Geometría digital

La geometría digital se ocupa de conjuntos discretos (generalmente conjuntos de puntos discretos ) que se consideran modelos o imágenes digitalizadas de objetos en el espacio euclidiano bidimensional o tridimensional . En pocas palabras, digitalizar consiste en reemplazar un objeto por un conjunto discreto de sus puntos. Las imágenes que vemos en la pantalla del televisor, en la pantalla de un ordenador o en los periódicos son, de hecho, imágenes digitales .

Sus principales áreas de aplicación son los gráficos por ordenador y el análisis de imágenes .

Los aspectos principales del estudio son:

• Construcción de representaciones digitalizadas de objetos, con énfasis en la precisión y la eficiencia (ya sea mediante síntesis, como por ejemplo el algoritmo de línea de Bresenham o los discos digitales, o mediante digitalización y posterior procesamiento de imágenes digitales).
• Estudio de las propiedades de los conjuntos digitales; véase, por ejemplo, el teorema de Pick , la convexidad digital, la rectitud digital o la planaridad digital.
• Transformar representaciones digitalizadas de objetos, por ejemplo (A) en formas simplificadas como (i) esqueletos, mediante la eliminación repetida de puntos simples de manera que la topología digital de una imagen no cambie, o (ii) eje medial, mediante el cálculo de máximos locales en una transformación de distancia de la representación digitalizada del objeto dada, o (B) en formas modificadas utilizando morfología matemática .
• Reconstrucción de objetos "reales" o sus propiedades (área, longitud, curvatura, volumen, superficie, etc.) a partir de imágenes digitales.
• Estudio de curvas digitales, superficies digitales y variedades digitales .
• Diseño de algoritmos de seguimiento para objetos digitales.
• Funciona en el espacio digital.
• El trazado de curvas es un método para dibujar una curva píxel a píxel.

La geometría digital se solapa en gran medida con la geometría discreta y puede considerarse parte de ella.

Un espacio digital 2D generalmente se refiere a un espacio de cuadrícula 2D que contiene únicamente puntos enteros en el espacio euclidiano 2D. Una imagen 2D es una función en un espacio digital 2D (véase procesamiento de imágenes ).

En el libro de Rosenfeld y Kak, la conectividad digital se define como la relación entre elementos en el espacio digital. Por ejemplo, la conectividad de 4 y la de 8 en 2D. Véase también conectividad de píxeles . Un espacio digital y su conectividad (digital) determinan una topología digital .

En el ámbito digital, se propusieron de forma independiente la función digitalmente continua (A. Rosenfeld, 1986) y la función gradualmente variable (L. Chen, 1989).

Una función digitalmente continua es aquella en la que el valor (un número entero) en un punto digital es igual o difiere como máximo en 1 de sus vecinos. En otras palabras, si x e y son dos puntos adyacentes en un espacio digital, | f ( x ) − f ( y )| ≤ 1.    

Una función gradualmente variada es una función de un espacio digital. ${\displaystyle \Sigma }$a${\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$dónde${\displaystyle A_{1}<\cdots <A_{m}}$y${\displaystyle A_{i}}$son números reales. Esta función posee la siguiente propiedad: Si x e y son dos puntos adyacentes en${\displaystyle \Sigma }$, asumir${\displaystyle f(x)=A_{i}}$, entonces${\displaystyle f(y)=A_{i}}$, ${\displaystyle f(x)=A_{i+1}}$, o${\displaystyle A_{i-1}}$. Así pues, podemos ver que la función gradualmente variable se define de forma más general que la función digitalmente continua.

Un teorema de extensión relacionado con las funciones anteriores fue mencionado por A. Rosenfeld (1986) y completado por L. Chen (1989). Este teorema establece: Sea${\displaystyle D\subset \Sigma }$y${\displaystyle f:D\rightarrow \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$. La condición necesaria y suficiente para la existencia de la extensión gradualmente variada${\displaystyle F}$de${\displaystyle f}$es  : para cada par de puntos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$en${\displaystyle D}$, asumir${\displaystyle f(x)=A_{i}}$y${\displaystyle f(y)=A_{j}}$, tenemos${\displaystyle |ij|\leq d(x,y)}$, dónde${\displaystyle d(x,y)}$es la distancia (digital) entre${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$.

• Geometría computacional
• Topología digital
• Geometría discreta
• Geometría combinatoria
• Tomografía
• Nube de puntos

• A. Rosenfeld, Funciones 'continuas' en imágenes digitales, Pattern Recognition Letters, vol. 4, n.º 3, págs.  177-184, 1986.
• L. Chen, La condición necesaria y suficiente y los algoritmos eficientes para el relleno gradualmente variado, Chinese Sci. Bull. 35 (10), pp 870–873, 1990.

• Rosenfeld, Azriel (1969). Procesamiento de imágenes por computadora . Academic Press.
• Rosenfeld, Azriel (1976). Análisis de imágenes digitales . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-07579-8.
• Rosenfeld, Azriel ; Kak, Avinash C. (1982). Procesamiento digital de imágenes . Boston: Academic Press. ISBN 0-12-597301-2.
• Rosenfeld, Azriel (1979). Lenguajes pictóricos . Academic Press. ISBN 0-12-597340-3.
• Chassery, J.; A. Montanvert. (1991). Geometría discreta y análisis de imágenes . Hermes. ISBN 2-86601-271-2.
• Kong, TY; Rosenfeld, A., eds. (1996). Algoritmos topológicos para el procesamiento de imágenes digitales . Elsevier. ISBN 0-444-89754-2.
• Voss, K. (1993). Imágenes, objetos y funciones discretas en Zn . Springer. ISBN 0-387-55943-4.
• Herman, GT (1998). Geometría de los espacios digitales . Birkhauser. ISBN 0-8176-3897-0.
• Marchand-Maillet, S.; YM Sharaiha (2000). Procesamiento de imágenes digitales binarias . Academic Press. ISBN 0-12-470505-7.
• Soille, P. (2003). Análisis morfológico de imágenes: principios y aplicaciones . Springer. ISBN 3-540-42988-3.
• Chen, L. (2004). Superficies y variedades discretas: una teoría de la geometría y topología digital-discreta . SP Computing. ISBN 0-9755122-1-8.
• Rosenfeld, Azriel ; Klette, Reinhard (2004). Geometría digital: Métodos geométricos para el análisis de imágenes digitales (Serie Morgan Kaufmann en gráficos por computadora) . San Diego: Morgan Kaufmann. ISBN 1-55860-861-3.
• Chen, L. (2014). Geometría digital y discreta: Teoría y algoritmos . Springer. ISBN 978-3-319-12099-7.
• Kovalevsky, Vladimir A. (2008). Geometría de espacios localmente finitos: topología computacionalmente aceptable y algoritmos para imágenes computacionales . Berlín. ISBN 978-3-9812252-0-4.

• Comité Técnico de Geometría Discreta de la IAPR
• Sitio web sobre geometría y topología digital.
• Curso de geometría digital y morfología matemática (Ch. Kiselman)
• DGtal: Caja de herramientas y biblioteca de algoritmos de geometría digital de código abierto