Conjetura jacobiana

En matemáticas , la conjetura jacobiana es un famoso problema sin resolver sobre polinomios en varias variables . Establece que si una función polinómica de un espacio n -dimensional a sí mismo tiene un determinante jacobiano que es una constante no nula, entonces la función tiene una inversa polinómica. La conjetura fue enunciada por primera vez para dos variables por Ludwig Kraus en 1884 ^{[ 1 ]} y luego enunciada de forma general en 1939 por Ott-Heinrich Keller ^{[ 2 ]} . Posteriormente ^, fue ampliamente divulgada por Shreeram Abhyankar [ ^{3 ]} como un ejemplo de una cuestión difícil en geometría algebraica que puede entenderse con poco más que conocimientos de cálculo .

La conjetura jacobiana es famosa por la gran cantidad de demostraciones publicadas y no publicadas que resultaron contener errores sutiles. ^{[ 4 ] [ 5 ]} A partir de 2018, no se ha demostrado, ni siquiera para el caso de dos variables. Van den Essen aporta pruebas de que la conjetura puede ser falsa para un gran número de variables. ^{[ 4 ]}

La conjetura jacobiana es la número 16 en la lista de Stephen Smale de 1998 de Problemas Matemáticos para el Próximo Siglo . ^{[ 6 ]}

Sea N > 1 un entero fijo y consideremos polinomios f ₁ , ..., f _N en variables X ₁ , ..., X _N con coeficientes en un cuerpo k . Entonces definimos una función vectorial F : k ^N → k ^N estableciendo:

F ( X ₁ , ..., X _N ) = ( f ₁ ( X ₁ , ..., X _N ),..., f _N ( X ₁ ,..., X _N )).

Cualquier aplicación F : k ^N → k ^N que surja de esta manera se llama aplicación polinómica .

El determinante jacobiano de F , denotado por J _F , se define como el determinante de la matriz jacobiana N × N que consta de las derivadas parciales de f _i con respecto a X _j :

${\displaystyle J_{F}=\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial X_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial X_{N}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{N}}{\partial X_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{N}}{\partial X_{N}}}\end{matrix}}\right|,}$

entonces J _F es en sí misma una función polinómica de las N variables X ₁ , ..., X _N .

De la regla de la cadena multivariable se deduce que si F tiene una función inversa polinómica G : k ^N → k ^N , entonces J _F tiene un recíproco polinómico, por lo que es una constante distinta de cero. La conjetura jacobiana es la siguiente recíproca parcial:

Conjetura jacobiana: Sea k de característica 0. Si J _F es una constante distinta de cero, entonces F tiene una función inversa G : k ^N → k ^N que es regular , lo que significa que sus componentes son polinomios.

Según van den Essen, ^{[ 4 ]} el problema fue conjeturado por primera vez por Keller en 1939 para el caso limitado de dos variables y coeficientes enteros. Sin embargo, una búsqueda en la base de datos zbMATH en 2025 reveló que el caso de dos variables ya había sido planteado por Ludwig Kraus en 1884, quien dio una demostración defectuosa en el mismo artículo. ^{[ 1 ]}

El análogo obvio de la conjetura jacobiana falla si k tiene característica p  >  0 incluso para una variable. La característica de un cuerpo, si no es cero, debe ser prima, por lo tanto, al menos 2. El polinomio x − x ^p tiene derivada 1 − px ^{p −1} que es 1 (porque px es 0) pero no tiene función inversa. Sin embargo, Kossivi Adjamagbo sugirió extender la conjetura jacobiana a característica p > 0 agregando la hipótesis de que p no divide el grado de la extensión del cuerpo k ( X ) / k ( F ) . ^{[ 7 ]}

La existencia de un inverso polinomial es obvia si F es simplemente un conjunto de funciones lineales en las variables, porque entonces el inverso también será un conjunto de funciones lineales. Un ejemplo no lineal simple viene dado por

${\displaystyle u=x^{2}+y+x}$

${\displaystyle v=x^{2}+y}$

de modo que el determinante jacobiano sea

${\displaystyle J_{F}=\left|{\begin{matrix}1+2x&1\\2x&1\end{matrix}}\right|=(1+2x)(1)-(1)2x=1.}$

En este caso, el inverso existe como los polinomios

${\displaystyle x=u-v}$

${\displaystyle y=v-(u-v)^{2}.}$

Pero si modificamos F ligeramente, a

${\displaystyle u=2x^{2}+y}$

${\displaystyle v=x^{2}+y}$

entonces el determinante es

${\displaystyle J_{F}=\left|{\begin{matrix}4x&1\\2x&1\end{matrix}}\right|=(4x)(1)-2x(1)=2x,}$

que no es constante, y la conjetura jacobiana no se aplica. La función tiene una función inversa cuando trabajamos sobre los números reales y asumimos${\displaystyle x>0}$:

${\displaystyle x={\sqrt {u-v}}}$

${\displaystyle y=2v-u,}$

Sin embargo, esta expresión para x no es un polinomio. Si en cambio trabajamos con números complejos, la raíz cuadrada es multivaluada.

La condición J _F ≠ 0 está relacionada con el teorema de la función inversa en el cálculo multivariable . De hecho, para funciones suaves (y en particular para polinomios), existe una función inversa local suave de F en cada punto donde J _F es distinto de cero. Por ejemplo, la aplicación x → x  + x ³ tiene una inversa global suave, pero esta no es polinómica. 

Stuart Sui-Sheng Wang demostró la conjetura jacobiana para polinomios de grado 2. ^{[ 8 ]} Hyman Bass , Edwin Connell y David Wright demostraron que el caso general se deduce del caso especial en el que los polinomios son de grado  3, o incluso más específicamente, de tipo cúbico homogéneo, es decir, de la forma F  =  ( X ₁  + H ₁ , ..., X _n + H _n ), donde cada H _i es cero o un cúbico homogéneo . ^{[ 9 ]} Ludwik Drużkowski demostró que se puede asumir además que el mapeo es de tipo cúbico lineal, lo que significa que los H _i no nulos son cubos de polinomios lineales homogéneos. ^{[ 10 ]} Estas reducciones introducen variables adicionales y, por lo tanto, no están disponibles para N fijo .     

Edwin Connell y Lou van den Dries demostraron que si la conjetura jacobiana es falsa, entonces tiene un contraejemplo con coeficientes enteros y determinante jacobiano 1. ^{[ 11 ]} En consecuencia, la conjetura jacobiana es verdadera para todos los cuerpos de característica 0 o para ninguno. Para una dimensión N fija , es verdadera si se cumple para al menos un cuerpo algebraicamente cerrado de característica 0.

Sea k [ X ] el anillo de polinomios _k [ X₁ , ..., Xₙ _] y k [ F ] la k -subálgebra generada por _f₁ , ..., fₙ _. Para un F dado , la conjetura jacobiana es verdadera si y solo si k [ X ] = k [ F ] . Keller (1939) demostró el caso birracional , es decir, donde los dos cuerpos k ( X ) y k ( F ) son iguales. El caso donde k ( X ) es una extensión de Galois de k ( F ) fue demostrado por Andrew Campbell para aplicaciones complejas ^{[ 12 ]} y en general por Michael Razar ^{[ 13 ]} e, independientemente, por David Wright. ^{[ 14 ]} Tzuong-Tsieng Moh verificó la conjetura para polinomios de grado como máximo 100 en dos variables. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

Michiel de Bondt y Arno van den Essen ^{[ 17 ] [ 18 ]} y Ludwik Drużkowski ^{[ 19 ]} demostraron independientemente que es suficiente probar la Conjetura Jacobiana para mapas complejos de tipo cúbico homogéneo con una matriz jacobiana simétrica, y además demostraron que la conjetura se cumple para mapas de tipo cúbico lineal con una matriz jacobiana simétrica, sobre cualquier campo de característica 0.

La fuerte conjetura jacobiana real postulaba que una aplicación polinómica real con un determinante jacobiano que no se anula en ningún punto tiene una inversa global suave. Esto equivale a preguntarse si dicha aplicación es topológicamente una aplicación propia , en cuyo caso es una aplicación de recubrimiento de una variedad simplemente conexa , y por lo tanto invertible. Sergey Pinchuk construyó dos contraejemplos variables de grado total 35 o superior. ^{[ 20 ]}

Es bien sabido que la conjetura de Dixmier , que establece que todo endomorfismo de un álgebra de Weyl es un automorfismo, implica la conjetura jacobiana. ^{[ 9 ] Por el contrario, Yoshifumi Tsuchimoto [ 21 ]} y, de forma independiente, Alexei Belov-Kanel y Maxim Kontsevich ^{[ 22 ]} demuestran que la conjetura jacobiana para 2N variables implica la conjetura de Dixmier en N dimensiones. Kossivi Adjamagbo y Arno van den Essen ^{[ 23 ]} también proporcionan una demostración autocontenida y puramente algebraica de esta última implicación, demostrando además en el mismo artículo que estas dos conjeturas son equivalentes a la conjetura de Poisson, que establece que todo endomorfismo del álgebra de Poisson compleja N es un automorfismo.

• Lista de problemas sin resolver en matemáticas

• Página web de Tzuong-Tsieng Moh sobre la conjetura