Estructura de Weaire-Phelan

En geometría , la estructura de Weaire-Phelan es una estructura tridimensional que representa una espuma idealizada de burbujas de igual tamaño, con dos formas diferentes. En 1993, Denis Weaire y Robert Phelan descubrieron que esta estructura era una mejor solución al problema de Kelvin de teselar el espacio con celdas de igual volumen y área superficial mínima que la solución mejor conocida hasta entonces, la estructura de Kelvin. ^{[ 1 ]}

En dos dimensiones, la subdivisión del plano en celdas de igual área con perímetro medio mínimo viene dada por el teselado hexagonal , pero aunque el primer registro de esta conjetura del panal se remonta al antiguo erudito romano Marco Terencio Varrón (116-27 a. C.), no se demostró hasta el trabajo de Thomas C. Hales en 1999. ^{[ 2 ]} En 1887, Lord Kelvin planteó la pregunta correspondiente para el espacio tridimensional: ¿cómo se puede particionar el espacio en celdas de igual volumen con la menor área de superficie entre ellas? O, en resumen, ¿cuál era la espuma de burbujas de jabón más eficiente ? ^{[ 3 ]} Este problema se conoce desde entonces como el problema de Kelvin.

Kelvin propuso una espuma llamada estructura de Kelvin . Su espuma se basa en el panal cúbico bitruncado , un panal uniforme convexo formado por el octaedro truncado , un poliedro convexo que llena el espacio con 6 caras cuadradas y 8 caras hexagonales. Sin embargo, este panal no satisface las leyes de Plateau , formuladas por Joseph Plateau en el siglo XIX, según las cuales las superficies mínimas de la espuma se encuentran en${\displaystyle 120^{\circ }}$ángulos en sus bordes, con estos bordes encontrándose entre sí en conjuntos de cuatro con ángulos de${\displaystyle \arccos(-{\tfrac {1}{3}})\approx 109.47^{\circ }}$. Los ángulos de la estructura poliédrica son diferentes; por ejemplo, sus aristas se encuentran en ángulos de${\displaystyle 90^{\circ }}$en caras cuadradas, o${\displaystyle 120^{\circ }}$en caras hexagonales. Por lo tanto, la estructura propuesta por Kelvin utiliza aristas curvilíneas y superficies mínimas ligeramente deformadas para sus caras, obedeciendo las leyes de Plateau y reduciendo el área de la estructura en un 0,2 % en comparación con la estructura poliédrica correspondiente. ^{[ 1 ] [ 3 ]}

Aunque Kelvin no lo formuló explícitamente como una conjetura, ^{[ 4 ]} la idea de que la espuma del panal cúbico bitruncado es la espuma más eficiente y resuelve el problema de Kelvin se conoció como la conjetura de Kelvin . Fue ampliamente aceptada y no se conoció ningún contraejemplo durante más de 100 años. Finalmente, en 1993, el físico Denis Weaire del Trinity College de Dublín y su estudiante Robert Phelan descubrieron la estructura de Weaire-Phelan mediante simulaciones por ordenador de la espuma y demostraron que era más eficiente, refutando así la conjetura de Kelvin. ^{[ 1 ]}

Desde el descubrimiento de la estructura de Weaire-Phelan, se han encontrado otros contraejemplos a la conjetura de Kelvin, pero la estructura de Weaire-Phelan sigue teniendo la menor área superficial por celda conocida de estos contraejemplos. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} Aunque los experimentos numéricos sugieren que la estructura de Weaire-Phelan es óptima, esto sigue sin probarse. ^{[ 8 ]} En general, ha sido muy difícil probar la optimalidad de estructuras que involucran superficies mínimas . La minimalidad de la esfera como superficie que encierra un solo volumen no se demostró hasta el siglo XIX, y el siguiente problema más simple de este tipo, la conjetura de la doble burbuja sobre el encierro de dos volúmenes, permaneció abierta durante más de 100 años hasta que se demostró en 2002. ^{[ 9 ]}

dodecaedro irregular

Tetrakaidecahedro

La estructura de Weaire-Phelan difiere de la de Kelvin en que utiliza dos tipos de celdas, aunque tienen el mismo volumen. Al igual que las celdas en la estructura de Kelvin, estas celdas son combinatoriamente equivalentes a poliedros convexos . Una es un piritoedro , un dodecaedro irregular con caras pentagonales, que posee simetría tetraédrica ( T _h ). La segunda es una forma de trapezoedro hexagonal truncado , una especie de tetrakaidecaedro con dos caras hexagonales y doce pentagonales, que en este caso solo posee dos planos de simetría y una simetría de rotor-reflexión . Al igual que los hexágonos en la estructura de Kelvin, los pentágonos en ambos tipos de celdas están ligeramente curvados. El área superficial de la estructura de Weaire-Phelan es un 0,3 % menor que la de la estructura de Kelvin. ^{[ 1 ]}

Las celdas tetrakaidecaédricas, unidas en cadenas cara a cara a lo largo de sus caras hexagonales, forman cadenas en tres direcciones perpendiculares. Una estructura combinatoriamente equivalente a la estructura de Weaire-Phelan puede construirse como un teselado del espacio mediante cubos unitarios, alineados cara a cara en prismas cuadrados infinitos de la misma manera para formar una estructura de prismas entrelazados llamada tetrastix . Estos prismas rodean huecos cúbicos que forman una cuarta parte de las celdas del teselado cúbico; las tres cuartas partes restantes de las celdas llenan los prismas, desplazados media unidad de la cuadrícula entera alineada con las paredes del prisma. De manera similar, en la propia estructura de Weaire-Phelan, que tiene las mismas simetrías que la estructura tetrastix, 1/4 de las celdas son dodecaedros y 3/4 son tetrakaidecaedros. ^{[ 10 ]}

La estructura poliédrica de panal asociada con la estructura de Weaire-Phelan (obtenida al aplanar las caras y enderezar las aristas) también se conoce informalmente como estructura de Weaire-Phelan. Era conocida mucho antes del descubrimiento de la estructura de Weaire-Phelan, pero su aplicación al problema de Kelvin pasó desapercibida. ^{[ 11 ]}

• La búsqueda del embalaje perfecto , un libro de Weaire sobre este y otros problemas relacionados.

• Modelos 3D de las estructuras de Weaire-Phelan, Kelvin y P42a
• Página de Weaire-Phelan Bubbles con ilustraciones y plantillas descargables gratuitamente para imprimir y crear modelos.
• "Asentamiento espacial modular inteligente Weaire-Phelan" , Alexandru Pintea, 2017, Primer premio individual del concurso de asentamientos espaciales NASA Ames: