Superficie mínima

En matemáticas , una superficie mínima es una superficie que minimiza localmente su área. Esto es equivalente a tener una curvatura media cero (ver definiciones a continuación).

El término "superficie mínima" se utiliza porque estas superficies surgieron originalmente como superficies que minimizaban el área superficial total sujeta a alguna restricción. Se pueden hacer modelos físicos de superficies mínimas que minimizan el área sumergiendo un marco de alambre en una solución de jabón, formando una película de jabón , que es una superficie mínima cuyo límite es el marco de alambre. Sin embargo, el término se utiliza para superficies más generales que pueden autointersecarse o no tienen restricciones. Para una restricción dada también pueden existir varias superficies mínimas con diferentes áreas (por ejemplo, consulte superficie mínima de revolución ): las definiciones estándar solo se relacionan con un óptimo local , no con un óptimo global .

Las superficies mínimas se pueden definir de varias formas equivalentes en . El hecho de que sean equivalentes sirve para demostrar cómo la teoría de superficies mínimas se encuentra en la encrucijada de varias disciplinas matemáticas, especialmente la geometría diferencial , el cálculo de variaciones , la teoría del potencial , el análisis complejo y la física matemática . ^[1]${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Definición de área mínima local : Una superficie es mínima si y solo si cada punto p ∈ M tiene un vecindario , delimitado por una curva cerrada simple, que tiene el menor área entre todas las superficies que tienen el mismo límite.${\displaystyle M\subconjunto \mathbb {R} ^{3}}$

Esta propiedad es local: pueden existir regiones en una superficie mínima, junto con otras superficies de área más pequeña que tengan el mismo límite. Esta propiedad establece una conexión con las películas de jabón; una película de jabón deformada para tener un marco de alambre como límite minimizará el área.

Definición variacional : Una superficie es mínima si y sólo si es un punto crítico del área funcional para todas las variaciones soportadas de forma compacta .${\displaystyle M\subconjunto \mathbb {R} ^{3}}$

Esta definición hace que las superficies mínimas sean un análogo bidimensional de las geodésicas , que se definen análogamente como puntos críticos de la función de longitud.

Definición de curvatura media : Una superficie es mínima si y solo si su curvatura media es igual a cero en todos los puntos.${\displaystyle M\subconjunto \mathbb {R} ^{3}}$

Una implicación directa de esta definición es que cada punto de la superficie es un punto de silla con curvaturas principales iguales y opuestas . Además, esto convierte las superficies mínimas en las soluciones estáticas del flujo de curvatura media . Por la ecuación de Young-Laplace , la curvatura media de una película de jabón es proporcional a la diferencia de presión entre los lados. Si la película de jabón no encierra una región, entonces esto hará que su curvatura media sea cero. Por el contrario, una burbuja de jabón esférica encierra una región que tiene una presión diferente de la región exterior y, como tal, no tiene una curvatura media cero.

Definición de ecuación diferencial : Una superficie es mínima si y solo si puede expresarse localmente como el gráfico de una solución de${\displaystyle M\subconjunto \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle (1+u_{x}^{2})u_{yy}-2u_{x}u_{y}u_{xy}+(1+u_{y}^{2})u_{xx}=0}$

La ecuación diferencial parcial en esta definición fue encontrada originalmente en 1762 por Lagrange , ^[2] y Jean Baptiste Meusnier descubrió en 1776 que implicaba una curvatura media que se desvanece. ^[3]

Definición de energía : Una inmersión conforme es mínima si y solo si es un punto crítico de la energía de Dirichlet para todas las variaciones con soporte compacto, o equivalentemente si cualquier punto tiene un vecindario con la menor energía en relación con su límite.${\displaystyle X:M\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle p\en M}$

Esta definición vincula las superficies mínimas con las funciones armónicas y la teoría del potencial .

Definición armónica : Si es una inmersión isométrica de una superficie de Riemann en un espacio tridimensional, entonces se dice que es mínima siempre que sea una función armónica en para cada .${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},x_{3}):M\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ ${\estilo de visualización X}$$Estilo de visualización x_{i}}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización i}$

Una implicación directa de esta definición y del principio máximo para funciones armónicas es que no hay superficies mínimas completas compactas en . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Definición de mapa de Gauss : Una superficie es mínima si y solo si su mapa de Gauss proyectado estereográficamente es meromórfico con respecto a la estructura de superficie de Riemann subyacente y no es una parte de una esfera.${\displaystyle M\subconjunto \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle g:M\rightarrow \mathbb {C} \cup {\infty }}$${\estilo de visualización M}$

Esta definición utiliza que la curvatura media es la mitad de la traza del operador de forma , que está vinculada a las derivadas del mapa de Gauss. Si el mapa de Gauss proyectado obedece a las ecuaciones de Cauchy-Riemann , entonces la traza se desvanece o cada punto de M es umbilical , en cuyo caso es un trozo de una esfera.

Las definiciones de área mínima local y variacional permiten extender las superficies mínimas a otras variedades de Riemann que no sean . ^[4]${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

La teoría de superficies mínimas tiene su origen en Lagrange, quien en 1762 consideró el problema variacional de encontrar la superficie de menor área extendida a lo largo de un contorno cerrado dado. Derivó la ecuación de Euler-Lagrange para la solución. ${\displaystyle z=z(x,y)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}({\frac {z_{x}}{\sqrt {1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}}}\right)+{\frac {d}{dy}}({\frac {z_{y}}{\sqrt {1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}}}\right)=0}$

No logró encontrar ninguna solución más allá del plano. En 1776 Jean Baptiste Marie Meusnier descubrió que el helicoide y el catenoide satisfacen la ecuación y que la expresión diferencial corresponde al doble de la curvatura media de la superficie, concluyendo que las superficies con curvatura media cero minimizan el área.

Ampliando la ecuación de Lagrange a

${\displaystyle \left(1+z_{x}^{2}\right)z_{yy}-2z_{x}z_{y}z_{xy}+\left(1+z_{y}^{2}\right)z_{xx}=0}$

En 1795, Gaspard Monge y Legendre derivaron fórmulas de representación para las superficies de solución. Si bien Heinrich Scherk las utilizó con éxito en 1830 para derivar sus superficies , generalmente se las consideró prácticamente inutilizables. Catalan demostró en 1842/43 que el helicoide es la única superficie mínima reglada .

El progreso había sido bastante lento hasta mediados de siglo, cuando se resolvió el problema de Björling utilizando métodos complejos. Comenzó la "primera edad de oro" de las superficies mínimas. Schwarz encontró la solución del problema de Plateau para un cuadrilátero regular en 1865 y para un cuadrilátero general en 1867 (lo que permitió la construcción de sus familias de superficies periódicas ) utilizando métodos complejos. Weierstrass y Enneper desarrollaron fórmulas de representación más útiles , vinculando firmemente las superficies mínimas con el análisis complejo y las funciones armónicas . Otras contribuciones importantes vinieron de Beltrami, Bonnet, Darboux, Lie, Riemann, Serret y Weingarten.

Entre 1925 y 1950 resurgió la teoría de superficies mínimas, que ahora se centraba principalmente en las superficies mínimas no paramétricas. La solución completa del problema de Plateau por parte de Jesse Douglas y Tibor Radó fue un hito importante. El problema de Bernstein y el trabajo de Robert Osserman sobre superficies mínimas completas de curvatura total finita también fueron importantes.

Otro resurgimiento se produjo en la década de 1980. Una de las causas fue el descubrimiento en 1982 por Celso Costa de una superficie que refutaba la conjetura de que el plano, el catenoide y el helicoide son las únicas superficies mínimas completamente embebidas en un tipo topológico finito. Esto no sólo estimuló nuevos trabajos sobre el uso de los viejos métodos paramétricos, sino que también demostró la importancia de los gráficos de computadora para visualizar las superficies estudiadas y los métodos numéricos para resolver el "problema del período" (cuando se utiliza el método de superficie conjugada para determinar parches de superficie que se pueden ensamblar en una superficie simétrica más grande, ciertos parámetros deben coincidir numéricamente para producir una superficie embebida). Otra causa fue la verificación por H. Karcher de que las superficies mínimas triplemente periódicas descritas originalmente empíricamente por Alan Schoen en 1970 realmente existen. Esto ha llevado a una rica colección de familias de superficies y métodos para derivar nuevas superficies a partir de las antiguas, por ejemplo, agregando asas o distorsionándolas. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Actualmente, la teoría de superficies mínimas se ha diversificado hacia subvariedades mínimas en otras geometrías ambientales, volviéndose relevante para la física matemática (por ejemplo, la conjetura de masa positiva , la conjetura de Penrose ) y la geometría de tres variedades (por ejemplo, la conjetura de Smith , la conjetura de Poincaré , la conjetura de geometrización de Thurston ).

Los ejemplos clásicos de superficies mínimas incluyen:

• El avión , que es un caso trivial .
• catenoides : superficies mínimas formadas al girar una catenaria una vez alrededor de su directriz
• helicoides : superficie barrida por una línea que gira con velocidad uniforme alrededor de un eje perpendicular a la línea y se mueve simultáneamente a lo largo del eje con velocidad uniforme

Las superficies de la época dorada del siglo XIX incluyen:

• Superficies mínimas de Schwarz : superficies triplemente periódicas que llenan${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
• Superficie mínima de Riemann : una superficie periódica descrita póstumamente
• La superficie de Enneper
• La superficie de Henneberg : la primera superficie mínima no orientable
• Superficie mínima de Bour
• La superficie de Neovius : una superficie triplemente periódica

Las superficies modernas incluyen:

• El giroide : una de las superficies de Schoen de 1970, una superficie triplemente periódica de particular interés para la estructura de cristal líquido.
• La familia de torres Saddle : generalizaciones de la segunda superficie de Scherk
• Superficie mínima de Costa : famosa conjetura refutada. Descrita en 1982 por Celso Costa y visualizada posteriormente por Jim Hoffman . Jim Hoffman, David Hoffman y William Meeks III ampliaron la definición para producir una familia de superficies con diferentes simetrías rotacionales.
• la familia de superficies Chen–Gackstatter , añadiendo asas a la superficie Enneper.

Las superficies mínimas se pueden definir en otras variedades distintas de , como el espacio hiperbólico , espacios de dimensiones superiores o variedades de Riemann . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

La definición de superficies mínimas se puede generalizar/extender para cubrir superficies de curvatura media constante : superficies con una curvatura media constante, que no necesita ser igual a cero.

Las líneas de curvatura de una superficie isotérmica forman una red isotérmica. ^[5]

En geometría diferencial discreta se estudian superficies mínimas discretas: complejos simples de triángulos que minimizan su área bajo pequeñas perturbaciones de las posiciones de sus vértices. ^[6] Estas discretizaciones se utilizan a menudo para aproximar numéricamente superficies mínimas, incluso si no se conocen expresiones en forma cerrada.

El movimiento browniano sobre una superficie mínima conduce a pruebas probabilísticas de varios teoremas sobre superficies mínimas. ^[7]

Las superficies mínimas se han convertido en un área de intenso estudio científico, especialmente en las áreas de ingeniería molecular y ciencia de los materiales , debido a sus aplicaciones anticipadas en el autoensamblaje de materiales complejos. ^[8] Se propone que el retículo endoplásmico , una estructura importante en biología celular, esté bajo presión evolutiva para ajustarse a una superficie mínima no trivial. ^[9]

En los campos de la relatividad general y la geometría lorentziana , ciertas extensiones y modificaciones de la noción de superficie mínima, conocidas como horizontes aparentes , son significativas. ^[10] En contraste con el horizonte de eventos , representan un enfoque basado en la curvatura para comprender los límites de los agujeros negros .

Las estructuras con superficies mínimas se pueden utilizar como tiendas de campaña.

Las superficies mínimas forman parte de la caja de herramientas de diseño generativo que utilizan los diseñadores modernos. En arquitectura ha habido mucho interés en las estructuras tensadas , que están estrechamente relacionadas con las superficies mínimas. Se pueden ver ejemplos notables en el trabajo de Frei Otto , Shigeru Ban y Zaha Hadid . El diseño del Estadio Olímpico de Múnich de Frei Otto se inspiró en superficies de jabón. ^[11] Otro ejemplo notable, también de Frei Otto, es el Pabellón Alemán en la Expo 67 en Montreal, Canadá. ^[12]

En el mundo del arte, las superficies mínimas se han explorado ampliamente en las esculturas de Robert Engman (1927-2018), Robert Longhurst (1949-) y Charles O. Perry (1929-2011), entre otros.

Libros de texto

• R. Courant . Principio de Dirichlet, aplicación conforme y superficies mínimas. Apéndice de M. Schiffer. Interscience Publishers, Inc., Nueva York, NY, 1950. xiii+330 pp.
• H. Blaine Lawson, Jr. Lecciones sobre subvariedades mínimas. Vol. I. Segunda edición. Mathematics Lecture Series, 9. Publish or Perish, Inc., Wilmington, Del., 1980. iv+178 pp. ISBN 0-914098-18-7 
• Robert Osserman . Un estudio de superficies mínimas. Segunda edición. Dover Publications, Inc., Nueva York, 1986. vi+207 pp. ISBN 0-486-64998-9 , MR 0852409 
• Johannes CC Nitsche. Lecciones sobre superficies mínimas. Vol. 1. Introducción, fundamentos, geometría y problemas básicos de valores de contorno. Traducido del alemán por Jerry M. Feinberg. Con prólogo en alemán. Cambridge University Press, Cambridge, 1989. xxvi+563 pp. ISBN 0-521-24427-7 
• Nishikawa, Seiki (2002). Problemas variacionales en geometría . Traducciones de monografías matemáticas; Serie Iwanami en matemáticas modernas. Vol. 205. Traducido por Abe, Kinetsu. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 0821813560. ISSN  0065-9282, traducido de:{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: postscript ( enlace )

• 西川青季 (1998).幾何学的変分問題. 岩波講座現代数学の基礎 (en japonés). vol. 28. Tokio:岩波書店. ISBN 4-00-010642-2.

• Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt y Friedrich Sauvigny. Superficies mínimas. Segunda edición revisada y ampliada. Con la ayuda y contribución de A. Küster y R. Jakob. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 339. Springer, Heidelberg, 2010. xvi+688 págs. ISBN 978-3-642-11697-1 , doi :10.1007/978-3-642-11698-8 , Sr. 2566897
• Tobias Holck Colding y William P. Minicozzi , II. Un curso sobre superficies mínimas. Estudios de posgrado en matemáticas, 121. American Mathematical Society, Providence, RI, 2011. xii+313 pp. ISBN 978-0-8218-5323-8 

Recursos en línea

• Karcher, Hermann; Polthier, Konrad (1995). "Touching Soap Films - An introduction to minimal surface" (Películas de jabón en contacto: una introducción a las superficies mínimas) . Consultado el 27 de diciembre de 2006 . (Introducción gráfica a superficies mínimas y películas de jabón).
• Jacek Klinowski. «Galería de Superficies Mínimas Periódicas» . Consultado el 2 de febrero de 2009 . (Una colección de superficies minimalistas con ejemplos clásicos y modernos)
• Martin Steffens y Christian Teitzel. "Grape Minimal Surface Library" . Consultado el 27 de octubre de 2008 . (Una colección de superficies mínimas)
• Varios (2000). "EG-Models" . Consultado el 28 de septiembre de 2004 . (Revista en línea con varios modelos publicados de superficies mínimas)

• "Superficie mínima", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Página de inicio de 3D-XplorMath-J: programa Java y applets para visualización matemática interactiva
• Galería de superficies mínimas rotatorias
• Galería basada en WebGL de superficies mínimas rotables y ampliables