Superficie de Scherk

En matemáticas , una superficie de Scherk (nombrada en honor a Heinrich Scherk ) es un ejemplo de superficie mínima . Scherk describió dos superficies mínimas incrustadas completas en 1834; ^[1] su primera superficie es una superficie doblemente periódica, su segunda superficie es simplemente periódica. Fueron los terceros ejemplos no triviales de superficies mínimas (las dos primeras fueron la catenoide y la helicoide ). ^[2] Las dos superficies son conjugadas entre sí.

Las superficies de Scherk surgen en el estudio de ciertos problemas de superficies mínimas limitantes y en el estudio de difeomorfismos armónicos del espacio hiperbólico .

La primera superficie de Scherk es asintótica respecto de dos familias infinitas de planos paralelos, ortogonales entre sí, que se encuentran cerca de z  = 0 en un patrón de tablero de ajedrez de arcos de puente. Contiene un número infinito de líneas rectas verticales.

Considere el siguiente problema de superficie mínima en un cuadrado en el plano euclidiano: para un número natural n , encuentre una superficie mínima Σ _n como la gráfica de alguna función

${\displaystyle u_{n}:\left(-{\frac {\pi }{2}},+{\frac {\pi }{2}}\right)\times \left(-{\frac {\pi }{2}},+{\frac {\pi }{2}}\right)\to \mathbb {R} }$

de tal manera que

${\displaystyle \lim _{y\to \pm \pi /2}u_{n}\left(x,y\right)=+n{\text{ para }}-{\frac {\pi }{2}}<x<+{\frac {\pi }{2}},}$

${\displaystyle \lim _{x\to \pm \pi /2}u_{n}\left(x,y\right)=-n{\text{ para }}-{\frac {\pi }{2}}<y<+{\frac {\pi }{2}}.}$

Es decir, u _n satisface la ecuación de superficie mínima

${\displaystyle \mathrm {div} \left({\frac {\nabla u_{n}(x,y)}{\sqrt {1+|\nabla u_{n}(x,y)|^{2} }}}\derecha)\equiv 0}$

y

${\displaystyle \Sigma _{n}=\left\{(x,y,u_{n}(x,y))\in \mathbb {R} ^{3}\left|-{\frac {\pi }{2}}<x,y<+{\frac {\pi }{2}}\right.\right\}.}$

¿Cuál es, si es que existe alguna, la superficie límite cuando n tiende al infinito? La respuesta la dio H. Scherk en 1834: la superficie límite Σ es la gráfica de

${\displaystyle u:\left(-{\frac {\pi }{2}},+{\frac {\pi }{2}}\right)\times \left(-{\frac {\pi }{2}},+{\frac {\pi }{2}}\right)\to \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle u(x,y)=\log \left({\frac {\cos(x)}{\cos(y)}}\right).}$

Es decir, la superficie de Scherk sobre el cuadrado es

${\displaystyle \Sigma =\left\{\left.\left(x,y,\log \left({\frac {\cos(x)}{\cos(y)}}\right)\right)\in \mathbb {R} ^{3}\right|-{\frac {\pi }{2}}<x,y<+{\frac {\pi }{2}}\right\}.}$

Se pueden considerar problemas de superficies mínimas similares en otros cuadriláteros en el plano euclidiano. También se puede considerar el mismo problema en cuadriláteros en el plano hiperbólico . En 2006, Harold Rosenberg y Pascal Collin utilizaron superficies hiperbólicas de Scherk para construir un difeomorfismo armónico desde el plano complejo hasta el plano hiperbólico (el disco unitario con la métrica hiperbólica), refutando así la conjetura de Schoen-Yau .

La segunda superficie de Scherk se presenta globalmente como dos planos ortogonales cuya intersección consiste en una secuencia de túneles en direcciones alternas. Sus intersecciones con planos horizontales consisten en hipérbolas alternas.

Tiene ecuación implícita:

${\displaystyle \sin(z)-\sinh(x)\sinh(y)=0}$

Tiene la parametrización de Weierstrass–Enneper y se puede parametrizar como: ^[3]${\displaystyle f(z)={\frac {4}{1-z^{4}}}}$${\displaystyle g(z)=iz}$

${\displaystyle x(r,\theta )=2\Re (\ln(1+re^{i\theta })-\ln(1-re^{i\theta }))=\ln \left({\frac {1+r^{2}+2r\cos \theta }{1+r^{2}-2r\cos \theta }}\right)}$

${\displaystyle y(r,\theta )=\Re (4i\tan ^{-1}(re^{i\theta }))=\ln \left({\frac {1+r^{2}-2r\sin \theta }{1+r^{2}+2r\sin \theta }}\right)}$

${\displaystyle z(r,\theta )=\Re (2i(-\ln(1-r^{2}e^{2i\theta })+\ln(1+r^{2}e^{2i\theta }))=2\tan ^{-1}\left({\frac {2r^{2}\sin 2\theta }{r^{4}-1}}\right)}$

para y . Esto da un período de la superficie, que luego puede extenderse en la dirección z por simetría. ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi )}$${\displaystyle r\in (0,1)}$

La superficie ha sido generalizada por H. Karcher en la familia de superficies mínimas periódicas de torre de silla de montar .

De manera un tanto confusa, a esta superficie a veces se la llama quinta superficie de Scherk en la literatura. ^{[4] [5]} Para minimizar la confusión, es útil referirse a ella como la superficie periódica simple de Scherk o la torre de Scherk.

• Sabitov, I.Kh. (2001) [1994], "Superficie de Scherk", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Primera superficie de Scherk en MSRI Geometry [2]
• Segunda superficie de Scherk en geometría MSRI [3]
• Superficies mínimas de Scherk en Mathworld [4]