Conteo de restricciones

Para responder a esta pregunta en el importante caso especial de una ecuación diferencial parcial lineal , Einstein preguntó: ¿cuántas de las derivadas parciales de una solución pueden ser linealmente independientes ? Es conveniente registrar su respuesta utilizando una función generadora ordinaria.

${\displaystyle s(\xi )=\sum _{k=0}^{\infty }s_{k}\xi ^{k}}$

dónde${\displaystyle s_{k}}$es un número natural que cuenta el número de derivadas parciales linealmente independientes (de orden k) de una función arbitraria en el espacio de soluciones de la ecuación en cuestión.

Siempre que una función satisface alguna ecuación diferencial parcial, podemos usar la regla de reescritura correspondiente para eliminar algunas de ellas, porque las ecuaciones parciales mixtas adicionales se han vuelto necesariamente linealmente dependientes . Específicamente, la serie de potencias que cuenta la variedad de funciones arbitrarias de tres variables (sin restricciones) es

${\displaystyle f(\xi )={\frac {1}{(1-\xi )^{3}}}=1+3\xi +6\xi ^{2}+10\xi ^{3}+\dots }$

pero la serie de potencias que cuenta aquellos en el espacio de soluciones de alguna EDP de segundo orden es

${\displaystyle g(\xi )={\frac {1-\xi ^{2}}{(1-\xi )^{3}}}=1+2\xi +5\xi ^{2}+7\xi ^{3}+\dots }$

lo cual registra que podemos eliminar una parcial de segundo orden${\displaystyle u_{tt}}$, tres parciales de tercer orden${\displaystyle u_{ttt},\,u_{ttx},\,u_{tty}}$y así sucesivamente.

De forma más general, la función generadora de probabilidad para una función arbitraria de n variables es

${\displaystyle s[n](\xi )=1/(1-\xi )^{n}=1+n\,\xi +\left({\begin{matrix}n\\2\end{matrix}}\right)\,\xi ^{2}+\left({\begin{matrix}n+1\\3\end{matrix}}\right)\,\xi ^{3}+\dots }$

donde los coeficientes de la serie de potencias infinita de la función generadora se construyen utilizando una secuencia infinita apropiada de coeficientes binomiales , y la serie de potencias para una función requerida para satisfacer una ecuación lineal de orden m es

${\displaystyle g(\xi )={\frac {1-\xi ^{m}}{(1-\xi )^{n}}}}$

Próximo,

${\displaystyle {\frac {1-\xi ^{2}}{(1-\xi )^{3}}}={\frac {1+\xi }{(1-\xi )^{2}}}}$

lo cual puede interpretarse para predecir que una solución a una EDP lineal de segundo orden en tres variables se puede expresar mediante dos funciones de dos variables elegidas libremente , una de las cuales se usa inmediatamente y la segunda, solo después de tomar una primera derivada , para expresar la solución.

Para verificar esta predicción, recordemos la solución del problema de valor inicial.

${\displaystyle u_{tt}=u_{xx}+u_{yy},\;u(0,x,y)=p(x,y),\;u_{t}(0,x,y)=q(x,y)}$

Aplicación de la transformada de Laplace${\displaystyle u(t,x,y)\mapsto [Lu](\omega,x,y)}$da

${\displaystyle -\omega ^{2}\,[Lu]+\omega \,p(x,y)+q(x,y)+[Lu]_{x}+[Lu]_{y}}$

Aplicación de la transformada de Fourier${\displaystyle [Lu](\omega,x,y)\mapsto [GRIPE](\omega,m,n)}$a las dos variables espaciales da

${\displaystyle -\omega ^{2}\,[FLu]+\omega \,[Fp]+[Fq]-(m^{2}+n^{2})\,[FLu]}$

o

${\displaystyle [FLu](\omega ,m,n)={\frac {\omega \,[Fp](m,n)+[Fq](m,n)}{\omega ^{2}+m^{2}+n^{2}}}}$

Aplicando la transformada inversa de Laplace se obtiene

${\displaystyle [Fu](t,m,n)=[Fp](m,n)\,\cos({\sqrt {m^{2}+n^{2}}}\,t)+{\frac {[Fq](m,n)\,\sin({\sqrt {m^{2}+n^{2}}}\,t)}{\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}}$

Aplicando la transformada inversa de Fourier se obtiene

${\displaystyle u(t,x,y)=Q(t,x,y)+P_{t}(t,x,y)}$

dónde

${\displaystyle P(t,x,y)={\frac {1}{2\pi }}\,\int _{(xx')^{2}+(yy')^{2}<t^{2}}{\frac {p(x',y')\,dx'dy'}{\left[t^{2}-(xx')^{2}-(yy')^{2}\right]^{1/2}}}}$

${\displaystyle Q(t,x,y)={\frac {1}{2\pi }}\,\int _{(xx')^{2}+(yy')^{2}<t^{2}}{\frac {q(x',y')\,dx'dy'}{\left[t^{2}-(xx')^{2}-(yy')^{2}\right]^{1/2}}}}$

Aquí, p y q son funciones arbitrarias (suficientemente suaves) de dos variables, por lo que (debido a su modesta dependencia temporal) las integrales P y Q también se consideran funciones "libremente elegidas" de dos variables; como se prometió, una de ellas se diferencia una vez antes de sumarla a la otra para expresar la solución general del problema de valor inicial para la ecuación de onda bidimensional.

En el caso de una ecuación no lineal, rara vez será posible obtener la solución general en forma cerrada. Sin embargo, si la ecuación es cuasilineal (lineal en las derivadas de orden superior), aún podemos obtener información aproximada similar a la anterior: especificar un miembro del espacio de soluciones será equivalente, "salvo matices no lineales", a especificar un cierto número de funciones en un número menor de variables. El número de estas funciones es la fuerza de Einstein de la ecuación diferencial parcial. En el ejemplo simple anterior, la fuerza es dos, aunque en este caso pudimos obtener información más precisa.