$y${\displaystyle f(y)=A_{j}}$, tenemos${\displaystyle |ij|\leq d(x,y)}$, dónde${\displaystyle d(x,y)}$es la distancia (digital) entre${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$.

La superficie gradualmente variada tiene una relación directa con el homomorfismo de grafos .

• L. Chen, La condición necesaria y suficiente y los algoritmos eficientes para el relleno gradualmente variado, Chinese Sci. Bull. 35 (10), pp 870–873, 1990.
• A. Rosenfeld, Funciones 'continuas' en imágenes digitales, Pattern Recognition Letters, vol. 4, n.º 3, págs.  177-184, 1986.
• G. Agnarsson y L. Chen, Sobre la extensión de los mapas de vértices a homomorfismos de grafos, Matemáticas Discretas, Vol. 306, No. 17, págs.  2021–2030, 2006.
• L. Boxer, Funciones digitales continuas, Pattern Recognition Letters, Vol. 15, No. 8, págs. 833–839, 1994.
• LM Chen, Funciones digitales y reconstrucción de datos , Springer, 2013