Transformación lineal conforme

Una transformación lineal conforme , también llamada transformación de similitud homogénea o similitud homogénea , es una transformación de similitud de un espacio vectorial euclidiano o pseudoeuclidiano que fija el origen . Se puede escribir como la composición de una transformación ortogonal (una transformación rígida que conserva el origen ) con una escala uniforme (dilatación). Todas las transformaciones de similitud (que conservan globalmente la forma, pero no necesariamente el tamaño de las figuras geométricas) también son conformes (conservan localmente la forma). Las transformaciones de similitud que fijan el origen también conservan la multiplicación escalar-vectorial y la suma vectorial , lo que las convierte en transformaciones lineales .

Toda reflexión o dilatación que fija el origen es una transformación lineal conforme, al igual que cualquier composición de estas transformaciones básicas, incluyendo rotaciones , rotaciones impropias y, en general, transformaciones de semejanza. Sin embargo, las transformaciones de cizallamiento y el escalado no uniforme no lo son. Las transformaciones lineales conformes se dividen en dos tipos: las transformaciones propias conservan la orientación del espacio, mientras que las transformaciones impropias la invierten.

Como transformaciones lineales, las transformaciones lineales conformes se pueden representar mediante matrices una vez que se ha definido una base en el espacio vectorial , componiendo entre sí y transformando vectores mediante multiplicación matricial . El grupo de Lie de estas transformaciones se ha denominado grupo ortogonal conforme , grupo de transformaciones lineales conformes o grupo de similitud homogénea .

Alternativamente, cualquier transformación lineal conforme puede representarse como un versor ( producto geométrico de vectores); ^{[ 1 ]} cada versor y su negativo representan la misma transformación, por lo que el grupo versor (también llamado grupo Lipschitz ) es una doble cubierta del grupo ortogonal conforme.

Las transformaciones lineales conformes son un tipo especial de transformaciones de Möbius (transformaciones conformes que mapean círculos en círculos); el grupo ortogonal conforme es un subgrupo del grupo conforme .

En todas las dimensiones , una transformación lineal conforme tiene las siguientes propiedades:

• Las relaciones de distancia se conservan mediante la transformación. ^{[ 2 ]}
• Dada una base ortonormal , una matriz que represente la transformación debe tener cada columna con la misma magnitud y cada par de columnas deben ser ortogonales .
• La transformación es conforme (conserva los ángulos); en particular, los vectores ortogonales permanecen ortogonales después de aplicar la transformación.
• La transformación asigna k -esferas concéntricas a k -esferas concéntricas para cada k (círculos a círculos, esferas a esferas, etc.). En particular, las k -esferas centradas en el origen se asignan a k -esferas centradas en el origen.
• Según el teorema de Cartan-Dieudonné , toda transformación ortogonal en un espacio n -dimensional puede expresarse como una composición de hasta n reflexiones. Por lo tanto, toda transformación lineal conforme puede expresarse como la composición de hasta n reflexiones y una dilatación. Dado que toda reflexión sobre un hiperplano invierte la orientación de un espacio pseudoeuclidiano, la composición de cualquier número par de reflexiones y una dilatación por un número real positivo es una transformación lineal conforme propia, y la composición de cualquier número impar de reflexiones y una dilatación es una transformación lineal conforme impropia.

En el plano vectorial euclidiano, una transformación lineal conforme impropia es una reflexión respecto de una línea que pasa por el origen, compuesta con una dilatación positiva. Dada una base ortonormal, puede representarse mediante una matriz de la forma

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\b&-a\end{bmatrix}}.}$

Una transformación lineal conforme propia es una rotación alrededor del origen compuesta con una dilatación positiva. Puede representarse mediante una matriz de la forma

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}.}$

Alternativamente, una transformación lineal conforme propia puede representarse mediante un número complejo de la forma${\displaystyle a+bi.}$

Al componer múltiples transformaciones lineales , es posible generar una distorsión (o sesgo) al combinar una transformación padre con una escala no uniforme y una transformación hija con una rotación. Por lo tanto, en situaciones donde no se permite la distorsión, las matrices de transformación también deben tener una escala uniforme para evitar que esta se produzca como resultado de la composición. Esto implica que se requieren transformaciones lineales conformes para evitar la distorsión al componer múltiples transformaciones.

En las simulaciones físicas , una esfera (o círculo, hiperesfera , etc.) se define a menudo mediante un punto y un radio. Para comprobar si un punto se superpone a la esfera, se puede utilizar una comprobación de distancia al centro. Con una rotación o una reflexión, la esfera es simétrica e invariante , por lo que la misma comprobación funciona. Con una escala uniforme, solo es necesario cambiar el radio. Sin embargo, con una escala no uniforme o una deformación, la esfera se "distorsiona" convirtiéndose en un elipsoide , por lo que el algoritmo de comprobación de distancia deja de funcionar correctamente.