morfismo armónico

En matemáticas, un morfismo armónico es una aplicación (suave)${\displaystyle \phi$ :(M^{m},g)\to (N^{n},h)} entre variedades riemannianas que transforma funciones armónicas de valor real en el codominio en funciones armónicas en el dominio. Los morfismos armónicos forman una clase especial de aplicaciones armónicas , concretamente aquellas que son horizontalmente (débilmente) conformes. ^{[ 1 ]}

En coordenadas locales,${\displaystyle x}$en${\displaystyle M}$y${\displaystyle y}$en${\displaystyle N}$, la armonía de${\displaystyle \phi }$se expresa mediante el sistema no lineal

${\displaystyle \tau (\phi )=\sum _{i,j=1}^{m}g^{ij}\left({\frac {\partial ^{2}\phi ^{\gamma }}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}-\sum _{k=1}^{m}{\hat {\Gamma }}_{ij}^{k}{\frac {\partial \phi ^{\gamma }}{\partial x_{k}}}+\sum _{\alpha ,\beta =1}^{n}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }\circ \phi {\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \phi ^{\beta }}{\partial x_{j}}}\right)=0,}$

dónde${\displaystyle \phi ^{\alpha }=y_{\alpha }\circ \phi }$y${\displaystyle {\sombrero {\Gamma }},\Gamma }$son los símbolos de Christoffel en${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$, respectivamente. La conformidad horizontal viene dada por

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{m}g^{ij}(x){\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x_{i}}}(x){\frac {\partial \phi ^{\beta }}{\partial x_{j}}}(x)=\lambda ^{2}(x)h^{\alpha \beta }(\phi (x)),}$

donde el factor conforme${\displaystyle \lambda :M\to \mathbb {R} _{0}^{+}}$es una función continua llamada dilatación . Por lo tanto, los morfismos armónicos son soluciones de sistemas sobredeterminados no lineales de ecuaciones diferenciales parciales , determinados por los datos geométricos de las variedades involucradas. Por esta razón, son difíciles de encontrar y no tienen una teoría de existencia general, ni siquiera localmente.

Cuando el codominio de${\displaystyle \phi$ :(M,g)\to (N^{2},h)} es una superficie , el sistema de ecuaciones diferenciales parciales con el que estamos trabajando es invariante bajo cambios conformes de la métrica${\displaystyle h}$Esto significa que, al menos para estudios locales, el codominio puede elegirse como el plano complejo con su métrica plana estándar. En esta situación, una función de valor complejo${\displaystyle \phi =u+iv:(M,g)\to \mathbb {C} }$es un morfismo armónico si y solo si

${\displaystyle \Delta _{M}(\phi )=\Delta _{M}(u)+i\Delta _{M}(v)=0}$

y

${\displaystyle g(\nabla \phi ,\nabla \phi )=\|\nabla u\|^{2}-\|\nabla v\|^{2}+2ig(\nabla u,\nabla v)=0.}$

Esto significa que buscamos dos funciones armónicas de valor real.${\displaystyle u,v:(M,g)\to \mathbb {R} }$con degradados${\displaystyle \nabla u,\nabla v}$que son ortogonales y de la misma norma en cada punto. Esto demuestra que los morfismos armónicos de valor complejo${\displaystyle \phi$ :(M,g)\to \mathbb {C} } de variedades riemannianas generalizan funciones holomorfas${\displaystyle f:(M,g,J)\to \mathbb {C} }$provienen de variedades de Kähler y poseen muchas de sus propiedades sumamente interesantes. Por lo tanto, la teoría de los morfismos armónicos puede considerarse una generalización del análisis complejo . ^{[ 1 ]}

En geometría diferencial , uno está interesado en construir subvariedades mínimas de un espacio ambiente dado.${\displaystyle (M,g)}$Los morfismos armónicos son herramientas útiles para este propósito. Esto se debe a que cada fibra regular${\displaystyle \phi ^{-1}(\{z_{0}\})}$de tal mapa${\displaystyle \phi$ :(M,g)\to (N^{2},h)} con valores en una superficie es una subvariedad mínima del dominio con codimensión 2. ^{[ 1 ]} Esto proporciona un método atractivo para fabricar familias completas de superficies mínimas en variedades de 4 dimensiones.${\displaystyle (M^{4},g)}$, en particular, espacios homogéneos , como grupos de Lie y espacios simétricos .

• Las aplicaciones identidad y constante son morfismos armónicos.
• Las funciones holomorfas en el plano complejo son morfismos armónicos.
• Funciones holomorfas en el espacio vectorial complejo${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$son morfismos armónicos.
• Las aplicaciones holomorfas de variedades de Kähler con valores en una superficie de Riemann son morfismos armónicos.
• Los mapas de Hopf${\displaystyle \phi :S^{3}\to S^{2}}$,${\displaystyle \phi :S^{7}\to S^{4}}$y${\displaystyle \phi :S^{15}\to S^{8}}$son morfismos armónicos.
• Para grupos de Lie compactos${\displaystyle K\subset H\subset G}$la fibración riemanniana estándar${\displaystyle \phi :G/H\to G/K}$es un morfismo armónico.
• Las inmersiones riemannianas con fibras mínimas son morfismos armónicos.

• La bibliografía de morfismos armónicos , ofrecida por Sigmundur Gudmundsson.