Superficie de Enneper

En geometría diferencial y geometría algebraica , la superficie de Enneper es una superficie autointersecante que puede describirse paramétricamente mediante: Fue introducida por Alfred Enneper en 1864 en relación con la teoría de superficies mínimas . ^{[1] [2] [3] [4]}$${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\tfrac {1}{3}}u\left(1-{\tfrac {1}{3}}u^{2}+v^{2}\right),\\y&={\tfrac {1}{3}}v\left(1-{\tfrac {1}{3}}v^{2}+u^{2}\right),\\z&={\tfrac {1}{3}}\left(u^{2}-v^{2}\right).\end{aligned}}}$$

La parametrización de Weierstrass-Enneper es muy sencilla , y la forma paramétrica real se puede calcular fácilmente a partir de ella. La superficie es conjugada consigo misma. ${\displaystyle f(z)=1,g(z)=z}$

Se pueden utilizar métodos de implícitación de geometría algebraica para descubrir que los puntos en la superficie de Enneper dada anteriormente satisfacen la ecuación polinomial de grado 9.$${\displaystyle {\begin{aligned}&64z^{9}-128z^{7}+64z^{5}-702x^{2}y^{2}z^{3}-18x^{2}y^{2}z+144(y^{2}z^{6}-x^{2}z^{6})\\&{}+162(y^{4}z^{2}-x^{4}z^{2})+27(y^{6}-x^{6})+9(x^{4}z+y^ {4}z)+48(x^{2}z^{3}+y^{2}z^{3})\\&{}-432(x^{2}z^{5}+y^{2}z^{5})+81(x^{4}y^{2}-x^{2}y^{4})+240(y^{2}z^{4}-x^{2}z^{4})-135(x^{4}z^{3}+y^{4}z^{3})=0.\end{alineado}}}$$

Dualmente, el plano tangente en el punto con parámetros dados es donde Sus coeficientes satisfacen la ecuación polinomial implícita de grado 6 ${\displaystyle a+bx+cy+dz=0,\ }$$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=-\left(u^{2}-v^{2}\right)\left(1+{\tfrac {1}{3}}u^{2}+{\tfrac {1}{3}}v^{2}\right),\\b&=6u,\\c&=6v,\\d&=-3\left(1-u^{2}-v^{2}\right).\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}&162a^{2}b^{2}c^{2}+6b^{2}c^{2}d^{2}-4(b^{6}+c^{6})+54(ab^{4}d-ac^{4}d)+81(a^{2}b^{4}+a^{2}c^{4})\\&{}+4(b^{4}c^{2}+b^{2}c^{4})-3(b^{4}d^{2}+c^{4}d^{2})+36(ab^{2}d^{3}-ac^{2}d^{3})=0.\end{aligned}}}$$

La curvatura jacobiana , la curvatura gaussiana y la curvatura media son La curvatura total es . Osserman demostró que una superficie mínima completa en con curvatura total es la catenoide o la superficie de Enneper. ^[5]$${\displaystyle {\begin{aligned}J&={\frac {1}{81}}(1+u^{2}+v^{2})^{4},\\K&=-{\frac {4}{9}}{\frac {1}{J}},\\H&=0.\end{aligned}}}$$${\estilo de visualización -4\pi}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\estilo de visualización -4\pi}$

Otra propiedad es que todas las superficies de Bézier mínimas bicúbicas son, hasta una transformación afín , partes de la superficie. ^[6]

Se puede generalizar a simetrías rotacionales de orden superior utilizando la parametrización de Weierstrass-Enneper para números enteros k > 1. ^[3] También se puede generalizar a dimensiones superiores; se sabe que existen superficies tipo Enneper para n hasta 7. ^[7]${\displaystyle f(z)=1,g(z)=z^{k}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Véase también ^{[8] [9]} para superficies de Enneper algebraicas de orden superior.

• "Superficie de Enneper", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Instituto de Investigación en Ciencias Matemáticas - Superficies de Enneper generalizadas (archivadas)
• Harvey Mudd College - Superficie de Enneper (archivada)