Ecuaciones consistentes e inconsistentes

El sistema

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+z&=3,\\x+y+2z&=4\end{aligned}}}$

tiene un número infinito de soluciones, todas ellas con z = 1 (como se puede ver restando la primera ecuación de la segunda), y todas ellas por lo tanto tienen x + y = 2 para cualquier valor de x e y .

El sistema no lineal

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+y^{2}+z^{2}&=10,\\x^{2}+y^{2}&=5\end{aligned}}}$

tiene una infinidad de soluciones, todas ellas implican${\displaystyle z=\pm {\sqrt {5}}.}$

Dado que cada uno de estos sistemas tiene más de una solución, se trata de un sistema indeterminado .

El sistema

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+z&=3,\\x+y+z&=4\end{aligned}}}$

no tiene soluciones, como se puede ver restando la primera ecuación de la segunda para obtener el imposible 0 = 1 .

El sistema no lineal

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+y^{2}+z^{2}&=17,\\x^{2}+y^{2}+z^{2}&=14\end{aligned}}}$

no tiene soluciones, porque si se resta una ecuación de la otra obtenemos la imposible 0 = 3 .

El sistema

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=3,\\x+2y&=5\end{aligned}}}$

tiene exactamente una solución: x = 1, y = 2

El sistema no lineal

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=1,\\x^{2}+y^{2}&=1\end{aligned}}}$

tiene las dos soluciones ( x, y ) = (1, 0) y ( x, y ) = (0, 1) , mientras que

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{3}+y^{3}+z^{3}&=10,\\x^{3}+2y^{3}+z^{3}&=12,\\3x^{3}+5y^{3}+3z^{3}&=34\end{aligned}}}$

tiene un número infinito de soluciones porque la tercera ecuación es la primera ecuación más el doble de la segunda y, por lo tanto, no contiene información independiente; por lo tanto, se puede elegir cualquier valor de z y se pueden encontrar valores de x e y que satisfagan las dos primeras (y por lo tanto la tercera) ecuaciones.

El sistema

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=3,\\4x+4y&=10\end{aligned}}}$

no tiene soluciones; la inconsistencia se puede ver multiplicando la primera ecuación por 4 y restando la segunda ecuación para obtener el imposible 0 = 2 .

Asimismo,

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{3}+y^{3}+z^{3}&=10,\\x^{3}+2y^{3}+z^{3}&=12,\\3x^{3}+5y^{3}+3z^{3}&=32\end{aligned}}}$

es un sistema inconsistente porque la primera ecuación más el doble de la segunda menos la tercera contiene la contradicción 0 = 2 .

El sistema

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=3,\\x+2y&=7,\\4x+6y&=20\end{aligned}}}$

tiene una solución, x = –1, y = 4 , porque las dos primeras ecuaciones no se contradicen entre sí y la tercera ecuación es redundante (ya que contiene la misma información que se puede obtener de las dos primeras ecuaciones multiplicando cada una por 2 y sumándolas).

El sistema

${\displaystyle {\begin{aligned}x+2y&=7,\\3x+6y&=21,\\7x+14y&=49\end{aligned}}}$

tiene una infinidad de soluciones ya que las tres ecuaciones dan la misma información entre sí (como se puede ver multiplicando la primera ecuación por 3 o por 7). Cualquier valor de y es parte de una solución, siendo el valor correspondiente de x 7 – 2 y .

El sistema no lineal

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}-1&=0,\\y^{2}-1&=0,\\(x-1)(y-1)&=0\end{aligned}}}$

tiene las tres soluciones ( x, y ) = (1, –1), (–1, 1), (1, 1) .

El sistema

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=3,\\x+2y&=7,\\4x+6y&=21\end{aligned}}}$

es inconsistente porque la última ecuación contradice la información contenida en las dos primeras, como se puede ver al multiplicar cada una de las dos primeras por 2 y sumarlas.

El sistema

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&=1,\\x^{2}+2y^{2}&=2,\\2x^{2}+3y^{2}&=4\end{aligned}}}$

es inconsistente porque la suma de las dos primeras ecuaciones contradice la tercera.

Un sistema lineal es consistente si y solo si su matriz de coeficientes tiene el mismo rango que su matriz aumentada (la matriz de coeficientes con una columna adicional añadida, siendo esa columna el vector columna de constantes).