Conjetura de Kepler

La conjetura de Kepler , que recibe su nombre del matemático y astrónomo del siglo XVII Johannes Kepler , es un teorema matemático sobre el empaquetamiento de esferas en el espacio euclidiano tridimensional . Afirma que ninguna disposición de esferas de igual tamaño que llene el espacio tiene una densidad media mayor que la del empaquetamiento compacto cúbico ( cúbico centrado en las caras ) y el empaquetamiento compacto hexagonal . La densidad de estas disposiciones ronda el 74,05 %.

En 1998, el matemático estadounidense Thomas Hales , siguiendo un enfoque sugerido por Fejes Tóth (1953) , anunció que tenía una demostración de la conjetura de Kepler. La demostración de Hales es una demostración por agotamiento que implica la verificación de muchos casos individuales mediante complejos cálculos computacionales. Los revisores afirmaron tener una certeza del 99 % sobre la corrección de la demostración de Hales, y la conjetura de Kepler fue aceptada como teorema . En 2014, el equipo del proyecto Flyspeck, liderado por Hales, anunció la finalización de una demostración formal de la conjetura de Kepler utilizando una combinación de los asistentes de demostración Isabelle y HOL Light . En 2017, la demostración formal fue aceptada por la revista Forum of Mathematics, Pi . ^{[ 1 ]}

Imagina llenar un recipiente grande con pequeñas esferas del mismo tamaño: por ejemplo, una jarra de porcelana de un galón con canicas idénticas. La "densidad" de la disposición es igual al volumen total de todas las canicas dividido por el volumen de la jarra. Maximizar la cantidad de canicas en la jarra significa crear una disposición de canicas apiladas entre los lados y el fondo de la jarra que tenga la mayor densidad posible, de manera que las canicas estén lo más juntas posible.

El experimento muestra que al dejar caer las canicas al azar, sin ningún esfuerzo por ordenarlas cuidadosamente, se logra una densidad de alrededor del 65 %. ^{[ 2 ]} Sin embargo, se puede lograr una mayor densidad ordenando cuidadosamente las canicas de la siguiente manera:

1. Para la primera capa de canicas, colóquelas en una cuadrícula hexagonal ( el patrón de panal ).
2. Coloca la siguiente capa de canicas en los huecos más bajos que encuentres por encima y entre las canicas de la primera capa, independientemente del patrón.
3. Continúe con el mismo procedimiento de rellenar los huecos inferiores de la capa anterior, para la tercera y las capas restantes, hasta que las canicas alcancen el borde superior de la jarra.

En cada paso hay al menos dos opciones de cómo colocar la siguiente capa, por lo que este método de apilamiento de esferas, que de otro modo no estaría planificado, crea un número infinito incontable de empaquetamientos igualmente densos. Los más conocidos de estos se denominan empaquetamiento compacto cúbico y empaquetamiento compacto hexagonal . Cada una de estas disposiciones tiene una densidad promedio de

$${\displaystyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}=0.740480489\ldots }$$

La conjetura de Kepler afirma que esto es lo mejor que se puede hacer: ninguna otra disposición de canicas tiene una densidad media mayor. A pesar de que existen muchísimas disposiciones diferentes posibles que siguen el mismo procedimiento que los pasos  1 a 3, ningún empaquetado (siguiendo o no el procedimiento) puede meter más canicas en la misma jarra.

La conjetura fue enunciada por primera vez por Johannes Kepler ( 1611 ) en su artículo «Sobre el copo de nieve de seis esquinas». Había comenzado a estudiar arreglos de esferas como resultado de su correspondencia con el matemático y astrónomo inglés Thomas Harriot en 1606. Harriot era amigo y asistente de Sir Walter Raleigh , quien le había pedido a Harriot que encontrara fórmulas para contar balas de cañón apiladas, una tarea que a su vez llevó al conocido matemático de Raleigh a preguntarse cuál era la mejor manera de apilar balas de cañón. ^{[ 3 ]} Harriot publicó un estudio de varios patrones de apilamiento en 1591 y pasó a desarrollar una versión temprana de la teoría atómica . 

Kepler no tenía una prueba de la conjetura, y el siguiente paso lo dio Carl Friedrich Gauss ( 1831 ) , quien demostró que la conjetura de Kepler es verdadera si las esferas tienen que estar dispuestas en una red regular . 

Esto significaba que cualquier disposición de empaquetamiento que refutara la conjetura de Kepler tendría que ser irregular. Pero eliminar todas las posibles disposiciones irregulares es muy difícil, y esto es lo que dificultó tanto la demostración de la conjetura de Kepler. De hecho, existen disposiciones irregulares que son más densas que el empaquetamiento compacto cúbico en un volumen suficientemente pequeño, pero se sabe que cualquier intento de extender estas disposiciones para llenar un volumen mayor siempre reduce su densidad.

Tras Gauss, no se lograron más avances en la demostración de la conjetura de Kepler durante el siglo XIX. En 1900, David Hilbert la incluyó en su lista de veintitrés problemas matemáticos sin resolver ; forma parte del decimoctavo problema de Hilbert .

El siguiente paso hacia la solución lo dio László Fejes Tóth . Fejes Tóth (1953) demostró que el problema de determinar la densidad máxima de todas las configuraciones (regulares e irregulares) podía reducirse a un número finito (pero muy grande) de cálculos. Esto significaba que, en principio, era posible una demostración por agotamiento . Como Fejes Tóth comprendió, un ordenador lo suficientemente rápido podría convertir este resultado teórico en un enfoque práctico para el problema.

Mientras tanto, se hicieron intentos por encontrar un límite superior para la densidad máxima de cualquier posible disposición de esferas. El matemático inglés Claude Ambrose Rogers (véase Rogers (1958) ) estableció un valor límite superior de aproximadamente el 78%, y los esfuerzos posteriores de otros matemáticos redujeron ligeramente este valor, pero aún así era mucho mayor que la densidad de empaquetamiento compacto cúbico, que ronda el 74%.

En 1990, Wu-Yi Hsiang afirmó haber demostrado la conjetura de Kepler. La demostración fue elogiada por la Encyclopædia Britannica y Science , y Hsiang también fue homenajeado en reuniones conjuntas de la AMS-MAA. ^{[ 4 ]} Wu-Yi Hsiang ( 1993 , 2001 ) afirmó haber demostrado la conjetura de Kepler utilizando métodos geométricos. Sin embargo, Gábor Fejes Tóth (hijo de László Fejes Tóth) declaró en su reseña del artículo: «En cuanto a los detalles, mi opinión es que muchas de las afirmaciones clave carecen de demostraciones aceptables». Hales (1994) realizó una crítica detallada del trabajo de Hsiang, a la que este respondió (1995) . El consenso actual es que la demostración de Hsiang es incompleta. ^{[ 5 ]} 

Siguiendo el enfoque sugerido ^{[ 6 ]} por László Fejes Tóth , Thomas Hales , entonces en la Universidad de Michigan , determinó que la densidad máxima de todas las configuraciones podía hallarse minimizando una función con 150 variables. En 1992, con la ayuda de su estudiante de posgrado Samuel Ferguson, emprendió un programa de investigación para aplicar sistemáticamente métodos de programación lineal y encontrar una cota inferior para el valor de esta función para cada una de un conjunto de más de 5000 configuraciones diferentes de esferas. Si se pudiera hallar una cota inferior (para el valor de la función) para cada una de estas configuraciones que fuera mayor que el valor de la función para la configuración de empaquetamiento compacto cúbico, entonces se demostraría la conjetura de Kepler. Encontrar cotas inferiores para todos los casos implicó resolver aproximadamente 100 000 problemas de programación lineal.

Al presentar el progreso de su proyecto en 1996, Hales afirmó que el final estaba cerca, pero que podría tardar "uno o dos años" en completarse. En agosto de 1998, Hales anunció que la demostración estaba terminada. En ese momento, constaba de 250 páginas de notas y 3 gigabytes de programas informáticos, datos y resultados.

A pesar de la naturaleza inusual de la demostración, los editores de los Anales de Matemáticas accedieron a publicarla, siempre y cuando fuera aceptada por un panel de doce revisores. En 2003, tras cuatro años de trabajo, el jefe del panel de revisores, Gábor Fejes Tóth, informó que el panel tenía una certeza del 99 % sobre la corrección de la demostración, pero no podían certificar la corrección de todos los cálculos computacionales. En 2005, los Anales publicaron el artículo de Hales de 100 páginas que describía en detalle la parte no computacional de su demostración ( Hales (2005) ). Hales y Ferguson (2006) y varios artículos posteriores describieron las partes computacionales. Hales y Ferguson recibieron el Premio Fulkerson por sus destacados trabajos en el área de las matemáticas discretas en 2009.

Teorema de Thue

El empaquetamiento hexagonal regular es el empaquetamiento circular más denso en el plano (1890). La densidad es π ⁄ √ 12 .

El análogo bidimensional de la conjetura de Kepler; la demostración es elemental. Henk y Ziegler atribuyen este resultado a Lagrange en 1773 (véanse las referencias, pág. 770).

Una demostración sencilla de Chau y Chung de 2010 utiliza la triangulación de Delaunay para el conjunto de puntos que son centros de círculos en un empaquetamiento de círculos saturado. ^{[ 11 ]}

El teorema del panal hexagonal

La partición más eficiente del plano en áreas iguales es el teselado hexagonal regular. ^{[ 12 ]}

Relacionado con el teorema de Thue.

Conjetura dodecaédrica

El volumen del poliedro de Voronoi de una esfera en un empaquetamiento de esferas iguales es al menos el volumen de un dodecaedro regular con radio interno 1. Demostración de McLaughlin, ^{[ 13 ]} por la cual recibió el Premio Morgan de 1999 .

Un problema relacionado, cuya demostración utiliza técnicas similares a las de la demostración de Hales de la conjetura de Kepler. Conjetura formulada por L. Fejes Tóth en la década de 1950.

El problema de Kelvin

¿Cuál es la espuma más eficiente en tres dimensiones? Se conjeturó que la estructura de Kelvin era la solución , y esta idea se creyó ampliamente durante más de cien años, hasta que fue refutada en 1993 por el descubrimiento de la estructura de Weaire-Phelan . El sorprendente descubrimiento de la estructura de Weaire-Phelan y la refutación de la conjetura de Kelvin son una de las razones por las que se debe ser cauteloso al aceptar la demostración de Hales de la conjetura de Kepler.

Empaquetamiento de esferas en dimensiones superiores

En 2016, Maryna Viazovska anunció la demostración del empaquetamiento óptimo de esferas en dimensión 8, lo que rápidamente condujo a una solución en dimensión 24. ^{[ 14 ]} Sin embargo, la cuestión del empaquetamiento óptimo de esferas en dimensiones distintas de 1, 2, 3, 8 y 24 sigue abierta.

La conjetura de Ulam sobre el empaquetado

Se desconoce si existe algún sólido convexo cuya densidad de empaquetamiento óptima sea inferior a la de la esfera.

• Weisstein, Eric W. "Conjetura de Kepler" . MathWorld .
• Portada de 'Sobre el copo de nieve de seis esquinas'
• Página principal de Thomas Hales
• Página principal del proyecto Flyspeck
• Resumen de la prueba de Hales. Archivado el 27 de septiembre de 2011 en la Wayback Machine.
• Artículo de Dana Mackenzie en American Scientist.
• Flyspeck I: Grafos mansos, enumeración verificada de grafos planos mansos según la definición de Thomas C. Hales en su demostración de la conjetura de Kepler. Archivado el 27 de septiembre de 2011 en Wayback Machine.