Espacio métrico completo

En análisis matemático , un espacio métrico M se denomina completo (o espacio de Cauchy ) si toda sucesión de puntos de Cauchy en M tiene un límite que también está en M.

Intuitivamente, un espacio es completo si no hay "puntos faltantes" en él (ni dentro ni en el límite). Por ejemplo, el conjunto de los números racionales no es completo, porque, por ejemplo,${\displaystyle {\sqrt {2}}}$Está «ausente» en él, aunque se puede construir una sucesión de Cauchy de números racionales que converge a él (véanse más ejemplos a continuación). Siempre es posible «rellenar todos los huecos», completando así un espacio dado, como se explica más adelante.

secuencia de Cauchy

Una secuencia${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots }$de elementos de${\displaystyle X}$de un espacio métrico${\displaystyle (X,d)}$se llama Cauchy si para cada número real positivo${\displaystyle r>0}$hay un número entero positivo${\displaystyle N}$de tal manera que para todos los enteros positivos${\displaystyle m,n>N,}$$${\displaystyle d(x_{m},x_{n})<r.}$$

Espacio completo

Un espacio métrico${\displaystyle (X,d)}$Se considera completa si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Cada secuencia de Cauchy en${\displaystyle X}$converge en${\displaystyle X}$(es decir, tiene un límite que también está en${\displaystyle X}$).
2. Cada secuencia decreciente de subconjuntos cerrados no vacíos de${\displaystyle X,}$con diámetros que tienden a 0, tiene una intersección  no vacía : si${\displaystyle F_{n}}$está cerrado y no vacío,${\displaystyle F_{n+1}\subsetetoq F_{n}}$por cada${\displaystyle n,}$y${\displaystyle \operatorname {diam} \left(F_{n}\right)\to 0,}$entonces hay un punto único${\displaystyle x\in X}$común a todos los conjuntos${\displaystyle F_{n}.}$

El espacio${\displaystyle \mathbb {Q} }$de números racionales, con la métrica estándar dada por el valor absoluto de la diferencia , no es completa. Consideremos, por ejemplo, la sucesión definida por

${\displaystyle x_{1}=1\;}$y${\displaystyle \;x_{n+1}={\frac {x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}}}.}$

Esta es una sucesión de Cauchy de números racionales, pero no converge hacia ningún límite racional: Si la sucesión tuviera un límite${\displaystyle x,}$luego resolviendo${\displaystyle x={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{x}}}$necesariamente${\displaystyle x^{2}=2,}$Sin embargo, ningún número racional posee esta propiedad. No obstante, considerada como una sucesión de números reales , sí converge al número irracional.${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.

El intervalo abierto (0,1) , nuevamente con la métrica de diferencia absoluta, tampoco está completo. La secuencia definida por${\displaystyle x_{n}={\tfrac {1}{n}}}$es de Cauchy, pero no tiene límite en el espacio dado. Sin embargo, el intervalo cerrado [ 0,1 ] es completo; por ejemplo, la sucesión dada sí tiene límite en este intervalo, a saber, cero.

El espacio${\displaystyle \mathbb {R} }$de números reales y el espacio${\displaystyle \mathbb {C} }$Los conjuntos de números complejos (con la métrica dada por la diferencia absoluta) son completos, al igual que el espacio euclidiano.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, con la métrica de distancia habitual . En contraste, los espacios vectoriales normados de dimensión infinita pueden ser completos o no; aquellos que son completos son espacios de Banach . El espacio${\displaystyle C[a,b]}$El conjunto de funciones continuas de valor real en un intervalo cerrado y acotado es un espacio de Banach y, por lo tanto, un espacio métrico completo, con respecto a la norma del supremo . Sin embargo, la norma del supremo no proporciona una norma en el espacio.${\displaystyle C(a,b)}$de funciones continuas en${\displaystyle (a,b),}$porque puede contener funciones no acotadas . En cambio, con la topología de convergencia compacta ,${\displaystyle C(a,b)}$Se le puede dar la estructura de un espacio de Fréchet : un espacio vectorial topológico localmente convexo cuya topología puede ser inducida por una métrica completa invariante a la traslación .

El espacio${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$El conjunto de números p -ádicos es completo para cualquier número primo.${\displaystyle p.}$ Este espacio completa${\displaystyle \mathbb {Q} }$con la métrica p -ádica de la misma manera que${\displaystyle \mathbb {R} }$completa${\displaystyle \mathbb {Q} }$con la métrica habitual.

Si${\displaystyle S}$es un conjunto arbitrario, entonces el conjunto${\displaystyle S^{\mathbb {N} }}$de todas las secuencias en${\displaystyle S}$se convierte en un espacio métrico completo si definimos la distancia entre las secuencias${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$y${\displaystyle \left(y_{n}\right)}$ser${\displaystyle {\tfrac {1}{N}}}$dónde${\displaystyle N}$es el índice más pequeño para el cual${\displaystyle x_{N}}$es distinto de${\displaystyle y_{N}}$o${\displaystyle 0}$si no existe tal índice. Este espacio es homeomorfo al producto de un número contable de copias del espacio discreto.${\displaystyle S.}$

Las variedades riemannianas que son completas se denominan variedades geodésicas ; la completitud se deduce del teorema de Hopf-Rinow .

Todo espacio métrico compacto es completo, aunque los espacios completos no necesariamente son compactos. De hecho, un espacio métrico es compacto si y solo si es completo y totalmente acotado . Esta es una generalización del teorema de Heine-Borel , que establece que cualquier subespacio cerrado y acotado es compacto.${\displaystyle S}$de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$es compacto y por lo tanto completo. ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle (X,d)}$ser un espacio métrico completo. Si${\displaystyle A\subsetequ X}$es un conjunto cerrado, entonces${\displaystyle A}$También está completo. Deje${\displaystyle (X,d)}$sea ​​un espacio métrico. Si${\displaystyle A\subsetequ X}$es un subespacio completo, entonces${\displaystyle A}$También está cerrado.

Si${\displaystyle X}$es un conjunto y${\displaystyle M}$es un espacio métrico completo, entonces el conjunto${\displaystyle B(X,M)}$de todas las funciones acotadas${\displaystyle f}$de${\displaystyle X}$a${\displaystyle M}$es un espacio métrico completo. Aquí definimos la distancia en${\displaystyle B(X,M)}$en términos de la distancia en${\displaystyle M}$con la norma suprema$${\displaystyle d(f,g)\equiv \sup\{d[f(x),g(x)]:x\in X\}}$$

Si${\displaystyle X}$es un espacio topológico y${\displaystyle M}$es un espacio métrico completo, entonces el conjunto${\displaystyle C_{b}(X,M)}$que consta de todas las funciones continuas acotadas${\displaystyle f:X\to M}$es un subespacio cerrado de${\displaystyle B(X,M)}$y por lo tanto también completo.

El teorema de la categoría de Baire dice que todo espacio métrico completo es un espacio de Baire . Es decir, la unión de una cantidad numerable de subconjuntos no densos en ninguna parte del espacio tiene interior vacío .

El teorema del punto fijo de Banach establece que una aplicación contractiva en un espacio métrico completo admite un punto fijo . Este teorema se utiliza frecuentemente para demostrar el teorema de la función inversa en espacios métricos completos, como los espacios de Banach.

Para cualquier espacio métrico${\displaystyle M,}$es posible construir un espacio métrico completo${\displaystyle M'}$(que también se denota como${\displaystyle {\overline {M}}}$), que contiene${\displaystyle M}$como un subespacio denso . Tiene la siguiente propiedad universal : si${\displaystyle N}$es cualquier espacio métrico completo y${\displaystyle f}$es cualquier función uniformemente continua de${\displaystyle M}$a${\displaystyle N,}$entonces existe una única función uniformemente continua${\displaystyle f'}$de${\displaystyle M'}$a${\displaystyle N}$que se extiende${\displaystyle f.}$ El espacio${\displaystyle M'}$está determinado hasta la isometría por esta propiedad (entre todos los espacios métricos completos que contienen isométricamente)${\displaystyle M}$), y se llama la finalización de${\displaystyle M.}$

La finalización de${\displaystyle M}$puede construirse como un conjunto de clases de equivalencia de secuencias de Cauchy en${\displaystyle M.}$Para cualesquiera dos secuencias de Cauchy${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)}$y${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{n}\right)}$en${\displaystyle M,}$podemos definir su distancia como $${\displaystyle d\left(x_{\bullet },y_{\bullet }\right)=\lim _{n}d\left(x_{n},y_{n}\right)}$$

(Este límite existe porque los números reales son completos). Esto es solo una pseudométrica , todavía no una métrica, ya que dos secuencias de Cauchy diferentes pueden tener distancia 0. Pero "tener distancia 0" es una relación de equivalencia en el conjunto de todas las secuencias de Cauchy, y el conjunto de clases de equivalencia es un espacio métrico, la completitud de${\displaystyle M.}$ El espacio original está incrustado en este espacio a través de la identificación de un elemento.${\displaystyle x}$de${\displaystyle M'}$con la clase de equivalencia de secuencias en${\displaystyle M}$convergiendo a${\displaystyle x}$(es decir, la clase de equivalencia que contiene la secuencia con valor constante${\displaystyle x}$Esto define una isometría sobre un subespacio denso, como se requiere. Sin embargo, cabe destacar que esta construcción utiliza explícitamente la completitud de los números reales, por lo que la completitud de los números racionales requiere un tratamiento ligeramente diferente.

La construcción de los números reales de Cantor es similar a la construcción anterior; los números reales son la completación de los números racionales utilizando el valor absoluto ordinario para medir distancias. La sutileza adicional a considerar es que no es lógicamente permisible usar la completitud de los números reales en su propia construcción. Sin embargo, las clases de equivalencia de las sucesiones de Cauchy se definen como se indicó anteriormente, y se demuestra fácilmente que el conjunto de clases de equivalencia es un cuerpo que tiene a los números racionales como subcuerpo . Este cuerpo es completo, admite un orden total natural y es el único cuerpo completo totalmente ordenado (salvo isomorfismo ). Se define como el cuerpo de los números reales (véase también Construcción de los números reales para más detalles). Una forma de visualizar esta identificación con los números reales, tal como se suele ver, es que la clase de equivalencia que consiste en aquellas sucesiones de Cauchy de números racionales que "deberían" tener un límite real dado se identifica con ese número real. Las truncaciones de la expansión decimal dan solo una opción de sucesión de Cauchy en la clase de equivalencia relevante.

Para un principiante${\displaystyle p,}$Los números p -ádicos surgen al completar los números racionales con respecto a una métrica diferente.

Si el procedimiento de completación anterior se aplica a un espacio vectorial normado, el resultado es un espacio de Banach que contiene el espacio original como un subespacio denso, y si se aplica a un espacio con producto interno , el resultado es un espacio de Hilbert que contiene el espacio original como un subespacio denso.

La completitud es una propiedad de la métrica y no de la topología , lo que significa que un espacio métrico completo puede ser homeomorfo a uno incompleto. Un ejemplo lo constituyen los números reales, que son completos pero homeomorfos al intervalo abierto (0,1) , que no es completo.

En topología, se consideran espacios completamente metrizables , es decir, espacios para los que existe al menos una métrica completa que induce la topología dada. Los espacios completamente metrizables se caracterizan por ser aquellos que pueden escribirse como la intersección de un número numerable de subconjuntos abiertos de algún espacio métrico completo. Dado que la conclusión del teorema de la categoría de Baire es puramente topológica, también se aplica a estos espacios.

Los espacios completamente metrizables suelen denominarse topológicamente completos . Sin embargo, este último término es algo arbitrario, ya que la métrica no es la estructura más general en un espacio topológico para la cual se puede hablar de completitud (véase la sección Alternativas y generalizaciones ). De hecho, algunos autores utilizan el término topológicamente completo para una clase más amplia de espacios topológicos: los espacios completamente uniformizables . ^{[ 3 ]}

Un espacio topológico homeomorfo a un espacio métrico completo separable se llama espacio polaco .

Dado que las secuencias de Cauchy también pueden definirse en grupos topológicos generales , una alternativa a depender de una estructura métrica para definir la completitud y construir la completitud de un espacio es utilizar una estructura de grupo. Esto se ve con mayor frecuencia en el contexto de los espacios vectoriales topológicos , pero solo requiere la existencia de una operación de "sustracción" continua. En este contexto, la distancia entre dos puntos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$no se mide por un número real${\displaystyle \varepsilon }$a través de la métrica${\displaystyle d}$en la comparación${\displaystyle d(x,y)<\varepsilon ,}$pero por un barrio abierto${\displaystyle N}$de${\displaystyle 0}$mediante la resta en la comparación${\displaystyle x-y\in N.}$

Una generalización común de estas definiciones se puede encontrar en el contexto de un espacio uniforme , donde un entorno es un conjunto de todos los pares de puntos que no están a más de una "distancia" particular entre sí.

También es posible reemplazar las secuencias de Cauchy en la definición de completitud por redes de Cauchy o filtros de Cauchy . Si cada red de Cauchy (o equivalentemente cada filtro de Cauchy) tiene un límite en${\displaystyle X,}$entonces${\displaystyle X}$Se denomina completitud. Además, se puede construir una completitud para un espacio uniforme arbitrario, similar a la completitud de los espacios métricos. La situación más general en la que se aplican las redes de Cauchy son los espacios de Cauchy ; estos también poseen una noción de completitud, al igual que los espacios uniformes.

• Espacio de Cauchy : concepto en topología y análisis general. 
• Completación (álgebra) – En álgebra, completación con respecto a potencias de un ideal Páginas que muestran descripciones breves de objetivos de redirección 
• Espacio uniforme completo : espacio topológico con una noción de propiedades uniformes. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redirección. 
• Espacio vectorial topológico completo : estructura en el análisis funcional 
• El principio variacional de Ekeland
• Teorema de Knaster-Tarski : Teorema en teoría del orden y de retículos. 
• Completitud esférica

• Kelley, John L. (1975). Topología general . Springer. ISBN 0-387-90125-6.
• Kreyszig, Erwin , Análisis funcional introductorio con aplicaciones (Wiley, Nueva York, 1978). ISBN 0-471-03729-X
• Lang, Serge , "Análisis real y funcional" ISBN 0-387-94001-4
• Meise, Reinhold; Vogt, Dietmar (1997). Introducción al análisis funcional . Ramanujan, MS (trad.). Oxford: Clarendon Press; Nueva York: Oxford University Press. ISBN 0-19-851485-9.