Sistema indeterminado

En matemáticas , particularmente en teoría de números , un sistema indeterminado tiene menos ecuaciones que incógnitas, pero además un conjunto de restricciones sobre las incógnitas, como la restricción de que los valores sean enteros. ^{[ 1 ]} En la actualidad, las ecuaciones indeterminadas se denominan a menudo ecuaciones diofánticas . ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{: iii}

Ejemplos

Ecuaciones lineales indeterminadas

Un ejemplo de ecuación lineal indeterminada surge al imaginar a dos hombres igualmente ricos, uno con 5 rubíes, 8 zafiros, 7 perlas y 90 monedas de oro; el otro tiene 7, 9, 6 y 62 monedas de oro; encuentre los precios (y, c, n) de las gemas respectivas en monedas de oro. Como son igualmente ricos: $5y+8c+7n+90=7y+9c+6n+62$ Bhāskara II dio un enfoque general a este tipo de problema asignando un número entero fijo a una (o N-2 en general) de las incógnitas, por ejemplo $n=1$ lo que da como resultado una serie de posibles soluciones como (y, c, n)=(14, 1, 1), (13, 3, 1). ^{[ 3 ]}^{: 43}

$Para los enteros a$ , $b$ y $n$ dados , la ecuación indeterminada lineal general es $ax+by=n$ con incógnitas $x$ e y $restringidas$ a enteros. La condición necesaria y suficiente para las soluciones es que el máximo común divisor , $(a,b)$ , es divisible por $n$ . ^{[ 1 ]}^{: 11}

Historia

Los primeros matemáticos de la India y China estudiaron ecuaciones lineales indeterminadas con soluciones enteras. ^{[ 4 ]} El astrónomo indio Aryabhata desarrolló un algoritmo recursivo para resolver ecuaciones indeterminadas que ahora se sabe que está relacionado con el algoritmo de Euclides . ^{[ 5 ]} El nombre del teorema chino del resto se relaciona con la idea de que las ecuaciones indeterminadas surgieron en estas tradiciones matemáticas asiáticas, pero es probable que los antiguos griegos también trabajaran con ecuaciones indeterminadas. ^{[ 4 ]}

La primera obra importante sobre ecuaciones indeterminadas aparece en la Aritmética de Diofanto en el siglo III d. C. Diofanto buscaba soluciones restringidas a ser números racionales , pero la obra de Pierre de Fermat en el siglo XVII se centró en soluciones enteras e introdujo la idea de caracterizar todas las soluciones posibles en lugar de una sola. ^[⁶^] En la actualidad, las soluciones enteras de ecuaciones indeterminadas se conocen como análisis de ecuaciones diofánticas . ^[³^]^:ⁱⁱⁱ

El artículo original de Henry John Stephen Smith que definió la forma normal de Smith fue escrito para sistemas lineales indeterminados. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

Referencias

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↑ Bashmakova, IG (1997). Diophantus y ecuaciones diofánticas . Dolciani Mathematical Expositions. Washington, DC: Mathematical Association of America. ISBN 978-1-4704-5048-9.
1 2 3 Dickson, LE (1919). Historia de la teoría de los números, volumen II: análisis diofántico . Reino Unido: Dover Publications (publicado en 2013).
1 2 Christianidis, J. (1994). Sobre la historia de los problemas indeterminados de primer grado en las matemáticas griegas. Tendencias en la historiografía de la ciencia, 237-247.
^ Shukla, KN (2015). La ecuación lineal indeterminada: un breve relato histórico. Revista Brasileira de História da Matemática, 15(30), 83-94.
↑ Kleiner, Israel (1 de febrero de 2005). "Fermat: El fundador de la teoría moderna de números" . Mathematics Magazine . 78 (1): 3–14 . doi : 10.1080/0025570X.2005.11953295 . ISSN 0025-570X .
↑ Lazebnik, F. (1996). Sobre sistemas de ecuaciones diofánticas lineales. Mathematics Magazine, 69(4), 261-266.
↑ Smith, HJS (1861). XV. Sobre sistemas de ecuaciones lineales indeterminadas y congruencias. Philosophical transactions of the royal society of london, (151), 293-326.

[Hua-1982-1] 1 2 Hua, Luogeng (1982). "Capítulo 11. Ecuaciones indeterminadas". Introducción a la teoría de números . SpringerLink Bücher. Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-642-68130-1.

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