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Articulo de referencia

Sistema sobredeterminado

En matemáticas , un sistema de ecuaciones se considera sobredeterminado si tiene más ecuaciones que incógnitas. [ 1 ] Un sistema sobredeterminado es casi siempre inconsistente (...

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En matemáticas , un sistema de ecuaciones se considera sobredeterminado si tiene más ecuaciones que incógnitas. [ 1 ] Un sistema sobredeterminado es casi siempre inconsistente (no tiene solución) cuando se construye con coeficientes aleatorios. Sin embargo, un sistema sobredeterminado tendrá soluciones en algunos casos, por ejemplo, si alguna ecuación aparece varias veces en el sistema o si algunas ecuaciones son combinaciones lineales de otras.

La terminología se puede describir en términos del concepto de conteo de restricciones . Cada incógnita puede considerarse un grado de libertad disponible. Cada ecuación introducida en el sistema puede verse como una restricción que limita un grado de libertad . Por lo tanto, el caso crítico se produce cuando el número de ecuaciones y el número de variables libres son iguales. Para cada variable que proporciona un grado de libertad, existe una restricción correspondiente. El caso sobredeterminado se produce cuando el sistema está sobredeterminado , es decir, cuando el número de ecuaciones supera al de incógnitas. Por el contrario, el caso subdeterminado se produce cuando el sistema está subdeterminado, es decir, cuando el número de ecuaciones es menor que el de incógnitas. Estos sistemas suelen tener un número infinito de soluciones.

Sistemas de ecuaciones lineales sobredeterminados

Un ejemplo en dos dimensiones

#1 Un sistema de tres ecuaciones linealmente independientes, tres rectas, sin soluciones.
#2 Un sistema de tres ecuaciones linealmente independientes, tres rectas (dos paralelas ), sin soluciones.
#3 Un sistema de tres ecuaciones linealmente independientes, tres rectas (todas paralelas), sin soluciones.
#4 Un sistema de tres ecuaciones (una ecuación linealmente dependiente de las otras), tres rectas (dos coincidentes), una solución
#5 Un sistema de tres ecuaciones (una ecuación linealmente dependiente de las otras), tres rectas, una solución.
#6 Un sistema de tres ecuaciones (dos ecuaciones que dependen linealmente de la tercera), tres rectas coincidentes y una infinidad de soluciones.

Consideremos el sistema de 3 ecuaciones y 2 incógnitas ( X e Y ), que está sobredeterminado porque 3 > 2, y que corresponde al Diagrama n.º 1: Y=−2incógnita−1Y=3incógnita−2Y=incógnita+1.{\displaystyle {\begin{aligned}Y&=-2X-1\\Y&=3X-2\\Y&=X+1.\end{aligned}}}

Existe una solución para cada par de ecuaciones lineales: para la primera y la segunda ecuación (0,2,  −1,4), para la primera y la tercera (−2/3,  1/3), y para la segunda y la tercera (1,5,  2,5). Sin embargo, no existe una solución que satisfaga las tres simultáneamente. Los diagramas n.° 2 y 3 muestran otras configuraciones que son inconsistentes porque ningún punto se encuentra en todas las líneas. Los sistemas de este tipo se consideran inconsistentes .

Los únicos casos en los que el sistema sobredeterminado tiene solución se muestran en los diagramas 4, 5 y 6. Estas excepciones solo se dan cuando el sistema sobredeterminado contiene suficientes ecuaciones linealmente dependientes como para que el número de ecuaciones independientes no supere el número de incógnitas. La dependencia lineal implica que algunas ecuaciones se pueden obtener combinando linealmente otras. Por ejemplo, Y = X + 1 y 2Y = 2X +  2 son ecuaciones linealmente dependientes porque la segunda se obtiene multiplicando por dos la primera.       

Forma matricial

Cualquier sistema de ecuaciones lineales puede escribirse como una ecuación matricial . El sistema de ecuaciones anterior (en el Diagrama n.° 1) puede escribirse de la siguiente manera: [21−31−11][incógnitaY]=[−1−21]{\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\-3&1\\-1&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X\\Y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\-2\\1\end{bmatrix}}} Nótese que las filas de la matriz de coeficientes (correspondientes a ecuaciones) superan en número a las columnas (correspondientes a incógnitas), lo que significa que el sistema está sobredeterminado. El rango de esta matriz es 2, que corresponde al número de variables dependientes en el sistema. [ 2 ] Un sistema lineal es consistente si y solo si la matriz de coeficientes tiene el mismo rango que su matriz aumentada (la matriz de coeficientes con una columna adicional añadida, siendo esa columna el vector columna de constantes). La matriz aumentada tiene rango 3, por lo que el sistema es inconsistente. La nulidad es 0, lo que significa que el espacio nulo contiene solo el vector cero y, por lo tanto, no tiene base .

En álgebra lineal, los conceptos de espacio fila , espacio columna y espacio nulo son importantes para determinar las propiedades de las matrices. La discusión informal sobre restricciones y grados de libertad que se presentó anteriormente se relaciona directamente con estos conceptos más formales.

Caso homogéneo

El caso homogéneo (en el que todos los términos constantes son cero) siempre es consistente (porque existe una solución trivial, con todos los términos iguales a cero). Hay dos casos, según el número de ecuaciones linealmente dependientes: o bien existe solo la solución trivial , o bien existe la solución trivial más un conjunto infinito de otras soluciones.

Consideremos el sistema de ecuaciones lineales: L i = 0 para 1 ≤ i ≤ M , y variables X 1 , X 2 , ..., X N , donde cada L i es una suma ponderada de las X i s. Entonces X 1 = X 2 = ⋯ = X N = 0 es siempre una solución. Cuando M < N el sistema está subdeterminado y siempre hay una infinidad de soluciones adicionales. De hecho , la dimensión del espacio de soluciones es siempre al menos N − M.

Para M ≥ N , puede que no haya otra solución que no sea que todos los valores sean 0. Habrá una infinidad de otras soluciones solo cuando el sistema de ecuaciones tenga suficientes dependencias (ecuaciones linealmente dependientes) de modo que el número de ecuaciones independientes sea como máximo N − 1. Pero con M ≥ N, el número de ecuaciones independientes podría llegar a ser tan alto como N , en cuyo caso la solución trivial es la única.

Caso no homogéneo

En sistemas de ecuaciones lineales, L i = c i para 1 ≤ i ≤ M , en variables X 1 , X 2 , ..., X N las ecuaciones a veces son linealmente dependientes; de hecho, el número de ecuaciones linealmente independientes no puede exceder N +1. Tenemos los siguientes casos posibles para un sistema sobredeterminado con N incógnitas y M ecuaciones ( M > N ).

  • M = N + 1 y todas las M ecuaciones son linealmente independientes . Este caso no tiene solución. Ejemplo: x = 1, x = 2.
  • M > N pero solo K ecuaciones ( K < M y K ≤ N + 1) son linealmente independientes. Existen tres posibles subcasos de esto:
    • K = N + 1. Este caso no produce soluciones. Ejemplo: 2 x = 2, x = 1, x = 2.
    • K = N. Este caso produce una única solución o ninguna, ocurriendo esto último cuando el vector de coeficientes de una ecuación puede replicarse mediante una suma ponderada de los vectores de coeficientes de las demás ecuaciones, pero dicha suma ponderada aplicada a los términos constantes de las demás ecuaciones no replica el término constante de la ecuación en cuestión. Ejemplo con una solución: 2x = 2, x = 1. Ejemplo sin solución: 2x + 2y = 2, x + y = 1, x + y = 3.
    • K < N. Este caso produce infinitas soluciones o ninguna, ocurriendo esto último como en el subcaso anterior. Ejemplo con infinitas soluciones: 3x + 3y = 3, 2x + 2y = 2, x + y = 1. Ejemplo sin solución: 3x + 3y + 3z = 3, 2x + 2y + 2z = 2, x + y + z = 1, x + y + z = 4.

Estos resultados pueden entenderse mejor al colocar la matriz aumentada de los coeficientes del sistema en forma escalonada por filas mediante la eliminación gaussiana . Esta forma escalonada por filas es la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones equivalente al sistema dado (tiene exactamente las mismas soluciones). El número de ecuaciones independientes en el sistema original es el número de filas no nulas en la forma escalonada. El sistema es inconsistente (no tiene solución) si y solo si la última fila no nula en la forma escalonada tiene solo una entrada no nula en la última columna (lo que da como resultado la ecuación 0 = c, donde c es una constante no nula). En caso contrario, hay exactamente una solución cuando el número de filas no nulas en la forma escalonada es igual al número de incógnitas, y hay infinitas soluciones cuando el número de filas no nulas es menor que el número de variables.

Dicho de otro modo, según el teorema de Rouché-Capelli , cualquier sistema de ecuaciones (sobredeterminado o no) es inconsistente si el rango de la matriz aumentada es mayor que el rango de la matriz de coeficientes . Si, por el contrario, los rangos de estas dos matrices son iguales, el sistema debe tener al menos una solución. La solución es única si y solo si el rango es igual al número de variables. De lo contrario, la solución general tiene k parámetros libres, donde k es la diferencia entre el número de variables y el rango; por lo tanto, en tal caso existen infinitas soluciones.

Soluciones exactas

Mediante álgebra matricial se pueden obtener todas las soluciones exactas, o bien demostrar que no existe ninguna . Véase Sistema de ecuaciones lineales#Solución matricial .

Soluciones aproximadas

El método de mínimos cuadrados ordinarios se puede utilizar para encontrar una solución aproximada a sistemas sobredeterminados. Para el sistemaAincógnita=b,{\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b},}La fórmula de mínimos cuadrados se obtiene del problema. minincógnita‖Aincógnita−b‖,{\displaystyle \min _{\mathbf {x} }\lVert A\mathbf {x} -\mathbf {b} \rVert ,} cuya solución puede escribirse con las ecuaciones normales , [ 3 ]incógnita=(ATA)−1ATb,{\displaystyle \mathbf {x} =\left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}A^{\mathsf {T}}\mathbf {b} ,} dóndeT{\displaystyle {\mathsf {T}}}indica una transpuesta de matriz , siempre que(ATA)−1{\displaystyle \left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}}existe (es decir, siempre que A tenga rango de columna completo ). Con esta fórmula se encuentra una solución aproximada cuando no existe una solución exacta, y proporciona una solución exacta cuando sí existe. Sin embargo, para lograr una buena precisión numérica, se prefiere utilizar la factorización QR de A para resolver el problema de mínimos cuadrados. [ 4 ]

Utilizando la factorización QR

La descomposición QR de una matriz (alta)A{\displaystyle A}es la representación de la matriz en forma de producto,

A=QR,{\displaystyle A=QR,}

dóndeQ{\displaystyle Q}es una matriz semiortonormal (alta) que abarca el rango de la matrizA{\displaystyle A}y dóndeR{\displaystyle R}es una matriz triangular cuadrada (pequeña).

La solución al problema de minimizar la norma‖Aincógnita−b‖2{\displaystyle \|Ax-b\|^{2}}entonces se da como

incógnita=R−1QTb,{\displaystyle x=R^{-1}Q^{T}b,}

donde en la práctica en lugar de calcularR−1{\displaystyle R^{-1}}Se debe realizar una serie de sustitución hacia atrás en el sistema triangular derecho.

Rincógnita=QTb.{\displaystyle Rx=Q^{T}b.}

Utilizando la descomposición en valores singulares

La descomposición en valores singulares (SVD) de una matriz (alta)A{\displaystyle A}es la representación de la matriz en forma de producto,

A=USVT,{\displaystyle A=USV^{T},}

dóndeU{\displaystyle U}es una matriz semiortonormal (alta) que abarca el rango de la matrizA{\displaystyle A},S{\displaystyle S}es una matriz diagonal cuadrada (pequeña) con valores singulares no negativos a lo largo de la diagonal, y dondeV{\displaystyle V}es una matriz ortonormal cuadrada (pequeña).

La solución al problema de minimizar la norma‖Aincógnita−b‖2{\displaystyle \|Ax-b\|^{2}}entonces se da como

incógnita=VS−1UTb.{\displaystyle x=VS^{-1}U^{T}b.}

Sistemas de ecuaciones no lineales sobredeterminados

En espacios de dimensión finita, un sistema de ecuaciones puede escribirse o representarse en forma de

{F1(incógnita1,…,incógnitanorte)=0⋮⋮⋮Fmetro(incógnita1,…,incógnitanorte)=0{\displaystyle \left\{{\begin{array}{ccc}f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=&0\end{array}}\right.}

o en forma deF(incógnita)=0{\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }con

F(incógnita)=[F1(incógnita1,…,incógnitanorte)⋮Fmetro(incógnita1,…,incógnitanorte)]y0=[0⋮0]{\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\left[{\begin{array}{c}f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})\end{array}}\right]\;\;\;{\mbox{and}}\;\;\;\mathbf {0} =\left[{\begin{array}{c}0\\\vdots \\0\end{array}}\right]}

dóndeincógnita=(incógnita1,…,incógnitanorte){\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}es un punto enRnorte{\displaystyle R^{n}}odonorte{\displaystyle C^{n}}yF1,…,Fmetro{\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}}son funciones reales o complejas. El sistema está sobredeterminado simetro>norte{\displaystyle m>n}. Por el contrario, el sistema es un sistema subdeterminado si metro<norte{\displaystyle m<n}. [ 5 ] [ 6 ]

Como método eficaz para resolver sistemas sobredeterminados, la iteración de Gauss-Newton converge localmente de forma cuadrática a soluciones en las que las matrices jacobianas deF(incógnita){\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )}son inyectivos.

En uso general

El concepto también se puede aplicar a sistemas de ecuaciones más generales, como sistemas de ecuaciones polinómicas o ecuaciones diferenciales parciales . En el caso de los sistemas de ecuaciones polinómicas, puede ocurrir que un sistema sobredeterminado tenga una solución, pero que ninguna ecuación sea consecuencia de las demás y que, al eliminar cualquier ecuación, el nuevo sistema tenga más soluciones. Por ejemplo,(incógnita−1)(incógnita−2)=0,(incógnita−1)(incógnita−3)=0{\displaystyle (x-1)(x-2)=0,(x-1)(x-3)=0}tiene la única soluciónincógnita=1,{\displaystyle x=1,}pero cada ecuación por sí misma tiene dos soluciones.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Gentle, James E. (6 de diciembre de 2012). Álgebra lineal numérica para aplicaciones en estadística . Springer. ISBN 9781461206231.
  2. ↑ Stevens, Scott A. "Análisis de sistemas: rango y nulidad" (PDF) . Materiales de matemáticas 220: matrices . Universidad Estatal de Pensilvania. Archivado del original (PDF) el 19 de agosto de 2019. Consultado el 3 de abril de 2017 .
  3. ↑ Anton, Howard; Rorres, Chris (2005). Álgebra lineal elemental (9.ª ed.). John Wiley and Sons, Inc. ISBN  978-0-471-66959-3.
  4. ^ Trefethen, Lloyd; Bau, III, David (1997). Álgebra lineal numérica . ISBN 978-0898713619.
  5. ↑ JM Ortega y WC Rheinboldt (1970). Solución iterativa de ecuaciones no lineales en varias variables . Reproducción de Academic Press y SIAM 2000.
  6. ↑ DJ Bates, AJ Sommese, JD Hauenstein y CW Wampler (2013). Resolución numérica de sistemas polinomiales con Bertini . SIAM.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )