Función de elección

Sea X un conjunto de conjuntos, ninguno de los cuales está vacío. Entonces, una función de elección ( selector , selección ) en X es una función matemática f definida en X tal que f es una función que asigna a cada elemento de X uno de sus elementos.

Sea X  =  {  {1,4,7},  {9},  {2,7}  }. Entonces la función f definida por f ({1, 4, 7}) = 7, f ({9}) = 9 y f ({2, 7}) = 2 es una función de elección en X.

Ernst Zermelo (1904) introdujo las funciones de elección, así como el axioma de elección (AC), y demostró el teorema del buen ordenamiento ^{[ 1 ]} , que establece que todo conjunto puede ser bien ordenado . AC afirma que todo conjunto de conjuntos no vacíos tiene una función de elección. Una forma más débil de AC, el axioma de elección numerable (AC _ω ), establece que todo conjunto numerable de conjuntos no vacíos tiene una función de elección. Sin embargo, en ausencia de AC o AC _ω , aún se puede demostrar que algunos conjuntos tienen una función de elección.

• Si${\displaystyle X}$es un conjunto finito de conjuntos no vacíos, entonces se puede construir una función de elección para${\displaystyle X}$seleccionando un elemento de cada miembro de${\displaystyle X.}$Esto requiere solo un número finito de opciones, por lo que no se necesita ni AC ni AC _{ω .}
• Si cada miembro de${\displaystyle X}$es un conjunto no vacío, y la unión${\displaystyle \bigcup X}$está bien ordenado, entonces se puede elegir el elemento más pequeño de cada miembro de${\displaystyle X}$En este caso, fue posible ordenar simultáneamente bien a cada miembro de${\displaystyle X}$Al elegir una sola opción de ordenación adecuada de la unión, no se necesitaban ni AC ni AC _ω . (Este ejemplo demuestra que el teorema de ordenación adecuada implica AC. Lo contrario también es cierto, pero menos trivial).

Dados dos conjuntos${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$, dejar${\displaystyle F}$ser un mapa multivaluado de${\displaystyle X}$a${\displaystyle Y}$(equivalentemente,${\displaystyle F:X\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)}$es una función de${\displaystyle X}$al conjunto de potencias de${\displaystyle Y}$).

Una función${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$Se dice que es una selección de${\displaystyle F}$, si:

$${\displaystyle \forall x\in X\,(f(x)\in F(x))\,.}$$

La existencia de funciones de elección más regulares, es decir, selecciones continuas o medibles, es importante en la teoría de las inclusiones diferenciales , el control óptimo y la economía matemática . ^{[ 2 ]} Véase el Teorema de Selección .

Nicolas Bourbaki utilizó el cálculo épsilon para sus fundamentos que tenían un${\displaystyle \tau }$símbolo que podría interpretarse como la elección de un objeto (si existiera) que satisfaga una proposición dada. Entonces, si${\displaystyle P(x)}$es un predicado, entonces${\displaystyle \tau _{x}(P)}$es un objeto particular que satisface${\displaystyle P}$(si existe, de lo contrario devuelve un objeto arbitrario). Por lo tanto, podemos obtener cuantificadores de la función de elección, por ejemplo${\displaystyle P(\tau _{x}(P))}$era equivalente a${\displaystyle (\exists x)(P(x))}$. ^{[ 3 ]}

Sin embargo, el operador de elección de Bourbaki es más fuerte de lo habitual: es un operador de elección global . Es decir, implica el axioma de elección global . ^{[ 4 ]} Hilbert se dio cuenta de esto al introducir el cálculo épsilon. ^{[ 5 ]}

• Axioma de elección contable
• Axioma de elección dependiente
• Paradoja de Hausdorff
• Hemicontinuidad

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