Matriz jacobiana y determinante

En cálculo vectorial , la matriz jacobiana ( / dʒ ə ˈ k oʊ b i ə n / , ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} / dʒ ɪ -, j ɪ -/ ) de una función vectorial de varias variables es la matriz de todas sus derivadas parciales de primer orden . Si esta matriz es cuadrada , es decir, si el número de variables es igual al número de componentes de los valores de la función, entonces su determinante se llama determinante jacobiano . Tanto la matriz como (si corresponde) el determinante se denominan a menudo simplemente jacobiano . ^{[ 4 ]} Reciben su nombre de Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851).

La matriz jacobiana es la generalización natural de la derivada y la diferencial de una función usual a funciones vectoriales de varias variables. Esta generalización incluye generalizaciones del teorema de la función inversa y del teorema de la función implícita , donde la no nulidad de la derivada se reemplaza por la no nulidad del determinante jacobiano, y el inverso multiplicativo de la derivada se reemplaza por el inverso de la matriz jacobiana.

El determinante jacobiano se utiliza fundamentalmente para cambios de variables en integrales múltiples .

Definición

Dejar ${\textstyle \mathbf {f}$ una función tal que cada una de sus derivadas parciales de primer orden existe en ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ Esta función toma un vector . $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ ⁠ como entrada y produce el vector ⁠ $\mathbf {f} (\mathbf {x} )=(f_{1}(\mathbf {x} ),\ldots ,f_{m}(\mathbf {x} ))\in \mathbb {R} ^{m}$ ⁠ como salida. Entonces la matriz jacobiana de $f$ , denotada $J f$ , es la ⁠ $m\times n$ matriz cuya $entrada (i, j)$ es ${\textstyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}};}$ explícitamente $\mathbf {J_{f}} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\nabla ^{\mathsf {T}}f_{1}\\\vdots \\\nabla ^{\mathsf {T}}f_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}$ dónde $\nabla ^{\mathsf {T}}f_{i}$ es la transpuesta (vector fila) del gradiente de la $i$ -ésimo componente.

La matriz jacobiana, cuyas entradas son funciones de $x$ , se denota de varias maneras; otras notaciones comunes incluyen $D f$ , $\nabla \mathbf {f}$ , y ${\textstyle {\frac {\partial (f_{1},\ldots ,f_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}}$ . ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} Algunos autores definen el jacobiano como la transpuesta de la forma dada anteriormente.

La matriz jacobiana representa la derivada total de $f$ en cada punto donde $f$ es diferenciable. En detalle, si $h$ es un vector de desplazamiento representado por una matriz columna , el producto matricial $J f (x) \cdot h$ es otro vector de desplazamiento, que es la mejor aproximación lineal del cambio de $f$ a lo largo de $h$ en un entorno de $x$ , si $f (x)$ es diferenciable en $x$ . ^{[ a ]} Esto significa que la función que mapea $y$ a $f (x) + J f (x) \cdot (y - x)$ es la mejor aproximación lineal de $f (y)$ para todos los puntos $y$ cercanos a $x$ . El mapeo lineal $h \to J f (x) \cdot h$ se conoce como la derivada o diferencial de $f$ en $x$ .

Cuando ${\textstyle m=n}$ La matriz jacobiana es cuadrada, por lo que su determinante es una función bien definida de $x$ , conocida como el determinante jacobiano de $f$ . Contiene información importante sobre el comportamiento local de $f$ . En particular, la función $f$ tiene una función inversa diferenciable en un entorno de un punto $x$ si y solo si el determinante jacobiano es distinto de cero en $x$ (véase el teorema de la función inversa para una explicación de esto y la conjetura jacobiana para un problema relacionado de invertibilidad global ). El determinante jacobiano también aparece al cambiar las variables en integrales múltiples (véase la regla de sustitución para variables múltiples ).

Cuando ${\textstyle m=1}$ , es entonces cuando ${\textstyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ es una función escalar , la matriz jacobiana se reduce al vector fila $\nabla ^{\mathsf {T}}f$ ; este vector fila de todas las derivadas parciales de primer orden de ⁠ $f$ es la transpuesta del gradiente de $f$ , es decir $\mathbf {J} _{f}=\nabla ^{\mathsf {T}}f$ . Especializándonos aún más, cuando ${\textstyle m=n=1}$ , es entonces cuando ${\textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ es una función escalar de una sola variable, la matriz jacobiana tiene una sola entrada; esta entrada es la derivada de la función . $f$ ⁠ .

Matriz jacobiana

La matriz jacobiana de una función vectorial de varias variables generaliza el gradiente de una función escalar de varias variables, que a su vez generaliza la derivada de una función escalar de una sola variable. En otras palabras, la matriz jacobiana de una función escalar de varias variables es (la transpuesta de) su gradiente, y el gradiente de una función escalar de una sola variable es su derivada.

En cada punto donde una función es diferenciable, su matriz jacobiana también puede interpretarse como una descripción de la cantidad de "estiramiento", "rotación" o "transformación" que la función impone localmente cerca de ese punto. Por ejemplo, si se utiliza $(x', y') = f (x, y)$ para transformar suavemente una imagen, la matriz jacobiana $J f (x, y)$ describe cómo se transforma la imagen en la vecindad de $(x, y) .$

Si una función es diferenciable en un punto, su diferencial se expresa en coordenadas mediante la matriz jacobiana. Sin embargo, para que se defina su matriz jacobiana, no es necesario que la función sea diferenciable, ya que basta con que existan sus derivadas parciales de primer orden .

Si $f$ es diferenciable en un punto $p$ en $R n$ , entonces su diferencial está representada por $J f (p)$ . En este caso, la transformación lineal representada por $J f (p)$ es la mejor aproximación lineal de $f$ cerca del punto $p$ , en el sentido de que

$\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )=\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {p} )(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+o(\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \|)\quad ({\text{as }}\mathbf {x} \to \mathbf {p} ),$

donde $o (‖ x - p ‖)$ es una cantidad que tiende a cero mucho más rápido que la distancia entre $x$ y $p$ a medida que $x$ tiende $a p$ . Esta aproximación se especializa en la aproximación de una función escalar de una sola variable mediante su polinomio de Taylor de grado uno, a saber:

$f(x)-f(p)=f'(p)(x-p)+o(x-p)\quad ({\text{as }}x\to p).$

En este sentido, el jacobiano puede considerarse como una especie de " derivada de primer orden " de una función vectorial de varias variables. En particular, esto significa que el gradiente de una función escalar de varias variables también puede considerarse como su "derivada de primer orden".

Las funciones diferenciables componibles $f : R n \to R m$ y $g : R m \to R k$ satisfacen la regla de la cadena , a saber: $\mathbf {J} _{\mathbf {g} \circ \mathbf {f} }(\mathbf {x} )=\mathbf {J} _{\mathbf {g} }(\mathbf {f} (\mathbf {x} ))\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {x} )$ para $x$ en $R n$ .

La matriz jacobiana del gradiente de una función escalar de varias variables tiene un nombre especial: la matriz hessiana , que en cierto sentido es la " segunda derivada " de la función en cuestión.

Determinante jacobiano

{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}} — Un mapa no lineal $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ Se envía un pequeño cuadrado (izquierda, en rojo) a un paralelogramo deformado (derecha, en rojo). El jacobiano en un punto proporciona la mejor aproximación lineal del paralelogramo deformado cerca de ese punto (derecha, en blanco translúcido), y el determinante jacobiano da la razón entre el área del paralelogramo aproximado y la del cuadrado original.

Si $m = n$ , entonces $f$ es una función de $R n$ en sí mismo y la matriz jacobiana es una matriz cuadrada . Podemos entonces calcular su determinante , conocido como determinante jacobiano . Al determinante jacobiano a veces se le denomina simplemente "el jacobiano".

El determinante jacobiano en un punto dado proporciona información importante sobre el comportamiento de $f$ cerca de ese punto. Por ejemplo, la función continuamente diferenciable $f$ es invertible cerca de un punto $p \in R n$ si el determinante jacobiano en $p$ es distinto de cero. Este es el teorema de la función inversa . Además, si el determinante jacobiano en $p$ es positivo , entonces $f$ conserva la orientación cerca de $p$ ; si es negativo , $f$ invierte la orientación. El valor absoluto del determinante jacobiano en $p$ nos da el factor por el cual la función $f$ expande o contrae volúmenes cerca de $p$ ; por eso aparece en la regla de sustitución general .

El determinante jacobiano se utiliza al realizar un cambio de variables al evaluar una integral múltiple de una función sobre una región de su dominio. Para compensar el cambio de coordenadas, la magnitud del determinante jacobiano aparece como un factor multiplicativo dentro de la integral. Esto se debe a que el elemento $dV$ $n$ -dimensional es, en general, un paralelepípedo en el nuevo sistema de coordenadas, y el $n$ -volumen de un paralelepípedo es el determinante de sus vectores de arista.

El jacobiano también puede utilizarse para determinar la estabilidad de los equilibrios en sistemas de ecuaciones diferenciales , aproximando el comportamiento cerca de un punto de equilibrio.

Inverso

Según el teorema de la función inversa , la matriz inversa de la matriz jacobiana de una función invertible $f : R n \to R n$ es la matriz jacobiana de la función inversa . Es decir, la matriz jacobiana de la función inversa en un punto $p$ es

$\mathbf {J} _{\mathbf {f} ^{-1}}(\mathbf {p} )={\mathbf {J} _{\mathbf {f} }^{-1}(\mathbf {f} ^{-1}(\mathbf {p} ))},$

y el determinante jacobiano es

$\det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} ^{-1}}(\mathbf {p} ))={\frac {1}{\det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {f} ^{-1}(\mathbf {p} )))}}.$

Si el jacobiano es continuo y no singular en el punto $p$ de $R n$ , entonces $f$ es invertible cuando se restringe a algún entorno de $p$ . En otras palabras, si el determinante jacobiano no es cero en un punto, entonces la función es localmente invertible cerca de ese punto.

La conjetura jacobiana (aún no demostrada) se relaciona con la invertibilidad global en el caso de una función polinómica, es decir, una función definida por n polinomios en n variables. Afirma que, si el determinante jacobiano es una constante distinta de cero (o, equivalentemente, que no tiene ningún cero complejo), entonces la función es invertible y su inversa es una función polinómica.

Puntos críticos

Si $f : R n \to R m$ es una función diferenciable , un punto crítico de $f$ es un punto donde el rango de la matriz jacobiana no es máximo. Esto significa que el rango en el punto crítico es menor que el rango en algún punto vecino. En otras palabras, sea $k$ la dimensión máxima de las bolas abiertas contenidas en la imagen de $f$ ; entonces un punto es crítico si todos los menores de rango $k$ de $f$ son cero.

En el caso en que $m = n = k$ , un punto es crítico si el determinante jacobiano es cero.

Ejemplos

Ejemplo 1

Consideremos una función $f : R 2 \to R 3,$ con $(x, y) \mapsto (f 1 (x, y), f 2 (x, y), f 3 (x, y)),$ dada por

$\mathbf {f} \left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}f_{1}(x,y)\\f_{2}(x,y)\\f_{3}(x,y)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x^{2}y\\5x+\sin y\\4y\end{bmatrix}}.$

La matriz jacobiana de $f$ es

$\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\[1em]{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial y}}\\[1em]{\dfrac {\partial f_{3}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{3}}{\partial y}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2xy&x^{2}\\5&\cos y\\0&4\end{bmatrix}}$

Ejemplo 2: transformación polar-cartesiana

La transformación de coordenadas polares $(r, φ)$ a coordenadas cartesianas ( x , y ) viene dada por la función $F : R + \times [0, 2π) \to R² con$ componentes

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \varphi$

$\mathbf {J} _{\mathbf {F} }(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[0.5ex]{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{bmatrix}}$

El determinante jacobiano es igual a $r$ . Esto se puede utilizar para transformar integrales entre los dos sistemas de coordenadas:

$\iint _{\mathbf {F} (A)}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{A}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\,r\,dr\,d\varphi .$

Ejemplo 3: Transformación esférica-cartesiana

La transformación de coordenadas esféricas $(ρ, φ, θ)$ ^{[ 7 ]} a coordenadas cartesianas ( x , y , z ) viene dada por la función $F : R + \times [0, π) \times [0, 2π) \to R3 con$ componentes

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \sin \varphi \cos \theta$

La matriz jacobiana para este cambio de coordenadas es

$\mathbf {J} _{\mathbf {F} }(\rho ,\varphi ,\theta )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial z}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \varphi \cos \theta &\rho \cos \varphi \cos \theta &-\rho \sin \varphi \sin \theta \\\sin \varphi \sin \theta &\rho \cos \varphi \sin \theta &\rho \sin \varphi \cos \theta \\\cos \varphi &-\rho \sin \varphi &0\end{bmatrix}}.$

The determinant is $ρ 2 sin φ$ . Since $dV = dx dy dz$ is the volume for a rectangular differential volume element (because the volume of a rectangular prism is the product of its sides), we can interpret $dV = ρ 2 sin φ dρ dφ dθ$ as the volume of the spherical differential volume element. Unlike rectangular differential volume element's volume, this differential volume element's volume is not a constant, and varies with coordinates ( $ρ$ and $φ$ ). It can be used to transform integrals between the two coordinate systems:

$\iiint _{\mathbf {F} (U)}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{U}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\,\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\varphi \,d\theta .$

Example 4

The Jacobian matrix of the function $F : R 3 \to R 4$ with components

${\begin{aligned}y_{1}&=x_{1}\\y_{2}&=5x_{3}\\y_{3}&=4x_{2}^{2}-2x_{3}\\y_{4}&=x_{3}\sin x_{1}\end{aligned}}$

is

$\mathbf {J} _{\mathbf {F} }(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{bmatrix}}.$

This example shows that the Jacobian matrix need not be a square matrix.

Example 5

The Jacobian determinant of the function $F : R 3 \to R 3$ with components

${\begin{aligned}y_{1}&=5x_{2}\\y_{2}&=4x_{1}^{2}-2\sin(x_{2}x_{3})\\y_{3}&=x_{2}x_{3}\end{aligned}}$

is

${\begin{vmatrix}0&5&0\\8x_{1}&-2x_{3}\cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}\cos(x_{2}x_{3})\\0&x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-8x_{1}{\begin{vmatrix}5&0\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-40x_{1}x_{2}.$

From this we see that $F$ reverses orientation near those points where $x 1$ and $x 2$ have the same sign; the function is locally invertible everywhere except near points where $x 1 = 0$ or $x 2 = 0$ . Intuitively, if one starts with a tiny object around the point $(1, 2, 3)$ and apply $F$ to that object, one will get a resulting object with approximately $40 \times 1 \times 2 = 80$ times the volume of the original one, with orientation reversed.

Other uses

Dynamical systems

Consider a dynamical system of the form ${\dot {\mathbf {x} }}=F(\mathbf {x} )$ , where ${\dot {\mathbf {x} }}$ is the (component-wise) derivative of $\mathbf {x}$ with respect to the evolution parameter $t$ (time), and $F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ is differentiable. If $F(\mathbf {x} _{0})=0$ , then $\mathbf {x} _{0}$ is a stationary point (also called a steady state). By the Hartman–Grobman theorem, the behavior of the system near a stationary point is related to the eigenvalues of $\mathbf {J} _{F}\left(\mathbf {x} _{0}\right)$ , the Jacobian of $F$ en el punto estacionario. ^{[ 8 ]} Específicamente, si todos los autovalores tienen partes reales negativas, entonces el sistema es estable cerca del punto estacionario. Si algún autovalor tiene una parte real positiva, entonces el punto es inestable. Si la mayor parte real de los autovalores es cero, la matriz jacobiana no permite evaluar la estabilidad. ^{[ 9 ]}

El método de Newton

Un sistema cuadrado de ecuaciones no lineales acopladas puede resolverse iterativamente mediante el método de Newton . Este método utiliza la matriz jacobiana del sistema de ecuaciones.

Ajuste por regresión y mínimos cuadrados

El jacobiano sirve como matriz de diseño linealizada en regresión estadística y ajuste de curvas ; véase mínimos cuadrados no lineales . El jacobiano también se utiliza en matrices aleatorias, momentos, sensibilidad local y diagnósticos estadísticos. ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}

Véase también

Notas

↑ La diferenciabilidad en $x$ implica, pero no está implicada por, la existencia de todas las derivadas parciales de primer orden en $x$ , y por lo tanto es una condición más fuerte.

Referencias

↑ "Jacobiano - Definición de jacobiano en inglés por Oxford Dictionaries" . Oxford Dictionaries - Inglés . Archivado del original el 1 de diciembre de 2017. Consultado el 2 de mayo de 2018 .
↑ "la definición de jacobiano" . Dictionary.com . Archivado del original el 1 de diciembre de 2017. Consultado el 2 de mayo de 2018 .
↑ Equipo de Forvo. "Pronunciación jacobiana: Cómo pronunciar jacobiano en inglés" . forvo.com . Consultado el 2 de mayo de 2018 .
↑ W., Weisstein, Eric. "Jacobiano" . mathworld.wolfram.com . Archivado del original el 3 de noviembre de 2017. Consultado el 2 de mayo de 2018 .{{cite web}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
↑ Holder, Allen; Eichholz, Joseph (2019). Introducción a la ciencia computacional . Serie internacional en investigación operativa y ciencias de la gestión. Cham, Suiza: Springer. pág. 53. ISBN 978-3-030-15679-4.
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↑ Arrowsmith, DK; Place, CM (1992). «El teorema de linealización» . Sistemas dinámicos: ecuaciones diferenciales, mapas y comportamiento caótico . Londres: Chapman & Hall. págs. 77–81 . ISBN 0-412-39080-9.
↑ Hirsch, Morris; Smale, Stephen (1974). Ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos y álgebra lineal . Academic Press. ISBN 0-12-349550-4.
↑ Liu, Shuangzhe; Leiva, Victor; Zhuang, Dan; Ma, Tiefeng; Figueroa-Zúñiga, Jorge I. (marzo de 2022). "Cálculo diferencial matricial con aplicaciones en el modelo lineal multivariado y su diagnóstico" . Journal of Multivariate Analysis . 188 104849. doi : 10.1016/j.jmva.2021.104849 .
^ Liu, Shuangzhe; Trenkler, Götz; Kollo, Tõnu; von Rosen, Dietrich; Baksalary, Oskar María (2023). "El profesor Heinz Neudecker y el cálculo diferencial matricial". Artículos estadísticos . 65 (4): 2605–2639.doi : 10.1007 / s00362-023-01499-w . S2CID 263661094 .

Lecturas adicionales

Gandolfo, Giancarlo (1996). «Estática comparativa y el principio de correspondencia» . Dinámica económica (Tercera ed.). Berlín: Springer. pp. 305–330 . ISBN 3-540-60988-1.
Protter, Murray H.; Morrey , Charles B. Jr. (1985). «Transformaciones y jacobianos». Cálculo intermedio (Segunda edición). Nueva York: Springer. págs. 412–420 . ISBN 0-387-96058-9.

Enlaces externos

"Jacobiano" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Mathworld: Una explicación más técnica de los jacobianos.

[7] La diferenciabilidad en $x$ implica, pero no está implicada por, la existencia de todas las derivadas parciales de primer orden en $x$ , y por lo tanto es una condición más fuerte.

[1] "Jacobiano - Definición de jacobiano en inglés por Oxford Dictionaries" . Oxford Dictionaries - Inglés . Archivado del original el 1 de diciembre de 2017. Consultado el 2 de mayo de 2018 .

[2] "la definición de jacobiano" . Dictionary.com . Archivado del original el 1 de diciembre de 2017. Consultado el 2 de mayo de 2018 .

[3] Equipo de Forvo. "Pronunciación jacobiana: Cómo pronunciar jacobiano en inglés" . forvo.com . Consultado el 2 de mayo de 2018 .

[4] W., Weisstein, Eric. "Jacobiano" . mathworld.wolfram.com . Archivado del original el 3 de noviembre de 2017. Consultado el 2 de mayo de 2018 .{{cite web}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )

[5] Holder, Allen; Eichholz, Joseph (2019). Introducción a la ciencia computacional . Serie internacional en investigación operativa y ciencias de la gestión. Cham, Suiza: Springer. pág. 53. ISBN 978-3-030-15679-4.

[6] Lovett, Stephen (16 de diciembre de 2019). Geometría diferencial de variedades . CRC Press. pág. 16. ISBN 978-0-429-60782-0.

[8] Joel Hass, Christopher Heil y Maurice Weir. Thomas' Calculus Early Transcendentals, 14e . Pearson, 2018, pág. 959.

[9] Arrowsmith, DK; Place, CM (1992). «El teorema de linealización» . Sistemas dinámicos: ecuaciones diferenciales, mapas y comportamiento caótico . Londres: Chapman & Hall. págs. 77–81 . ISBN 0-412-39080-9.

[10] Hirsch, Morris; Smale, Stephen (1974). Ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos y álgebra lineal . Academic Press. ISBN 0-12-349550-4.

[11] Liu, Shuangzhe; Leiva, Victor; Zhuang, Dan; Ma, Tiefeng; Figueroa-Zúñiga, Jorge I. (marzo de 2022). "Cálculo diferencial matricial con aplicaciones en el modelo lineal multivariado y su diagnóstico" . Journal of Multivariate Analysis . 188 104849. doi : 10.1016/j.jmva.2021.104849 .

[12] Liu, Shuangzhe; Trenkler, Götz; Kollo, Tõnu; von Rosen, Dietrich; Baksalary, Oskar María (2023). "El profesor Heinz Neudecker y el cálculo diferencial matricial". Artículos estadísticos . 65 (4): 2605–2639.doi : 10.1007 / s00362-023-01499-w . S2CID 263661094 .

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