Condiciones de integrabilidad para sistemas diferenciales

Un sistema pfaffiano se especifica mediante 1-formas. En cada punto${\displaystyle x\in M}$El conjunto de 1-formas puede visualizarse como un conjunto de hiperplanos, o elementos de contacto , centrados en el punto. Los hiperplanos se intersecan, produciendo un subespacio lineal del espacio tangente local.${\displaystyle T_{x}M}$Este campo de subespacios lineales se asemeja localmente a fragmentos infinitesimales de una variedad integral máxima, pero podría ser imposible unir estos fragmentos infinitesimales para formar dicha variedad. Los fragmentos podrían retorcerse entre sí, frustrando cualquier intento de unirlos.

Por ejemplo, si${\displaystyle M}$Si tiene 3 dimensiones, entonces una sola 1-forma produce un campo de planos, mientras que dos 1-formas que son linealmente independientes en cada punto producen un campo de líneas. Integrar un campo de líneas siempre es posible, pero integrar un campo de planos puede ser imposible, debido a la "torsión". Localmente, dicho campo de planos no integrable se parece a la estructura de contacto estándar en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, definido por la 1-forma${\displaystyle dz-ydx}$.

Dada cualquier foliación regular, podemos simplemente tomar sus diferenciales para obtener un sistema regular integrable. El rango del sistema es la codimensión de la foliación.

La fibración de Hopf es una foliación de la 3-esfera en círculos, que es una foliación regular de codimensión 2.

De forma similar a los sistemas regulares integrables, una foliación singular produce un sistema singular integrable. Por ejemplo,${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$puede foliarse en círculos concéntricos con un punto singular en el origen. Esto corresponde a un sistema singular integrable.$${\displaystyle d(x^{2}+y^{2}+z^{2})=0\implies xdx+ydy+zdz=0}$$

No todos los sistemas de Pfaff son completamente integrables en el sentido de Frobenius. Por ejemplo, consideremos la siguiente 1-forma en R ³ ∖ (0,0,0) :

${\displaystyle \theta =z\,dx+x\,dy+y\,dz.}$

Si dθ estuviera en el ideal generado por θ, tendríamos, por la asimetría del producto de cuña

${\displaystyle \theta \wedge d\theta =0.}$

Pero un cálculo directo da

${\displaystyle \theta \wedge d\theta =(x+y+z)\,dx\wedge dy\wedge dz,}$

que es un múltiplo no nulo de la forma de volumen estándar en R ³ . Por lo tanto, no hay hojas bidimensionales y el sistema no es completamente integrable.

Por otro lado, para la curva definida por

${\displaystyle x=t,\quad y=c,\quad z=e^{-t/c},\qquad t>0}$

entonces θ definido como arriba es 0, y por lo tanto la curva se verifica fácilmente que es una solución (es decir, una curva integral ) para el sistema de Pfaff anterior para cualquier constante c distinta de cero .

En general, una 1-forma${\displaystyle \theta }$en una variedad de dimensiones${\displaystyle 2n+1}$es completamente no integrable si y solo si${\displaystyle \theta \wedge d\theta ^{n}\neq 0}$en todas partes. Por un teorema de Pfaff, generalizado por el teorema de Darboux , existen coordenadas locales en las que tiene la forma${\displaystyle dz-\sum _{i=1}^{n}y_{i}dx_{i}}$Estas estructuras son estructuras de contacto .

Análogamente, en una variedad de dimensión par, una 1-forma${\displaystyle \theta }$en una variedad de dimensiones${\displaystyle 2n+2}$es completamente no integrable si y solo si${\displaystyle \theta \wedge d\theta ^{n}\neq 0}$en todas partes. Dichas estructuras son estructuras de contacto uniforme.

La esfera de 3 lados${\textstyle \mathbb {S} ^{3}}$se le puede dar una estructura de contacto considerándola como la esfera unitaria en${\textstyle \mathbb {C} ^{2}}$El formulario de contacto estándar en${\textstyle \mathbb {S} ^{3}}$es:$${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}\left(x_{1}dy_{1}-y_{1}dx_{1}+x_{2}dy_{2}-y_{2}dx_{2}\right)}$$dónde${\textstyle \left(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}\right)}$son coordenadas en${\textstyle \mathbb {R} ^{4}}$.

Algunos sistemas de Pfaff no tienen una foliación integrable máxima, pero tampoco son completamente no integrables.

Por ejemplo, la estructura de contacto estándar en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, definido por la 1-forma${\displaystyle dx_{0}-x_{2}dx_{1}}$, es completamente no integrable, en el sentido de que cualquier variedad integral de ella puede tener solo 1 dimensión (estas se llaman subvariedades legendrianas ). Sin embargo, si extendiéramos a${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$, entonces${\displaystyle dx_{0}-x_{2}dx_{1}}$Puede tener una variedad integral de 3 dimensiones. Esta no es la dimensión más baja alcanzable, por lo que no es ni completamente integrable ni completamente no integrable, lo que la hace parcialmente integrable.

En${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$, una 1-forma completamente integrable tendría variedades integrales de 4 dimensiones y la estructura de contacto estándar.${\displaystyle dx_{0}-x_{2}dx_{1}-x_{4}dx_{3}}$Solo puede tener variedades enteras de 2 dimensiones, lo que la hace completamente no integrable.