Teorema de la función inversa

El teorema de la función inversa no se suele enunciar por separado para una variable, porque existe un resultado más fuerte: si una función de valor real de una sola variable real tiene una derivada distinta de cero en un intervalo, entonces la función tiene una inversa en todo el intervalo. Más precisamente, supongamos que${\displaystyle f}$es una función diferenciable de valor real en un intervalo abierto${\displaystyle I}$, y${\displaystyle f'}$es distinto de cero en todo momento${\displaystyle I}$. Luego la imagen del intervalo${\displaystyle I}$es otro intervalo${\displaystyle J}$,${\displaystyle f:I\to J}$es una biyección y tiene una función inversa diferenciable.${\displaystyle f^{-1}:J\to I}$Este teorema es cierto porque el hecho de que la derivada no sea nula implica que debe tener un solo signo (positivo o negativo), y por lo tanto la función debe ser estrictamente monótona y, en consecuencia, inyectiva. ^{[ 1 ]}

El teorema de la función inversa es un enunciado local más débil . El enunciado del teorema de la función inversa es, en términos generales, que si una función de valor real${\displaystyle f}$una sola variable real tiene derivada continua en un intervalo abierto${\displaystyle I}$, entonces es localmente invertible cerca de cada punto donde su derivada es distinta de cero. Más precisamente, alrededor de cualquier punto${\displaystyle x}$en${\displaystyle I}$dónde${\displaystyle f'(x)\neq 0}$, hay un intervalo más pequeño${\displaystyle I'}$sobre la cual la función${\displaystyle f}$es uno a uno y la imagen del intervalo${\displaystyle I'}$bajo${\displaystyle f}$También es un intervalo abierto${\displaystyle J'}$. De este modo${\displaystyle f}$mapas el intervalo${\displaystyle I'}$biyectivamente sobre el intervalo${\displaystyle J'}$El teorema de la función inversa en esta forma se deduce inmediatamente del resultado global más fuerte, al restringir el intervalo${\displaystyle I}$a un intervalo más pequeño${\displaystyle I'}$alrededor${\displaystyle x}$en la que la derivada es distinta de cero en todo momento. ^{[ 2 ]}

Cuando${\displaystyle f}$es continuamente diferenciable, la función inversa${\displaystyle f^{-1}:J'\to I'}$También es continuamente diferenciable, y su derivada en cualquier punto${\displaystyle y}$en el intervalo${\displaystyle J'}$viene dada por la regla de la función inversa : $${\displaystyle {\frac {d}{dy}}f^{-1}(y)={\frac {1}{f'(f^{-1}(y))}}.}$$

Que la derivada sea distinta de cero en un punto es una condición suficiente para que la función tenga una inversa local, pero no es necesaria. Una función${\displaystyle f}$puede ser inyectable cerca de un punto${\displaystyle a}$mientras${\displaystyle f'(a)=0}$Un ejemplo es${\displaystyle f(x)=(xa)^{3}}$. Pero, para tal función, la inversa no puede ser diferenciable en${\displaystyle b=f(a)}$, puesto que si${\displaystyle f^{-1}}$eran diferenciables en${\displaystyle b}$, entonces, por la regla de la cadena,${\displaystyle 1=(f^{-1}\circ f)'(a)=(f^{-1})'(b)f'(a)}$, lo cual implica${\displaystyle f'(a)\neq 0}$(La situación es diferente para las funciones holomorfas; véase el teorema de la función inversa holomorfa más adelante).

Para funciones de más de una variable, el teorema establece que si${\displaystyle f}$es una función continuamente diferenciable de un subconjunto abierto${\displaystyle A}$de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$y el derivado${\displaystyle f'(a)}$es invertible en un punto a (es decir, el determinante de la matriz jacobiana de f en a es distinto de cero), entonces existen entornos abiertos${\displaystyle U}$de${\displaystyle a}$en${\displaystyle A}$y${\displaystyle V}$de${\displaystyle b=f(a)}$de tal manera que${\displaystyle f(U)=V}$y${\displaystyle f:U\to V}$es biyectivo. ^{[ 3 ]} Escritura${\displaystyle f=(f_{1},\ldots ,f_{n})}$, esto significa que el sistema de n ecuaciones${\displaystyle y_{i}=f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})}$tiene una solución única para${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$en términos de${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}$cuando${\displaystyle x\in U,y\in V}$. Nótese que, a diferencia del caso de una sola variable, el teorema no dice${\displaystyle f}$es biyectiva sobre la imagen donde${\displaystyle f'}$es invertible pero es localmente biyectivo donde${\displaystyle f'}$es invertible.

Además, el teorema dice que la función inversa${\displaystyle f^{-1}:V\to U}$es continuamente diferenciable, y su derivada en${\displaystyle b=f(a)}$es el mapa inverso de${\displaystyle f'(a)}$; es decir,

${\displaystyle (f^{-1})'(b)=f'(a)^{-1}.}$

En otras palabras, si${\displaystyle Jf^{-1}(b),Jf(a)}$son las matrices jacobianas que representan${\displaystyle (f^{-1})'(b),f'(a)}$, esto significa:

${\displaystyle Jf^{-1}(b)=Jf(a)^{-1}.}$

La parte difícil de esta fórmula es la existencia y diferenciabilidad de${\displaystyle f^{-1}}$Suponiendo esto, la fórmula de la derivada inversa se deduce de la regla de la cadena aplicada a${\displaystyle f^{-1}\circ f=I}$. (En efecto,${\displaystyle 1=I'(a)=(f^{-1}\circ f)'(a)=(f^{-1})'(b)\circ f'(a).}$) Dado que tomar la inversa es infinitamente diferenciable, la fórmula para la derivada de la inversa muestra que si${\displaystyle f}$es continuamente${\displaystyle k}$veces diferenciable, con derivada invertible en el punto a , entonces la inversa también es continuamente${\displaystyle k}$tiempos diferenciables. Aquí${\displaystyle k}$es un número entero positivo o${\displaystyle \infty }$.

Existen dos variantes del teorema de la función inversa. ^{[ 3 ]} Dado un mapa continuamente diferenciable${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}}$, el primero es

• El derivado${\displaystyle f'(a)}$es sobreyectiva (es decir, la matriz jacobiana que la representa tiene rango${\displaystyle m}$) si y solo si existe una función continuamente diferenciable${\displaystyle g}$en un vecindario${\displaystyle V}$de${\displaystyle b=f(a)}$de tal manera que${\displaystyle f\circ g=I}$cerca${\displaystyle b}$,

y el segundo es

• El derivado${\displaystyle f'(a)}$es inyectiva si y solo si existe una función continuamente diferenciable.${\displaystyle g}$en un vecindario${\displaystyle V}$de${\displaystyle b=f(a)}$de tal manera que${\displaystyle g\circ f=I}$cerca${\displaystyle a}$.

En el primer caso (cuando${\displaystyle f'(a)}$es sobreyectiva), el punto${\displaystyle b=f(a)}$se denomina valor regular . Dado que${\displaystyle m=\dim \ker(f'(a))+\dim \operatorname {im} (f'(a))}$, el primer caso es equivalente a decir${\displaystyle b=f(a)}$no está en la imagen de los puntos críticos${\displaystyle a}$(un punto crítico es un punto${\displaystyle a}$de tal manera que el núcleo de${\displaystyle f'(a)}$es distinto de cero). La afirmación en el primer caso es un caso especial del teorema de submersión .

Estas variantes son reformulaciones del teorema de las funciones inversas. De hecho, en el primer caso cuando${\displaystyle f'(a)}$Si es sobreyectiva, podemos encontrar una aplicación lineal (inyectiva).${\displaystyle T}$de tal manera que${\displaystyle f'(a)\circ T=I}$. Definir${\displaystyle h(x)=a+Tx}$de modo que tengamos:

${\displaystyle (f\circ h)'(0)=f'(a)\circ T=I.}$

Por lo tanto, según el teorema de la función inversa,${\displaystyle f\circ h}$tiene inverso cerca${\displaystyle 0}$; es decir,${\displaystyle f\circ h\circ (f\circ h)^{-1}=I}$cerca${\displaystyle b}$. El segundo caso (${\displaystyle f'(a)}$es inyectivo) se ve de manera similar.

Queremos demostrar lo siguiente: Sea${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }$ser un conjunto abierto con${\displaystyle x_{0}\in D,f:D\to \mathbb {R} }$una función continuamente diferenciable definida en${\displaystyle D}$y supongamos que${\displaystyle f'(x_{0})\neq 0}$Entonces existe un intervalo abierto${\displaystyle I}$con${\displaystyle x_{0}\in I}$de tal manera que${\displaystyle f}$mapas${\displaystyle I}$biyectivamente sobre el intervalo abierto${\displaystyle J=f(I)}$y de tal manera que la función inversa${\displaystyle f^{-1}:J\to I}$es continuamente diferenciable, y para cualquier${\displaystyle y\in J}$, si${\displaystyle x\in I}$es tal que${\displaystyle f(x)=y}$, entonces${\displaystyle (f^{-1})'(y)={\dfrac {1}{f'(x)}}}$.

Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que${\displaystyle f'(x_{0})>0}$. Dado que${\displaystyle D}$es un conjunto abierto y${\displaystyle f'}$es continuo en${\displaystyle x_{0}}$, existe${\displaystyle r>0}$de tal manera que${\displaystyle (x_{0}-r,x_{0}+r)\subseteq D}$y$${\displaystyle |f'(x)-f'(x_{0})|<{\dfrac {f'(x_{0})}{2}}\qquad {\text{for all }}|x-x_{0}|<r.}$$

En particular,$${\displaystyle f'(x)>{\dfrac {f'(x_{0})}{2}}>0\qquad {\text{for all }}|x-x_{0}|<r.}$$

Esto demuestra que${\displaystyle f}$está aumentando estrictamente para todos${\displaystyle |x-x_{0}|<r}$. Dejar${\displaystyle \delta >0}$ser tal que${\displaystyle \delta <r}$. Entonces${\displaystyle [x-\delta ,x+\delta ]\subseteq (x_{0}-r,x_{0}+r)}$Por el teorema del valor intermedio, encontramos que${\displaystyle f}$mapas el intervalo${\displaystyle [x-\delta ,x+\delta ]}$biyectivamente en${\displaystyle [f(x-\delta ),f(x+\delta )]}$Denotemos por${\displaystyle I=(x-\delta ,x+\delta )}$y${\displaystyle J=(f(x-\delta ),f(x+\delta ))}$. Entonces${\displaystyle f:I\to J}$es una biyección y la inversa${\displaystyle f^{-1}:J\to I}$existe. El hecho de que${\displaystyle f^{-1}:J\to I}$es diferenciable se deduce de la diferenciabilidad de${\displaystyle f}$. En particular, el resultado se deduce del hecho de que si${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$es una función estrictamente monótona y continua que es diferenciable en${\displaystyle x_{0}\in I}$con${\displaystyle f'(x_{0})\neq 0}$, entonces${\displaystyle f^{-1}:f(I)\to \mathbb {R} }$es diferenciable con${\displaystyle (f^{-1})'(y_{0})={\dfrac {1}{f'(x_{0})}}}$, dónde${\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}$(un resultado estándar en análisis). Con esto concluye la demostración.

Para probar la existencia, se puede suponer después de una transformación afín que${\displaystyle f(0)=0}$y${\displaystyle f^{\prime }(0)=I}$, de modo que${\displaystyle a=b=0}$.

Por el teorema del valor medio para funciones con valores vectoriales , para una función diferenciable${\displaystyle u:[0,1]\to \mathbb {R} ^{m}}$,${\textstyle \|u(1)-u(0)\|\leq \sup _{0\leq t\leq 1}\|u^{\prime }(t)\|}$. Configuración${\displaystyle u(t)=f(x+t(x^{\prime }-x))-x-t(x^{\prime }-x)}$De ello se deduce que

${\displaystyle \|f(x)-f(x^{\prime })-x+x^{\prime }\|\leq \|x-x^{\prime }\|\,\sup _{0\leq t\leq 1}\|f^{\prime }(x+t(x^{\prime }-x))-I\|.}$

Ahora elige${\displaystyle \delta >0}$de modo que${\textstyle \|f'(x)-I\|<{1 \over 2}}$para${\displaystyle \|x\|<\delta }$. Supongamos que${\displaystyle \|y\|<\delta /2}$y definir${\displaystyle x_{n}}$inductivamente por${\displaystyle x_{0}=0}$y${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}+y-f(x_{n})}$. Los supuestos muestran que si${\displaystyle \|x\|,\,\,\|x^{\prime }\|<\delta }$entonces

${\displaystyle \|f(x)-f(x^{\prime })-x+x^{\prime }\|\leq \|x-x^{\prime }\|/2}$.

En particular${\displaystyle f(x)=f(x^{\prime })}$implica${\displaystyle x=x^{\prime }}$En el esquema inductivo${\displaystyle \|x_{n}\|<\delta }$ y${\displaystyle \|x_{n+1}-x_{n}\|<\delta /2^{n}}$. De este modo${\displaystyle (x_{n})}$es una secuencia de Cauchy que tiende a${\displaystyle x}$Por construcción${\displaystyle f(x)=y}$según sea necesario.

Para comprobar eso${\displaystyle g=f^{-1}}$es C ¹ , escribe${\displaystyle g(y+k)=x+h}$de modo que ${\displaystyle f(x+h)=f(x)+k}$. Por las desigualdades anteriores,${\displaystyle \|h-k\|<\|h\|/2}$de modo que${\displaystyle \|h\|/2<\|k\|<2\|h\|}$. Por otro lado, si${\displaystyle A=f^{\prime }(x)}$, entonces${\displaystyle \|A-I\|<1/2}$. Utilizando la serie geométrica para${\displaystyle B=I-A}$De ello se deduce que${\displaystyle \|A^{-1}\|<2}$Pero entonces...

${\displaystyle {\|g(y+k)-g(y)-f^{\prime }(g(y))^{-1}k\| \over \|k\|}={\|h-f^{\prime }(x)^{-1}[f(x+h)-f(x)]\| \over \|k\|}\leq 4{\|f(x+h)-f(x)-f^{\prime }(x)h\| \over \|h\|}}$

tiende a 0 como${\displaystyle k}$y${\displaystyle h}$tienden a 0, lo que demuestra que${\displaystyle g}$es C ¹ con${\displaystyle g^{\prime }(y)=f^{\prime }(g(y))^{-1}}$.

La demostración anterior se presenta para un espacio de dimensión finita, pero se aplica igualmente bien a los espacios de Banach . Si una función invertible${\displaystyle f}$es C ^k con${\displaystyle k>1}$, entonces también lo es su inversa. Esto se deduce por inducción usando el hecho de que el mapa${\displaystyle F(A)=A^{-1}}$en operadores es C ^k para cualquier${\displaystyle k}$(en el caso de dimensión finita esto es un hecho elemental porque la inversa de una matriz se da como la matriz adjugada dividida por su determinante ). ^{[ 3 ] [ 9 ]} El método de demostración aquí se puede encontrar en los libros de Henri Cartan , Jean Dieudonné , Serge Lang , Roger Godement y Lars Hörmander .

Aquí hay una demostración basada en el teorema de la aplicación de contracción . Específicamente, siguiendo a T. Tao, ^{[ 10 ]} utiliza la siguiente consecuencia del teorema de la aplicación de contracción.

Básicamente, el lema dice que una pequeña perturbación de la aplicación identidad por una aplicación contractiva es inyectiva y preserva una bola en algún sentido. Suponiendo el lema por un momento, demostramos primero el teorema. Como en la demostración anterior, basta con demostrar el caso especial cuando${\displaystyle a=0,b=f(a)=0}$y${\displaystyle f'(0)=I}$. Dejar${\displaystyle g=f-I}$. La desigualdad del valor medio aplicada a${\displaystyle t\mapsto g(x+t(y-x))}$dice:

${\displaystyle |g(y)-g(x)|\leq |y-x|\sup _{0<t<1}|g'(x+t(y-x))|.}$

Desde${\displaystyle g'(0)=I-I=0}$y${\displaystyle g'}$es continuo, podemos encontrar un${\displaystyle r>0}$de tal manera que

${\displaystyle |g(y)-g(x)|\leq 2^{-1}|y-x|}$

a pesar de${\displaystyle x,y}$en${\displaystyle B(0,r)}$. Entonces el lema temprano dice que${\displaystyle f=g+I}$es inyectable en${\displaystyle B(0,r)}$y${\displaystyle B(0,r/2)\subset f(B(0,r))}$. Entonces

${\displaystyle f:U=B(0,r)\cap f^{-1}(B(0,r/2))\to V=B(0,r/2)}$

es biyectiva y, por lo tanto, tiene inversa. A continuación, mostramos la inversa.${\displaystyle f^{-1}}$es continuamente diferenciable (esta parte del argumento es la misma que en la demostración anterior). Esta vez, sea${\displaystyle g=f^{-1}}$denota el inverso de${\displaystyle f}$y${\displaystyle A=f'(x)}$. Para${\displaystyle x=g(y)}$, escribimos${\displaystyle g(y+k)=x+h}$o${\displaystyle y+k=f(x+h)}$Ahora, según la estimación inicial, tenemos

${\displaystyle |h-k|=|f(x+h)-f(x)-h|\leq |h|/2}$

y entonces${\displaystyle |h|/2\leq |k|}$. Escribiendo${\displaystyle \|\cdot \|}$para la norma del operador,

${\displaystyle |g(y+k)-g(y)-A^{-1}k|=|h-A^{-1}(f(x+h)-f(x))|\leq \|A^{-1}\||Ah-f(x+h)+f(x)|.}$

Como${\displaystyle k\to 0}$, tenemos${\displaystyle h\to 0}$y${\displaystyle |h|/|k|}$está acotado. Por lo tanto,${\displaystyle g}$es diferenciable en${\displaystyle y}$con el derivado${\displaystyle g'(y)=f'(g(y))^{-1}}$. También,${\displaystyle g'}$es lo mismo que la composición${\displaystyle \iota \circ f'\circ g}$dónde${\displaystyle \iota :T\mapsto T^{-1}}$; entonces${\displaystyle g'}$es continuo.

Resta demostrar el lema. Primero, tenemos:

${\displaystyle |x-y|-|f(x)-f(y)|\leq |g(x)-g(y)|\leq c|x-y|,}$

es decir

${\displaystyle (1-c)|x-y|\leq |f(x)-f(y)|.}$

Esto demuestra la primera parte. A continuación, mostramos${\displaystyle f(B(0,r))\supset B(0,(1-c)r)}$La idea es observar que esto es equivalente a, dado un punto${\displaystyle y}$en${\displaystyle B(0,(1-c)r)}$, encontrar un punto fijo del mapa

${\displaystyle F:{\overline {B}}(0,r')\to {\overline {B}}(0,r'),\,x\mapsto y-g(x)}$

dónde${\displaystyle 0<r'<r}$de tal manera que${\displaystyle |y|\leq (1-c)r'}$y la barra significa una bola cerrada. Para encontrar un punto fijo, usamos el teorema de la aplicación de contracción y comprobamos que${\displaystyle F}$Es una asignación de contracción estricta bien definida y sencilla. Finalmente, tenemos:${\displaystyle f(B(0,r))\subset B(0,(1+c)r)}$desde

${\displaystyle |f(x)|=|x+g(x)-g(0)|\leq (1+c)|x|.\square }$

Como puede resultar evidente, esta demostración no difiere sustancialmente de la anterior, ya que la demostración del teorema de la aplicación de contracción se realiza mediante aproximaciones sucesivas.

El teorema de la función inversa se puede utilizar para resolver un sistema de ecuaciones.

${\displaystyle {\begin{aligned}&f_{1}(x)=y_{1}\\&\quad \vdots \\&f_{n}(x)=y_{n},\end{aligned}}}$

es decir, expresar${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}$como funciones de${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})}$siempre que la matriz jacobiana sea invertible. El teorema de la función implícita permite resolver un sistema de ecuaciones más general:

${\displaystyle {\begin{aligned}&f_{1}(x,y)=0\\&\quad \vdots \\&f_{n}(x,y)=0\end{aligned}}}$

para${\displaystyle y}$en términos de${\displaystyle x}$. Aunque más general, el teorema es en realidad una consecuencia del teorema de la función inversa. Primero, el enunciado preciso del teorema de la función implícita es el siguiente: ^{[ 11 ]}

• dado un mapa${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}}$, si${\displaystyle f(a,b)=0}$,${\displaystyle f}$es continuamente diferenciable en un vecindario de${\displaystyle (a,b)}$y el derivado de${\displaystyle y\mapsto f(a,y)}$en${\displaystyle b}$Si es invertible, entonces existe un mapa diferenciable.${\displaystyle g:U\to V}$para algunos barrios${\displaystyle U,V}$de${\displaystyle a,b}$de tal manera que${\displaystyle f(x,g(x))=0}$. Además, si${\displaystyle f(x,y)=0,x\in U,y\in V}$, entonces${\displaystyle y=g(x)}$; es decir,${\displaystyle g(x)}$es una solución única.

Para ver esto, considere el mapa.${\displaystyle F(x,y)=(x,f(x,y))}$Por el teorema de la función inversa,${\displaystyle F:U\times V\to W}$tiene el inverso${\displaystyle G}$para algunos barrios${\displaystyle U,V,W}$Entonces tenemos:

${\displaystyle (x,y)=F(G_{1}(x,y),G_{2}(x,y))=(G_{1}(x,y),f(G_{1}(x,y),G_{2}(x,y))),}$

reticente${\displaystyle x=G_{1}(x,y)}$y${\displaystyle y=f(x,G_{2}(x,y)).}$De este modo${\displaystyle g(x)=G_{2}(x,0)}$posee la propiedad requerida.${\displaystyle \square }$

En geometría diferencial, el teorema de la función inversa se utiliza para demostrar que la preimagen de un valor regular bajo una aplicación suave es una variedad. ^{[ 12 ]} En efecto, sea${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{r}}$ser un mapa tan suave de un subconjunto abierto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(dado que el resultado es local, no hay pérdida de generalidad al considerar dicho mapa). Fijemos un punto.${\displaystyle a}$en${\displaystyle f^{-1}(b)}$y luego, al permutar las coordenadas en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, supongamos que la matriz${\displaystyle \left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(a)\right]_{1\leq i,j\leq r}}$tiene rango${\displaystyle r}$. Luego el mapa${\displaystyle F:U\to \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{n-r}=\mathbb {R} ^{n},\,x\mapsto (f(x),x_{r+1},\dots ,x_{n})}$es tal que${\displaystyle F'(a)}$tiene rango${\displaystyle n}$Por lo tanto, mediante el teorema de la función inversa, encontramos la inversa suave.${\displaystyle G}$de${\displaystyle F}$definido en un vecindario${\displaystyle V\times W}$de${\displaystyle (b,a_{r+1},\dots ,a_{n})}$. Entonces tenemos

${\displaystyle x=(F\circ G)(x)=(f(G(x)),G_{r+1}(x),\dots ,G_{n}(x)),}$

lo cual implica

${\displaystyle (f\circ G)(x_{1},\dots ,x_{n})=(x_{1},\dots ,x_{r}).}$

Es decir, después del cambio de coordenadas por${\displaystyle G}$,${\displaystyle f}$es una proyección de coordenadas (este hecho se conoce como el teorema de submersión ). Además, dado que${\displaystyle G:V\times W\to U'=G(V\times W)}$es biyectivo, el mapa

${\displaystyle g=G(b,\cdot ):W\to f^{-1}(b)\cap U',\,(x_{r+1},\dots ,x_{n})\mapsto G(b,x_{r+1},\dots ,x_{n})}$

es biyectiva con la inversa suave. Es decir,${\displaystyle g}$proporciona una parametrización local de${\displaystyle f^{-1}(b)}$alrededor${\displaystyle a}$. Por eso,${\displaystyle f^{-1}(b)}$es un colector.${\displaystyle \square }$(Cabe señalar que la demostración es bastante similar a la demostración del teorema de la función implícita y, de hecho, también se puede utilizar el teorema de la función implícita en su lugar).

De forma más general, el teorema muestra que si una aplicación suave${\displaystyle f:P\to E}$es transversal a una subvariedad${\displaystyle M\subset E}$, entonces la preimagen${\displaystyle f^{-1}(M)\hookrightarrow P}$es una subvariedad. ^{[ 13 ]}

Consideremos los espacios de Banach ${\displaystyle X\subset C^{1}([0,1])}$de funciones de valor real continuamente diferenciables en el intervalo unitario tales que${\displaystyle f(0)=0}$, y${\displaystyle Y=C([0,1])}$de funciones continuas en el intervalo unitario. Definir $${\displaystyle F:X\to Y,\qquad F(u)=u'+u^{2}.}$$ Entonces​${\displaystyle F}$es continuamente diferenciable en el sentido de Fréchet y $${\displaystyle DF(u)h=h'+2uh.}$$ En${\displaystyle u=0}$, la derivada es el operador ⁠${\displaystyle h\mapsto h'}$⁠ . Este es un isomorfismo de ⁠${\displaystyle X}$a​​${\displaystyle Y}$⁠ , con inversa $${\displaystyle g\mapsto \left(t\mapsto \int _{0}^{t}g(s)\,ds\right).}$$ Por lo tanto, el teorema de la función inversa para espacios de Banach implica que${\displaystyle F}$es localmente invertible cerca de${\displaystyle 0}$⁠ . En particular, para cada suficientemente pequeño ⁠${\displaystyle g\in C([0,1])}$⁠ , el problema de valor inicial $${\displaystyle u'(t)+u(t)^{2}=g(t),\qquad u(0)=0,}$$ tiene una solución pequeña y única${\displaystyle u\in C^{1}([0,1])}$⁠ , y esta solución depende de forma continuamente diferenciable de ⁠${\displaystyle g}$.​