Topología de subespacios

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , un subespacio de un espacio topológico${\displaystyle (X,\tau )}$es un subconjunto S de X que está equipado con una topología inducida a partir de la de${\displaystyle \tau }$denominada topología de subespacio ^{[ 1 ]} (o topología relativa , ^{[ 1 ]} topología heredada , ^{[ 2 ]} topología inducida , ^{[ 1 ]} o topología de traza ). ^{[ 3 ]}

Dado un espacio topológico${\displaystyle (X,\tau )}$y un subconjunto${\displaystyle S}$de${\displaystyle X}$, la topología del subespacio en${\displaystyle S}$se define por

${\displaystyle \tau _{S}=\lbrace S\cap U\mid U\in \tau \rbrace .}$

Es decir, un subconjunto de${\displaystyle S}$es abierto en la topología del subespacio si y solo si es la intersección de${\displaystyle S}$con un conjunto abierto en${\displaystyle (X,\tau )}$. Si${\displaystyle S}$Si está equipado con la topología de subespacio, entonces es un espacio topológico por derecho propio y se denomina subespacio de${\displaystyle (X,\tau )}$Se suele asumir que los subconjuntos de espacios topológicos están equipados con la topología de subespacio, a menos que se indique lo contrario.

Alternativamente podemos definir la topología del subespacio para un subconjunto${\displaystyle S}$de${\displaystyle X}$como la topología más gruesa para la cual el mapa de inclusión

${\displaystyle \iota :S\hookrightarrow X}$

es continuo .

De forma más general, supongamos que ${\displaystyle \iota }$es una inyección de un conjunto${\displaystyle S}$a un espacio topológico${\displaystyle X}$. Luego la topología del subespacio en${\displaystyle S}$se define como la topología más gruesa para la cual${\displaystyle \iota }$es continua. Los conjuntos abiertos en esta topología son precisamente los de la forma${\displaystyle \iota ^{-1}(U)}$para${\displaystyle U}$abierto en${\displaystyle X}$.${\displaystyle S}$es entonces homeomorfo a su imagen en${\displaystyle X}$(también con la topología de subespacio) y${\displaystyle \iota }$se denomina incrustación topológica .

Un subespacio${\displaystyle S}$Se denomina subespacio abierto si la inyección${\displaystyle \iota }$es un mapa abierto , es decir, si la imagen directa de un conjunto abierto de${\displaystyle S}$está abierto en${\displaystyle X}$. Asimismo se denomina subespacio cerrado si la inyección${\displaystyle \iota }$es un mapa cerrado .

La distinción entre un conjunto y un espacio topológico a menudo se difumina en la notación, por conveniencia, lo que puede ser una fuente de confusión cuando uno se encuentra por primera vez con estas definiciones. Por lo tanto, siempre que${\displaystyle S}$es un subconjunto de${\displaystyle X}$, y${\displaystyle (X,\tau )}$es un espacio topológico, entonces los símbolos sin adornos "${\displaystyle S}$" y "${\displaystyle X}$" a menudo se puede usar para referirse tanto a${\displaystyle S}$y${\displaystyle X}$considerados como dos subconjuntos de${\displaystyle X}$y también a${\displaystyle (S,\tau _{S})}$y${\displaystyle (X,\tau )}$como los espacios topológicos, relacionados como se discutió anteriormente. Así que frases como "${\displaystyle S}$un subespacio abierto de${\displaystyle X}$" se utilizan para significar que${\displaystyle (S,\tau _{S})}$es un subespacio abierto de${\displaystyle (X,\tau )}$, en el sentido utilizado anteriormente; es decir: (i)${\displaystyle S\in \tau }$; y (ii)${\displaystyle S}$Se considera que está dotado de la topología de subespacio.

A continuación,${\displaystyle \mathbb {R} }$representa los números reales con su topología habitual.

• La topología de subespacio de los números naturales , como un subespacio de${\displaystyle \mathbb {R} }$, es la topología discreta .
• Los números racionales${\displaystyle \mathbb {Q} }$considerado como un subespacio de${\displaystyle \mathbb {R} }$no tienen la topología discreta ({0} por ejemplo no es un conjunto abierto en${\displaystyle \mathbb {Q} }$porque no hay un subconjunto abierto de${\displaystyle \mathbb {R} }$cuya intersección con${\displaystyle \mathbb {Q} }$puede resultar únicamente en el conjunto unitario {0}). Si a y b son racionales, entonces los intervalos ( a , b ) y [ a , b ] son ​​respectivamente abiertos y cerrados, pero si a y b son irracionales, entonces el conjunto de todos los x racionales con a < x < b es a la vez abierto y cerrado.
• El conjunto [0,1] como subespacio de${\displaystyle \mathbb {R} }$es tanto abierto como cerrado, mientras que como subconjunto de${\displaystyle \mathbb {R} }$Está cerrado.
• Como un subespacio de${\displaystyle \mathbb {R} }$, [0, 1] ∪ [2, 3] está compuesto por dos subconjuntos abiertos disjuntos (que resultan ser también cerrados) y, por lo tanto, es un espacio disconexo .
• Sea S = [0, 1) un subespacio de la recta real.${\displaystyle \mathbb {R} }$. Entonces [0, 1 ⁄ 2 ) es abierto en S pero no en${\displaystyle \mathbb {R} }$(como por ejemplo la intersección entre (- 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 ) y S resulta en [0, 1 ⁄ 2 )). De manera similar, [ 1 ⁄ 2 , 1) es cerrado en S pero no en${\displaystyle \mathbb {R} }$(ya que no hay un subconjunto abierto de${\displaystyle \mathbb {R} }$que puede intersecarse con [0, 1) para resultar en [ 1 ⁄ 2 , 1)). S es abierto y cerrado como subconjunto de sí mismo pero no como subconjunto de${\displaystyle \mathbb {R} }$.

La topología del subespacio tiene la siguiente propiedad característica. Sea${\displaystyle Y}$ser un subespacio de${\displaystyle X}$y dejar${\displaystyle i:Y\to X}$sea ​​el mapa de inclusión. Entonces, para cualquier espacio topológico${\displaystyle Z}$un mapa${\displaystyle f:Z\to Y}$es continua si y solo si el mapa compuesto${\displaystyle i\circ f}$es continuo.

Esta propiedad es característica en el sentido de que puede usarse para definir la topología del subespacio en${\displaystyle Y}$.

Enumeramos algunas propiedades adicionales de la topología del subespacio. En lo siguiente,${\displaystyle S}$ser un subespacio de${\displaystyle X}$.

• Si${\displaystyle f:X\to Y}$es continuo entonces la restricción a${\displaystyle S}$es continuo.
• Si${\displaystyle f:X\to Y}$es continuo entonces${\displaystyle f:X\to f(X)}$es continuo.
• Los conjuntos cerrados en${\displaystyle S}$son precisamente las intersecciones de${\displaystyle S}$con conjuntos cerrados en${\displaystyle X}$.
• Si${\displaystyle A}$es un subespacio de${\displaystyle S}$entonces${\displaystyle A}$es también un subespacio de${\displaystyle X}$con la misma topología. En otras palabras, la topología del subespacio que${\displaystyle A}$hereda de${\displaystyle S}$es el mismo que el que hereda de${\displaystyle X}$.
• Suponer${\displaystyle S}$es un subespacio abierto de${\displaystyle X}$(entonces${\displaystyle S\in \tau }$). Luego, un subconjunto de${\displaystyle S}$está abierto en${\displaystyle S}$si y solo si está abierto en${\displaystyle X}$.
• Suponer${\displaystyle S}$es un subespacio cerrado de${\displaystyle X}$(entonces${\displaystyle X\setminus S\in \tau }$). Luego, un subconjunto de${\displaystyle S}$está cerrado en${\displaystyle S}$si y solo si está cerrado en${\displaystyle X}$.
• Si${\displaystyle B}$es una base para${\displaystyle X}$entonces${\displaystyle B_{S}=\{U\cap S:U\in B\}}$es una base para${\displaystyle S}$.
• La topología inducida en un subconjunto de un espacio métrico al restringir la métrica a este subconjunto coincide con la topología del subespacio para este subconjunto.

Si un espacio topológico que posee alguna propiedad topológica implica que sus subespacios poseen esa propiedad, entonces decimos que la propiedad es hereditaria . Si solo los subespacios cerrados deben compartir la propiedad, la llamamos débilmente hereditaria .

• Cada subespacio abierto y cada subespacio cerrado de un espacio completamente metrizable es completamente metrizable.
• Todo subespacio abierto de un espacio de Baire es un espacio de Baire.
• Todo subespacio cerrado de un espacio compacto es compacto.
• Ser un espacio Hausdorff es algo que se hereda.
• Ser un espacio normal es un rasgo débilmente hereditario.
• La limitación total es hereditaria.
• Estar totalmente desconectado es hereditario.
• La primera y la segunda numerabilidad son hereditarias.

• el espacio cociente de noción dual
• topología del producto
• topología de suma directa

• Bourbaki, Nicolas , Elementos de matemáticas: Topología general , Addison-Wesley (1966)
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( reimpresión de Dover de la edición de 1978  ), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446 
• Willard, Stephen. Topología general , Dover Publications (2004) ISBN 0-486-43479-6