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Isometría

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Una composición de dos isometrías opuestas es una isometría directa. Una reflexión respecto a una línea es una isometría opuesta, como R 1 (reflexión respecto a la diagonal central) o R 2 (reflexión respecto a la diagonal derecha) en la imagen. La traslación T es una isometría directa: un movimiento rígido . [ 1 ]

En matemáticas, una isometría (o congruencia , o transformación congruente ) es una transformación que conserva la distancia entre espacios métricos , generalmente considerada biyectiva . [ a ] La palabra isometría deriva del griego antiguo : ἴσος isos, que significa "igual", y μέτρον metron, que significa "medida". Si la transformación es de un espacio métrico a sí mismo, es un tipo de transformación geométrica conocida como movimiento .

Introducción

Dado un espacio métrico (en términos generales, un conjunto y un esquema para asignar distancias entre los elementos del conjunto), una isometría es una transformación que asigna elementos al mismo espacio métrico o a otro, de manera que la distancia entre los elementos de la imagen en el nuevo espacio métrico sea igual a la distancia entre los elementos en el espacio métrico original. En un espacio euclidiano bidimensional o tridimensional , dos figuras geométricas son congruentes si están relacionadas por una isometría; [ b ] la isometría que las relaciona es un movimiento rígido (traslación o rotación) o una composición de un movimiento rígido y una reflexión .

Las isometrías se utilizan a menudo en construcciones donde un espacio está incrustado en otro. Por ejemplo, la completación de un espacio métrico implica una isometría de en un conjunto cociente del espacio de sucesiones de Cauchy en El espacio original es, por lo tanto, isométricamente isomorfo a un subespacio de un espacio métrico completo , y generalmente se identifica con este subespacio. Otras construcciones de incrustación muestran que todo espacio métrico es isométricamente isomorfo a un subconjunto cerrado de algún espacio vectorial normado y que todo espacio métrico completo es isométricamente isomorfo a un subconjunto cerrado de algún espacio de Banach .METRO{\displaystyle M}METRO{\displaystyle M}METRO′,{\displaystyle M',}METRO.{\displaystyle M.}METRO{\displaystyle M}

Un operador lineal sobreyectivo isométrico en un espacio de Hilbert se denomina operador unitario .

Definición

Sean y espacios métricos con métricas (por ejemplo, distancias) y Una aplicación se denomina aplicación isométrica o que preserva la distancia si para cualquier ,incógnita{\displaystyle X}Y{\displaystyle Y}dincógnita{\textstyle d_{X}}dY.{\textstyle d_{Y}.}F:incógnita→Y{\textstyle f\colon X\to Y}a,b∈incógnita{\displaystyle a,b\in X}

dincógnita(a,b)=dY(F(a),F(b)).{\displaystyle d_{X}(a,b)=d_{Y}\!\left(f(a),f(b)\right).}[ 4 ] [ c ]

Una isometría es automáticamente inyectiva ; [ a ] de lo contrario, dos puntos distintos, a y b , podrían mapearse al mismo punto, contradiciendo así el axioma de coincidencia de la métrica d , es decir, si y solo si . Esta demostración es similar a la demostración de que una incrustación de orden entre conjuntos parcialmente ordenados es inyectiva. Claramente, toda isometría entre espacios métricos es una incrustación topológica .d(a,b)=0{\displaystyle d(a,b)=0}a=b{\displaystyle a=b}

Una isometría global , un isomorfismo isométrico o una aplicación de congruencia es una isometría biyectiva . Al igual que cualquier otra biyección, una isometría global tiene una función inversa . La inversa de una isometría global también es una isometría global.

Dos espacios métricos X e Y se denominan isométricos si existe una isometría biyectiva de X a Y. El conjunto de isometrías biyectivas de un espacio métrico a sí mismo forma un grupo con respecto a la composición de funciones , llamado grupo de isometrías .

También existe la noción más débil de isometría de trayectoria o isometría de arco :

Una isometría de trayectoria o isometría de arco es una aplicación que conserva las longitudes de las curvas ; dicha aplicación no es necesariamente una isometría en el sentido de que conserva la distancia, y no tiene por qué ser necesariamente biyectiva, ni siquiera inyectiva. [ 5 ] [ 6 ] Este término se abrevia a menudo simplemente como isometría , por lo que conviene tener cuidado de determinar, a partir del contexto, a qué tipo se refiere.

Ejemplos

Isometrías entre espacios normalizados

El siguiente teorema se debe a Mazur y Ulam.

Definición : [ 7 ] El punto medio de dos elementos x e y en un espacio vectorial es el vector ⁠1/2( x + y ).​

Teorema [ 7 ] [ 8 ] — Sea A  : X → Y una isometría sobreyectiva entre espacios normados que mapea 0 a 0 ( Stefan Banach llamó a tales mapeos rotaciones ) donde nótese que no se asume que A sea una isometría lineal . Entonces A mapea puntos medios a puntos medios y es lineal como un mapeo sobre los números reales . Si X e Y son espacios vectoriales complejos, entonces A puede no ser lineal como un mapeo sobre .R{\displaystyle \mathbb {R} }do{\displaystyle \mathbb {C} }

Isometría lineal

Dados dos espacios vectoriales normados y una isometría lineal, existe una aplicación lineal que preserva las normas:V{\displaystyle V}W,{\displaystyle W,}A:V→W{\displaystyle A:V\to W}

‖Av‖W=‖v‖V{\displaystyle \|Av\|_{W}=\|v\|_{V}}

para todos [ 9 ] Las isometrías lineales son aplicaciones que preservan la distancia en el sentido anterior. Son isometrías globales si y solo si son sobreyectivas .v∈V.{\displaystyle v\in V.}

En un espacio de producto interno , la definición anterior se reduce a

⟨v,v⟩V=⟨Av,Av⟩W{\displaystyle \langle v,v\rangle _{V}=\langle Av,Av\rangle _{W}}

para todo lo cual es equivalente a decir que Esto también implica que las isometrías preservan los productos internos, comov∈V,{\displaystyle v\in V,}A†A=IdV.{\displaystyle A^{\dagger }A=\operatorname {Id} _{V}.}

⟨Au,Av⟩W=⟨u,A†Av⟩V=⟨u,v⟩V{\displaystyle \langle Au,Av\rangle _{W}=\langle u,A^{\dagger }Av\rangle _{V}=\langle u,v\rangle _{V}}.

Sin embargo, las isometrías lineales no siempre son operadores unitarios , ya que requieren además que y (es decir, que el dominio y el codominio coincidan y definan una coisometría ).V=W{\displaystyle V=W}AA†=IdV{\displaystyle AA^{\dagger }=\operatorname {Id} _{V}}A{\displaystyle A}

Según el teorema de Mazur-Ulam , cualquier isometría de espacios vectoriales normados sobre es afín .R{\displaystyle \mathbb {R} }

Una isometría lineal también conserva necesariamente los ángulos, por lo tanto, una transformación de isometría lineal es una transformación lineal conforme .

Ejemplos

Colector

Una isometría de una variedad es cualquier aplicación (suave) de esa variedad en sí misma o en otra variedad que preserve la noción de distancia entre puntos. La definición de isometría requiere la noción de métrica en la variedad; una variedad con una métrica (positiva definida) es una variedad riemanniana , y una con una métrica indefinida es una variedad pseudoriemanniana . Por lo tanto, las isometrías se estudian en la geometría riemanniana .

Una isometría local de una variedad ( pseudo ) riemanniana a otra es una aplicación que transforma el tensor métrico de la segunda variedad en el tensor métrico de la primera. Cuando dicha aplicación es también un difeomorfismo , se denomina isometría (o isomorfismo isométrico ) y proporciona una noción de isomorfismo ("igualdad") en la categoría Rm de variedades riemannianas.

Definición

Sean y dos variedades (pseudo)riemannianas, y sea un difeomorfismo . Entonces se denomina isometría (o isomorfismo isométrico ) siR=(M,g){\displaystyle R=(M,g)}R′=(M′,g′){\displaystyle R'=(M',g')}f:R→R′{\displaystyle f:R\to R'}f{\displaystyle f}

g=f∗g′,{\displaystyle g=f^{*}g',}

donde denota el retroceso del tensor métrico de rango (0, 2) por . Equivalentemente, en términos del avance tenemos que para cualesquiera dos campos vectoriales en (es decir, secciones del fibrado tangente ),f∗g′{\displaystyle f^{*}g'}g′{\displaystyle g'}f{\displaystyle f}f∗,{\displaystyle f_{*},}v,w{\displaystyle v,w}M{\displaystyle M}TM{\displaystyle \mathrm {T} M}

g(v,w)=g′(f∗v,f∗w).{\displaystyle g(v,w)=g'\left(f_{*}v,f_{*}w\right).}

Si es un difeomorfismo local tal que entonces se denomina isometría local .f{\displaystyle f}g=f∗g′,{\displaystyle g=f^{*}g',}f{\displaystyle f}

Propiedades

Un conjunto de isometrías normalmente forma un grupo, el grupo de isometrías . Cuando el grupo es un grupo continuo , los generadores infinitesimales del grupo son los campos vectoriales de Killing .

El teorema de Myers-Steenrod establece que toda isometría entre dos variedades riemannianas conexas es lisa (diferenciable). Una segunda forma de este teorema establece que el grupo de isometrías de una variedad riemanniana es un grupo de Lie .

Los espacios simétricos son ejemplos importantes de variedades riemannianas que tienen isometrías definidas en cada punto.

Generalizaciones

  • Dado un número real positivo ε, una ε-isometría o casi isometría (también llamada aproximación de Hausdorff ) es una aplicación entre espacios métricos tal que f:X→Y{\displaystyle f\colon X\to Y}
    1. porque uno tiene yx,x′∈X{\displaystyle x,x'\in X}|dY(f(x),f(x′))−dX(x,x′)|<ε,{\displaystyle |d_{Y}(f(x),f(x'))-d_{X}(x,x')|<\varepsilon ,}
    2. para cualquier punto existe un punto cony∈Y{\displaystyle y\in Y}x∈X{\displaystyle x\in X}dY(y,f(x))<ε{\displaystyle d_{Y}(y,f(x))<\varepsilon }
Es decir, una ε -isometría conserva las distancias dentro de ε y no deja ningún elemento del codominio más allá de ε de la imagen de un elemento del dominio. Nótese que no se asume que las ε -isometrías sean continuas .
  • La propiedad de isometría restringida caracteriza a las matrices casi isométricas para vectores dispersos.
  • La cuasi-isometría es otra generalización útil.
  • También se puede definir un elemento en un álgebra C*-unitaria abstracta como una isometría:
    a∈A{\displaystyle a\in {\mathfrak {A}}}es una isometría si y solo sia∗⋅a=1.{\displaystyle a^{*}\cdot a=1.}
Tenga en cuenta que, como se mencionó en la introducción, esto no es necesariamente un elemento unitario porque, en general, no se tiene que el inverso izquierdo sea un inverso derecho.

Véase también

Notas a pie de página

  1. 1 2 "Nos resultará conveniente utilizar la palabra transformación en el sentido especial de una correspondencia uno a unoentre todos los puntos del plano (o del espacio), es decir, una regla para asociar pares de puntos, entendiendo que cada par tiene un primer miembro P y un segundo miembro P' y que cada punto aparece como el primer miembro de un solo par y también como el segundo miembro de un solo par...P→P′{\displaystyle P\to P'}
    En particular, una isometría (o "transformación congruente" o "congruencia") es una transformación que conserva la longitud  ... — Coxeter (1969) p.  29 [ 2 ]
  2. ↑

    3.11 Dos triángulos congruentes cualesquiera están relacionados por una isometría única. — Coxeter (1969) p.  39 [ 3 ]

  3. ↑ Sea T una transformación (posiblemente multivaluada) de() en sí mismo.Seala distancia entre los puntos p y q de, y sean Tp y Tq cualesquiera imágenes de p y q , respectivamente.Si existe una longitud a > 0 tal quesiempre que, entonces T es una transformación euclidiana deen sí mismo. [ 4 ]En{\displaystyle E^{n}}2≤n<∞{\displaystyle 2\leq n<\infty }d(p,q){\displaystyle d(p,q)}En{\displaystyle E^{n}}d(Tp,Tq)=a{\displaystyle d(Tp,Tq)=a}d(p,q)=a{\displaystyle d(p,q)=a}En{\displaystyle E^{n}}

Referencias

  1. ↑ Coxeter 1969 , pág. 46 

    3.51 Cualquier isometría directa es una traslación o una rotación. Cualquier isometría opuesta es una reflexión o una reflexión con deslizamiento.

  2. ↑ Coxeter 1969 , pág. 29
  3. ↑ Coxeter 1969 , pág. 39
  4. 1 2 Beckman, FS; Quarles, DA Jr. (1953). "Sobre isometrías de espacios euclidianos" (PDF) . Actas de la Sociedad Matemática Americana . 4 ( 5): 810– 815. doi : 10.2307/2032415 . JSTOR 2032415. MR 0058193 .  
  5. ↑ Le Donne, Enrico (2013-10-01). "Incrustaciones isométricas de Lipschitz y de caminos de espacios métricos" . Geometriae Dedicata . 166 (1): 47– 66. doi : 10.1007/s10711-012-9785-2 . ISSN 1572-9168 . 
  6. ^ Burago, Dmitri; Burago, Yurii; Ivanov, Sergeï (2001). "3 Construcciones, §3.5 Isometrías en arco". Un curso de geometría métrica . Estudios de Posgrado en Matemáticas. vol. 33. Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas (AMS). págs. 86-87 . ISBN   0-8218-2129-6.
  7. 1 2 Narici y Beckenstein 2011 , págs. 275–339.
  8. ↑ Wilansky 2013 , págs. 21–26.
  9. ^ Thomsen, Jesper Funch (2017). Álgebra lineal [ Álgebra lineal ] . Departamento de Matemáticas (en danés). Århus: Universidad de Aarhus. pag. 125. 
  10. ↑ Roweis, ST; Saul, LK (2000). "Reducción de dimensionalidad no lineal mediante incrustación lineal local". Science . 290 (5500): 2323– 2326. Bibcode : 2000Sci...290.2323R . CiteSeerX 10.1.1.111.3313 . doi : 10.1126/science.290.5500.2323 . PMID 11125150 .  
  11. ↑ Saul, Lawrence K.; Roweis, Sam T. (junio de 2003). "Piensa globalmente, ajústate localmente: aprendizaje no supervisado de variedades no lineales". Journal of Machine Learning Research . 4 (junio): 119–155 . Optimización cuadrática de (página 135) tal queM=(I−W)⊤(I−W){\displaystyle \mathbf {M} =(I-W)^{\top }(I-W)}M≡YY⊤{\displaystyle \mathbf {M} \equiv YY^{\top }}
  12. ↑ Zhang, Zhenyue; Zha, Hongyuan (2004). "Variedades principales y reducción de dimensión no lineal mediante alineación del espacio tangente local". SIAM Journal on Scientific Computing . 26 (1): 313– 338. CiteSeerX 10.1.1.211.9957 . doi : 10.1137/s1064827502419154 . 
  13. ↑ Zhang, Zhenyue; Wang, Jing (2006). "MLLE: Incrustación lineal local modificada mediante múltiples pesos" . En Schölkopf, B.; Platt, J.; Hoffman, T. (eds.). Avances en sistemas de procesamiento de información neuronal . NIPS 2006. Actas de NeurIPS. Vol. 19. pp. 1593–1600 . ISBN   9781622760381Puede recuperar la incrustación ideal si se aplica MLLE a puntos de datos muestreados de una variedad isométrica .

Bibliografía

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  • Lee, Jeffrey M. (2009). Variedades y geometría diferencial . Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4815-9.
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