Método de cuadrícula estirada

El método de cuadrícula estirada ( SGM ) es una técnica numérica para encontrar soluciones aproximadas de varios problemas matemáticos y de ingeniería que pueden estar relacionados con el comportamiento de una cuadrícula elástica. En particular, los meteorólogos utilizan el método de cuadrícula estirada para la predicción meteorológica ^[1] y los ingenieros utilizan el método de cuadrícula estirada para diseñar tiendas de campaña y otras estructuras tensadas .

En las últimas décadas, los métodos de elementos finitos y elementos de contorno (FEM y BEM) se han convertido en un pilar para el diseño y análisis de ingeniería industrial. Cada vez se simulan diseños más grandes y complejos utilizando FEM o BEM. Sin embargo, algunos problemas del análisis de ingeniería FEM y BEM aún están en la vanguardia. El primer problema es la confiabilidad del análisis de ingeniería que depende en gran medida de la calidad de los datos iniciales generados en la etapa de preprocesamiento. Se sabe que las técnicas de generación automática de mallas de elementos en esta etapa se han convertido en herramientas de uso común para el análisis de modelos complejos del mundo real. ^[2] Con el aumento de popularidad de FEM y BEM surge el incentivo para mejorar los algoritmos de mallado automático. Sin embargo, todos estos algoritmos pueden crear elementos de cuadrícula distorsionados e incluso inutilizables. Existen varias técnicas que pueden tomar una malla existente y mejorar su calidad. Por ejemplo, el suavizado (también conocido como refinamiento de malla ) es uno de esos métodos, que reposiciona las ubicaciones nodales, para minimizar la distorsión de los elementos. El método de cuadrícula estirada (SGM) permite la obtención de mallas pseudo-regulares de forma muy fácil y rápida en una solución de un solo paso (ver ^[3] ).

Supongamos que existe una cuadrícula de triángulos arbitrarios incrustada en un contorno poligonal plano coherente único y producida mediante un procedimiento de mallado automático (véase la figura 1). Se puede suponer además que la cuadrícula considerada como un sistema nodal físico está distorsionada por una serie de distorsiones. Se supone que la energía potencial total de este sistema es proporcional a la longitud de algún vector dimensional con todos los segmentos de la red como sus componentes. ${\estilo de visualización \ n}$

Por lo tanto, la energía potencial toma la siguiente forma

${\displaystyle \Pi =D\sum _{j=1}^{n}{R_{j}}^{2}}$

dónde

• ${\estilo de visualización \ n}$- número total de segmentos en la red,
• ${\estilo de visualización \ R_{j}}$- La longitud del segmento número ,${\estilo de visualización \ j}$
• ${\estilo de visualización \ D}$- una constante arbitraria.

La longitud del número de segmento puede expresarse mediante dos coordenadas nodales como ${\estilo de visualización \ j}$

${\displaystyle \ R={\sqrt {(X_{12}-X_{11})^{2}+(X_{22}-X_{21})^{2}}}}$

También se puede suponer que el vector de coordenadas de todos los nodos está asociado con la red no distorsionada y el vector de coordenadas está asociado con la red distorsionada. La expresión para el vector puede escribirse como ${\estilo de visualización \{\ X\}}$${\estilo de visualización \{\ X'\}}$${\estilo de visualización \{\ X\}}$

${\displaystyle \{\ X\}=\{\ X'\}+\{\Delta \ X\}}$

La determinación del vector está relacionada con la minimización de la forma cuadrática por el vector incremental , es decir ${\estilo de visualización \{\ X\}}$${\estilo de visualización \ \Pi }$${\displaystyle \{\Delta \ X\}}$

${\displaystyle {\frac {\parcial \Pi }{\parcial \Delta X_{kl}}}=0}$

dónde

• ${\estilo de visualización \ l}$- es el número de nodo interior del área,
• ${\estilo de visualización \ k}$- el número de coordenadas

Después de todas las transformaciones podemos escribir los siguientes dos sistemas independientes de ecuaciones algebraicas lineales

${\displaystyle [\A]\{\Delta X_{1}\}=\{\B_{1}\}}$

${\displaystyle [\A]\{\Delta X_{2}\}=\{\B_{2}\}}$

dónde

• ${\estilo de visualización [\ A]}$- matriz simétrica en forma de bandas similar a la matriz de rigidez global del conjunto FEM,
• ${\displaystyle \{\Delta \ X_{1}\}}$y - vectores incrementales de coordenadas de todos los nodos en los ejes 1, 2,${\displaystyle \{\Delta \ X_{2}\}}$
• ${\estilo de visualización \{\ B_{1}\}}$y - los vectores de la parte derecha que se combinan por las coordenadas de todos los nodos en los ejes 1, 2.${\estilo de visualización \{\ B_{2}\}}$

La solución de ambos sistemas, manteniendo todos los nodos de contorno conservativos, obtiene nuevas posiciones de nodos interiores correspondientes a una malla no distorsionada con elementos pseudo-regulares. Por ejemplo, la Figura 2 presenta el área rectangular cubierta por una malla triangular. La malla automática inicial posee algunos triángulos degenerativos (malla izquierda). La malla final (malla derecha) producida por el procedimiento SGM es pseudo-regular sin ningún elemento distorsionado.

Como los sistemas anteriores son lineales, el procedimiento transcurre muy rápidamente hasta una solución de un solo paso. Además, cada posición final de nodo interior cumple el requisito de la media aritmética de coordenadas de los nodos que lo rodean y también cumple los criterios de Delaunay . Por lo tanto, el SGM tiene todos los valores positivos peculiares del laplaciano y otros tipos de enfoques de suavizado, pero mucho más fácil y confiable debido a la representación de matrices finales de valores enteros. Finalmente, el SGM descrito anteriormente es perfectamente aplicable no solo a mallas 2D sino también a mallas 3D que constan de cualquier celda uniforme, así como a mallas mixtas o transitorias.

Matemáticamente, la superficie incrustada en una curva cerrada no plana se denomina mínima si su área es mínima entre todas las superficies que pasan por esta curva. El ejemplo de superficie mínima más conocido es una película de jabón delimitada por un marco de alambre. Por lo general, para crear una superficie mínima, se utiliza una ley constitutiva ficticia, que mantiene una pretensión constante, independientemente de cualquier cambio en la deformación. ^[4] El enfoque aproximado alternativo para la solución del problema de la superficie mínima se basa en SGM. Esta formulación permite minimizar la superficie incrustada en contornos cerrados no planos y planos.

La idea es aproximar una parte de la superficie incrustada en un contorno no plano 3D mediante una cuadrícula de triángulos arbitraria. Para que dicha cuadrícula de triángulos converja en una cuadrícula con un área mínima, se deben resolver los mismos dos sistemas descritos anteriormente. Los incrementos de las terceras coordenadas nodales se pueden determinar adicionalmente mediante un sistema similar en el eje 3 de la siguiente manera

${\displaystyle [\A]\{\Delta X_{3}\}=\{\B_{3}\}}$

Resolviendo los tres sistemas simultáneamente se puede obtener una nueva cuadrícula que será la superficie mínima aproximada incrustada en una curva cerrada no plana debido al mínimo de la función donde el parámetro . ${\estilo de visualización \ \Pi }$${\estilo de visualización \ j=1,2,3}$

Como ejemplo, la superficie de un catenoide que se calcula mediante el método descrito anteriormente se presenta en la figura 3. Los radios de los anillos y la altura del catenoide son iguales a 1,0. El área numérica de la superficie catenoide determinada por SGM es igual a 2,9967189 (el valor exacto es 2,992).

Para el análisis estructural, la configuración de la estructura se conoce generalmente a priori. Este no es el caso de las estructuras tensadas , como las estructuras de tejido tensado . Dado que la membrana en una estructura tensada no posee rigidez a la flexión, su forma o configuración depende del pretensado inicial y de las cargas a las que está sometida. Por lo tanto, el comportamiento de carga y la forma de la membrana no se pueden separar y no se pueden describir en general solo mediante modelos geométricos simples. La forma de la membrana, las cargas sobre la estructura y las tensiones internas interactúan de manera no lineal para satisfacer las ecuaciones de equilibrio.

El diseño preliminar de estructuras de tensión implica la determinación de una configuración inicial denominada búsqueda de forma. Además de satisfacer las condiciones de equilibrio, la configuración inicial debe satisfacer los requisitos arquitectónicos (estética) y estructurales (resistencia y estabilidad). Además, se deben cumplir los requisitos de espacio y holgura, las tensiones principales de la membrana deben ser de tracción para evitar arrugas y los radios de la superficie de doble curvatura deben ser lo suficientemente pequeños para resistir cargas fuera del plano y asegurar la estabilidad estructural (trabajo ^[5] ). Se han desarrollado varias variaciones en los enfoques de búsqueda de forma basados ​​en FEM para ayudar a los ingenieros en el diseño de estructuras de tejido tensado. Todos ellos se basan en el mismo supuesto que se utiliza para analizar el comportamiento de las estructuras de tensión bajo diversas cargas. Sin embargo, como señalan algunos investigadores, a veces puede ser preferible utilizar las denominadas " superficies mínimas " en el diseño de estructuras de tensión.

El significado físico de SGM consiste en la convergencia de la energía de una estructura de rejilla arbitraria incrustada en un contorno 3D rígido (o elástico) a un mínimo que es equivalente a la suma mínima de las distancias entre pares arbitrarios de nodos de la rejilla. Permite la solución del problema de energía superficial mínima sustituyendo el hallazgo del mínimo de energía de la estructura de la rejilla, que proporciona un sistema de ecuaciones algebraicas final mucho más simple que la formulación FEM habitual. La formulación generalizada de SGM presupone la posibilidad de aplicar un conjunto de fuerzas externas y restricciones rígidas o elásticas a los nodos de la estructura de la rejilla que permiten el modelado de varios efectos externos. Podemos obtener la siguiente expresión para dicha formulación SGM

${\displaystyle \Pi =\suma _{j=1}^{n}D_{j}R_{j}^{2}+\suma _{i=1}^{3}\left(\suma _{k=1}^{m}C_{ik}\Delta X_{ik}^{2}-\suma _{k=1}^{m}P_{ik}\Delta X_{ik}\right)}$

dónde

• ${\estilo de visualización \ n}$- número total de segmentos de la cuadrícula,
• ${\estilo de visualización \ m}$- número total de nodos,
• ${\estilo de visualización \ R_{j}}$ - longitud del número de segmento ,${\estilo de visualización \ j}$
• ${\displaystyle \ D_{j}}$- rigidez del segmento número ,${\estilo de visualización \ j}$
• ${\displaystyle \ \Delta X_{ik}}$- incremento de coordenadas del nodo en el eje ,${\estilo de visualización \ k}$${\estilo de visualización \ i}$
• ${\displaystyle \ C_{ik}}$- rigidez de una restricción elástica en el nodo en el eje ,${\estilo de visualización \ k}$${\estilo de visualización \ i}$
• ${\displaystyle \ P_{ik}}$- fuerza externa en el nodo en el eje .${\estilo de visualización \ k}$${\estilo de visualización \ i}$

Una vez que se ha encontrado una forma satisfactoria, se puede generar un patrón de corte. Las estructuras de tensión varían mucho en cuanto a tamaño, curvatura y rigidez del material. La aproximación del patrón de corte está estrechamente relacionada con cada uno de estos factores. Es esencial que un método de generación de patrones de corte minimice la posible aproximación y produzca datos fiables de la tela plana.

El objetivo es desarrollar las formas descritas por estos datos, lo más cerca posible de las tiras doblemente curvadas ideales. En general, la generación de patrones de corte implica dos pasos. Primero, la superficie global de una estructura de tensión se divide en telas individuales. El patrón de corte correspondiente en el segundo paso se puede encontrar simplemente tomando cada tira de tela y desplegándola en un área plana. En el caso de la superficie de membrana doblemente curvada ideal, la subsuperficie no se puede desplegar simplemente y deben aplanarse. Por ejemplo, en ^{[6] [7]} se ha utilizado SGM para la solución del problema de aplanamiento.

El problema de generación de patrones de corte se subdivide en realidad en dos formulaciones independientes. Éstas son la generación de una forma plana sin distorsión que despliega cada tira de tela y el aplanamiento de superficies de doble curvatura que no se pueden desplegar simplemente. Al estudiar el problema con atención, se puede notar que, desde la posición de la geometría diferencial, ambas formulaciones son iguales. Podemos considerarlo como una aplicación isométrica de una superficie sobre el área del plano que será una aplicación conforme y una aplicación equiárea simultáneamente debido a los ángulos invariantes entre las curvas y la invariancia de cualquier parte del área. En el caso de una superficie de una sola curva que se puede desplegar con precisión, la aplicación equiárea permite obtener un patrón de corte para la estructura de la tela sin ninguna distorsión. El segundo tipo de superficies se puede aplicar de manera equiárea solo de manera aproximada con algunas distorsiones de los elementos de la superficie lineal limitadas por las propiedades de la tela. Supongamos que dos superficies están parametrizadas de modo que sus primeras formas cuadráticas se pueden escribir de la siguiente manera:

${\displaystyle I_{1}=E_{1}(u,v)\operatorname {d} u^{2}+2F_{1}(u,v)\operatorname {d} u\operatorname {d} v+ G_ {1}(u,v)\operatorname {d} v^{2}}$

${\displaystyle I_{2}=E_{2}(u,v)\operatorname {d} u^{2}+2F_{2}(u,v)\operatorname {d} u\operatorname {d} v+G_{2}(u,v)\operatorname {d} v^{2}}$

La condición de mapeo conforme para dos superficies tal como se formula en geometría diferencial requiere que

${\displaystyle {\sqrt {I_{2}}}=\lambda {\sqrt {I_{1}}}}$

donde es la relación de la distorsión de la superficie debida al mapeo conforme. ${\displaystyle \ \lambda }$

Se sabe que la primera forma cuadrática refleja la distancia entre dos puntos de la superficie y . Cuando la razón es cercana a 1, la ecuación anterior converge a la condición de mapeo isométrico y al mapeo equiáreo respectivamente debido a los ángulos invariantes entre cualquier curva y la invariancia de cualquier parte del área. Recordando que la primera etapa de búsqueda de la forma se basa en la malla triangular de una superficie y utilizando el método de residuos ponderados para la descripción del mapeo isométrico y equiáreo de la superficie mínima sobre un área plana, podemos escribir la siguiente función que se define por la suma de integrales a lo largo de segmentos de triángulos curvos ${\displaystyle \ (u,v)}$${\displaystyle \ (u+\operatorname {d} u,v+\operatorname {d} v)}$${\displaystyle \ \lambda }$

${\displaystyle \Pi =D\sum _{j=1}^{n}\oint _{S_{j}}w_{j}\left(\lambda {\sqrt {I_{1}}}-{\sqrt {I_{2}}}\right)^{2}\operatorname {d} s}$

dónde

• ${\displaystyle \ n}$- número total de celdas de la cuadrícula,
• ${\displaystyle \ w_{j}}$- relaciones de peso,
• ${\displaystyle \ \Pi }$ - el residuo total del mapeo,
• ${\displaystyle \ D}$- la constante que no influye en el resultado final y puede utilizarse como relación de escala.

Considerando otras relaciones de peso , podemos transformar la ecuación en una suma finita aproximada que es una combinación de distancias lineales entre los nodos de la cuadrícula de superficie y escribir la condición básica del mapeo de superficie equiárea como un mínimo de la siguiente función no lineal ${\displaystyle \ w_{j}=1}$

${\displaystyle \Pi =D\sum _{j=1}^{n}\oint _{S_{j}}w_{j}\left(\lambda R_{j}-L_{j}\right)^{2}\operatorname {d} s}$

dónde

• ${\displaystyle \ R_{j}}$- longitud inicial del segmento lineal número ,${\displaystyle \ j}$
• ${\displaystyle \ L_{j}}$- longitud final del segmento número ,${\displaystyle \ j}$
• ${\displaystyle \ \lambda }$- relación de distorsión cercana a 1 y puede ser diferente para cada segmento.

Las longitudes inicial y final del número de segmento se pueden expresar como de costumbre mediante dos coordenadas nodales como ${\displaystyle \ j}$

${\displaystyle R={\sqrt {(X_{12}-X_{11})^{2}+(X_{22}-X_{21})^{2}+(X_{32}-X_{31})^{2}}}}$

${\displaystyle L={\sqrt {(x_{12}-x_{11})^{2}+(x_{22}-x_{21})^{2}}}}$

dónde

• ${\displaystyle \ X_{ik}}$- coordenadas de los nodos del segmento inicial,
• ${\displaystyle \ x_{ik}}$- coordenadas de los nodos del segmento final.

De acuerdo con la suposición inicial, podemos escribir para la aplicación de superficies planas. La expresión para vectores y con incrementos de coordenadas puede escribirse como ${\displaystyle \ x_{32}=x_{31}=0}$${\displaystyle \{\ x\}}$${\displaystyle \{\ X\}}$

${\displaystyle \{\ x\}=\{\ X\}+\{\Delta \ X\}}$

La definición del vector se realiza como anteriormente ${\displaystyle \{\Delta \ X\}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \Pi }{\partial \Delta X_{kl}}}=0}$

Después de las transformaciones podemos escribir los siguientes dos sistemas independientes de ecuaciones algebraicas no lineales

${\displaystyle [\ A]\{\Delta X_{1}\}=\{\ B_{1}\}+\{\Delta P_{1}\}}$

${\displaystyle [\ A]\{\Delta X_{2}\}=\{\ B_{2}\}+\{\Delta P_{2}\}}$

donde todas las partes del sistema se pueden expresar como anteriormente y y son vectores de pseudo-tensiones en los ejes 1, 2 que tiene la siguiente forma ${\displaystyle \{\ \Delta P_{1}\}}$${\displaystyle \{\ \Delta P_{2}\}}$

${\displaystyle \{\Delta P_{lt}\}=-\left\{\sum _{j=1}^{N}\lambda {\frac {R_{m}}{L_{m}}}(x_{lm}-x_{lt})\right\}}$

dónde

• ${\displaystyle \ N}$- número total de nodos que rodean al nodo número ,${\displaystyle \ t}$
• ${\displaystyle \ l}$- el número de ejes globales.

El enfoque anterior es otra forma de SGM y permite la obtención de dos sistemas independientes de ecuaciones algebraicas no lineales que pueden resolverse mediante cualquier procedimiento de iteración estándar. Cuanto menor sea la curvatura gaussiana de la superficie, mayor será la precisión del mapeo del plano. Como regla, el mapeo del plano permite obtener un patrón con dimensiones lineales entre un 1 y un 2 % menores que las líneas espaciales correspondientes de una superficie final. Por eso es necesario proporcionar los márgenes adecuados al crear el patrón.

La muestra típica de un recorte, también llamado trocito, trozo (segmento) o parche, se presenta en las figuras 9, 10 y 11.

• Generación de malla
• Tipos de malla

• Sistema K3-Tent para la búsqueda de formas y el corte de estructuras de tejido tensado
• Corporación Kubantent