Variedad tórica

Supongamos que${\displaystyle N}$es un grupo abeliano libre de rango finito , por ejemplo el retículo${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$y dejar${\displaystyle M}$sea ​​su dual. Un cono poliédrico racional fuertemente convexo en${\displaystyle N}$es un cono convexo (del espacio vectorial real de${\displaystyle N}$) con vértice en el origen, generado por un número finito de vectores de${\displaystyle N}$y que no contiene ninguna línea que pase por el origen. Estos se denominarán "conos" para abreviar. Cuando se generan mediante un conjunto de vectores${\displaystyle v_{1},\dots,v_{k}}$, se denota${\displaystyle {\text{cono}}(v_{1},\ldots ,v_{k})=\left\{\sum _{i=1}^{k}a_{i}v_{i}\colon a_{i}\in \mathbb {R} _{\geq 0}\right\}}$. Un cono unidimensional se llama rayo . Para un cono${\displaystyle \sigma }$, su variedad tórica afín${\displaystyle U_{\sigma }}$es el espectro del álgebra monoide generada por los puntos de${\displaystyle M}$que están en el cono doble a${\displaystyle \sigma }$.

Un abanico (poliédrico) es una colección de conos (poliédricos) cerrados que toman intersecciones y caras. El espacio subyacente de un abanico${\displaystyle \Sigma }$es la unión de sus conos y se denota por${\displaystyle |\Sigma |}$.

La variedad tórica de un abanico de conos racionales fuertemente convexos se obtiene tomando las variedades tóricas afines de sus conos y pegándolas mediante la identificación${\displaystyle U_{\sigma }}$con una subvariedad abierta de${\displaystyle U_{\tau }}$cuando sea${\displaystyle \sigma }$es un rostro de${\displaystyle \tau }$La variedad tórica construida a partir de un abanico es necesariamente normal . Recíprocamente, toda variedad tórica tiene un abanico asociado de conos racionales fuertemente convexos. Esta correspondencia se denomina teorema fundamental de la geometría tórica y establece una correspondencia biunívoca entre las variedades tóricas normales y los abanicos de conos racionales fuertemente convexos. ^{[ 2 ]}

El abanico asociado a una variedad tórica condensa algunos datos importantes sobre la variedad. Por ejemplo, los divisores de Cartier están asociados a los rayos del abanico. Además, una variedad tórica es lisa , o no singular , si cada cono de su abanico puede generarse mediante un subconjunto de una base para el grupo abeliano libre.${\displaystyle N}$y es completo si su abanico es completo, es decir, su espacio subyacente es todo el espacio vectorial.

Supongamos que${\displaystyle \Sigma _{1}}$y${\displaystyle \Sigma _{2}}$son ventiladores en celosías${\displaystyle N_{1}}$y${\displaystyle N_{2}}$, respectivamente. Si${\displaystyle f}$es un mapa lineal de${\displaystyle N_{1}}$a${\displaystyle N_{2}}$de tal manera que la imagen de cada cono de${\displaystyle \Sigma _{1}}$está contenido en un cono de${\displaystyle \Sigma _{2}}$, entonces${\displaystyle f}$induce un morfismo${\displaystyle f_{*}}$entre las variedades tóricas correspondientes. Este mapa${\displaystyle f_{*}}$es apropiada si y solo si la preimagen de${\displaystyle |\Sigma _{2}|}$debajo del mapa${\displaystyle f}$es${\displaystyle |\Sigma _{1}|}$.

Una variedad tórica es proyectiva si puede incrustarse en algún espacio proyectivo complejo .

Dejar${\displaystyle P}$sea ​​un politopo . Para cualquier vértice${\displaystyle v}$de${\displaystyle P}$, el cono normal de${\displaystyle P}$en el vértice${\displaystyle v}$es el cono generado por las normales exteriores de las facetas que contienen${\displaystyle v}$. El fanático normal de${\displaystyle P}$es el abanico cuyos conos máximos son los conos normales en cada vértice de${\displaystyle P}$.

Es bien sabido que las variedades tóricas proyectivas son las que provienen de los abanicos normales de politopos racionales. ^{[ 3 ]}

Por ejemplo, el plano proyectivo complejo${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$proviene del triángulo, o${\displaystyle 2}$- simplex . Puede representarse mediante tres coordenadas complejas que satisfacen

${\displaystyle |z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}+|z_{3}|^{2}=1,\,\!}$

donde la suma se ha elegido para tener en cuenta la parte de reescalado real del mapa proyectivo, y las coordenadas deben identificarse además mediante lo siguiente${\displaystyle U(1)}$acción:

${\displaystyle (z_{1},z_{2},z_{3})\aprox e^{i\phi }(z_{1},z_{2},z_{3}).\,\!}$

El enfoque de la geometría tórica es escribir

${\displaystyle (x,y,z)=(|z_{1}|^{2},|z_{2}|^{2},|z_{3}|^{2}).\,\!}$

Las coordenadas${\displaystyle x,y,z}$son no negativos y parametrizan un triángulo porque

${\displaystyle x+y+z=1;\,\!}$

eso es,

${\displaystyle \quad z=1-xy.\,\!}$

El triángulo es la base tórica del plano proyectivo complejo. La fibra genérica es un toro bidimensional parametrizado por las fases de${\displaystyle z_{1},z_{2}}$; la fase de${\displaystyle z_{3}}$pueden ser elegidos reales y positivos por el${\displaystyle U(1)}$simetría.

Sin embargo, el toro doble degenera en tres círculos diferentes en el límite del triángulo, es decir, en${\displaystyle x=0}$o${\displaystyle y=0}$o${\displaystyle z=0}$porque la fase de${\ Displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}}$se vuelve intrascendente, respectivamente.

La orientación precisa de los círculos dentro del toroide se suele representar mediante la pendiente de los intervalos de línea (los lados del triángulo, en este caso).

Nótese que esta construcción está relacionada con la geometría simpléctica como el mapa${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {CP} ^{2}&\to \mathbb {R} _{\geq 0}\\(z_{1},z_{2},z_{3})&\mapsto |z_{1}|+|z_{2}|+|z_{3}|\end{cases}}}$está relacionado con el mapa de momentos para la acción de${\displaystyle U(1)}$en la variedad simpléctica${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$.

El número de Picard de un fan${\displaystyle \Sigma }$de dimensión${\displaystyle n}$teniendo${\displaystyle m}$rayos es la cantidad${\displaystyle mn}$. Nótese que en realidad es el rango del grupo Picard de la variedad tórica asociada a${\displaystyle \Sigma }$.

• La única variedad tórica de dimensión${\displaystyle n}$y número de Picard${\displaystyle 1}$es el espacio proyectivo complejo${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$. Su ventilador asociado tiene rayos generados por${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}}$y${\displaystyle f=-\sum _{i=1}^{n}e_{i}}$, para${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}}$una base de${\displaystyle N}$. Los conos de este ventilador son${\displaystyle {\text{cono}}(e_{1},\ldots ,e_{n})}$, y${\displaystyle {\text{cono}}(e_{1},\ldots ,e_{i-1},f,e_{i+1},\ldots ,e_{n})}$, para${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$Este es el ventilador normal para unimodular${\displaystyle n}$- simplex y por lo tanto es proyectivo, aunque esta sea una afirmación trivial.
• P. Kleinschmidt clasificó todas las variedades tóricas compactas y lisas del número de Picard.${\displaystyle 2}$, todos son proyectivos. ^{[ 4 ]}
• Victor V. Batyrev clasificó todas las variedades tóricas compactas y lisas del número de Picard.${\displaystyle 3}$, todos son proyectivos. ^{[ 5 ]} Este resultado fue refutado por S. Choi y H. Park utilizando diferentes técnicas. ^{[ 6 ]}

La clasificación para el número de Picard mayor que${\displaystyle 3}$Se desconoce.

Las superficies tóricas lisas se caracterizan fácilmente, todas son proyectivas y provienen del abanico normal de polígonos de tal manera que en cada vértice, los dos bordes incidentes están generados por dos vectores que forman una base de${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$.

En particular, todas se obtienen a partir de explosiones consecutivas que parten del plano proyectivo complejo o de una superficie de Hirzebruch .

• Cox, David (2003), "¿Qué es una variedad tórica?" (PDF) , Temas de geometría algebraica y modelado geométrico , Matemáticas Contemporáneas, vol.  334, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. 203–223 , ISBN  0-8218-3420-7, MR 2039974 
• Miller, Ezra (2008), "¿Qué es... una variedad tórica?" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 55 (5): 586–587 , MR 2404030 

• Danilov, VI (1978), "Геометрия торических многообразий" (PDF) , Uspekhi Matematicheskikh Nauk , 33 (2): 85– 134, SEÑOR 0495499 
  • Traducido en Danilov, VI (1978), "La geometría de las variedades tóricas", Russian Mathematical Surveys , 33 (2): 97–154 , Bibcode : 1978RuMaS..33...97D , doi : 10.1070/RM1978v033n02ABEH002305

• Kempf, G.; Knudsen, Finn Faye; Mumford, David ; Saint-Donat, B. (1973), Toroidal Embeddings I , Lecture Notes in Mathematics, vol.  339, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0070318 , ISBN 978-3-540-06432-9, MR 0335518 
• Oda, Tadao (1988), Cuerpos convexos y geometría algebraica , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines (3)], vol.  15, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-17600-8, SR 0922894 
• Fulton, William (1993), Introducción a las variedades tóricas , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-00049-7
• Cox, David A.; Little, John B.; Schenck, Hal (2011), "Variedades tóricas" , Estudios de posgrado en matemáticas , 124 , ISBN 978-1-4704-7820-9{{citation}}: CS1 mantenimiento: parámetro de trabajo con ISBN ( enlace )
• Buchstaber, Victor M.; Panov, Taras E. (2015), Topología tórica , Mathematical Surveys and Monographs, vol.  204, Providence, RI: American Mathematical Society, doi : 10.1090/surv/204 , ISBN 978-1-4704-2214-1