Geometría simpléctica

La geometría simpléctica es una rama de la geometría diferencial y la topología diferencial que estudia las variedades simplécticas ; es decir, variedades diferenciables dotadas de una 2-forma cerrada y no degenerada . La geometría simpléctica tiene su origen en la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica, donde el espacio de fases de ciertos sistemas clásicos adopta la estructura de una variedad simpléctica. ^{[ 1 ]}

El término «simpléctico», adoptado en matemáticas por Hermann Weyl , ^{[ 2 ] [ 3 ]} es un calco neogriego de «complejo». Anteriormente, el « grupo simpléctico » se denominaba «grupo complejo de líneas». «Complejo» proviene del latín com-plexus , que significa «entrelazado» (co- + plexus), mientras que «simpléctico» representa el griego correspondiente sym-plektikos ( συμπλεκτικός «entrelazado o trenzado, copulativo»). En ambos casos, las raíces provienen de la raíz indoeuropea *pleḱ- , que expresa el concepto de plegar o tejer, y los prefijos sugieren «unión». El nombre refleja las profundas conexiones entre las estructuras complejas y simplécticas.

Según el teorema de Darboux , las variedades simplécticas son localmente isomorfas al espacio vectorial simpléctico estándar . Por lo tanto, solo poseen invariantes globales (topológicos). El término «topología simpléctica» se usa a menudo indistintamente con «geometría simpléctica».

La geometría simpléctica se define en un espacio liso de dimensión par que es una variedad diferenciable . En este espacio se define un objeto geométrico, la 2-forma simpléctica , que permite medir tamaños de objetos bidimensionales en el espacio . La forma simpléctica en la geometría simpléctica desempeña un papel análogo al del tensor métrico en la geometría riemanniana . Mientras que el tensor métrico mide longitudes y ángulos, la forma simpléctica mide áreas orientadas. ^{[ 4 ]}

La geometría simpléctica surgió del estudio de la mecánica clásica , y un ejemplo de estructura simpléctica es el movimiento de un objeto en una dimensión. Para especificar la trayectoria del objeto, se requieren tanto la posición q como el momento p , que forman un punto ( p , q ) en el plano euclidiano.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$En este caso, la forma simpléctica es

${\displaystyle \omega =dp\wedge dq}$

y es una forma de área que mide el área A de una región S en el plano mediante integración :

${\displaystyle A=\int _{S}\omega .}$

Esta área es importante porque, a medida que los sistemas dinámicos conservativos evolucionan en el tiempo, esta área permanece invariable. ^{[ 4 ]}

Las geometrías simplécticas de dimensiones superiores se definen de forma análoga. Una geometría simpléctica de 2n dimensiones está formada por pares de direcciones.

${\displaystyle ((x_{1},x_{2}),(x_{3},x_{4}),\ldots (x_{2n-1},x_{2n}))}$

en una variedad 2n - dimensional junto con una forma simpléctica

${\displaystyle \omega =dx_{1}\wedge dx_{2}+dx_{3}\wedge dx_{4}+\cdots +dx_{2n-1}\wedge dx_{2n}.}$

Esta forma simpléctica produce el tamaño de una región 2 n- dimensional V en el espacio como la suma de las áreas de las proyecciones de V sobre cada uno de los planos formados por los pares de direcciones ^{[ 4 ].}

${\displaystyle A=\int _{V}\omega =\int _{V}dx_{1}\wedge dx_{2}+\int _{V}dx_{3}\wedge dx_{4}+\cdots +\int _{V}dx_{2n-1}\wedge dx_{2n}.}$

La geometría riemanniana estudia las variedades diferenciables dotadas de 2-tensores simétricos no degenerados (denominados tensores métricos ). La geometría simpléctica presenta similitudes y diferencias con la geometría riemanniana.

A diferencia del caso riemanniano, las variedades simplécticas no tienen invariantes locales como la curvatura . Esto es consecuencia del teorema de Darboux , que establece que un entorno de cualquier punto de una variedad simpléctica de 2n dimensiones es isomorfo a la estructura simpléctica estándar en un conjunto abierto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$.

Otra diferencia con la geometría riemanniana es que no toda variedad diferenciable puede admitir una forma simpléctica; existen ciertas restricciones topológicas. Por ejemplo, toda variedad simpléctica es de dimensión par y orientable . Además, si M es una variedad simpléctica cerrada, entonces el segundo grupo de cohomología de de Rham H ² ( M ) no es trivial (más aún, todo grupo de cohomología de dimensión par no es trivial); esto implica, por ejemplo, que la única n- esfera que admite una forma simpléctica es la 2-esfera .

Un paralelismo que se puede establecer entre ambos temas es la analogía entre las geodésicas en la geometría riemanniana y las curvas pseudoholomórficas en la geometría simpléctica. Las geodésicas son curvas de longitud mínima (localmente), mientras que las curvas pseudoholomórficas son superficies de área mínima. Ambos conceptos desempeñan un papel fundamental en sus respectivas disciplinas.

Toda variedad de Kähler es también una variedad simpléctica. Hasta bien entrada la década de 1970, los expertos en simpléctica no estaban seguros de si existían variedades simplécticas compactas que no fueran de Kähler, pero desde entonces se han construido muchos ejemplos (el primero se debió a William Thurston ); en particular, Robert Gompf ha demostrado que todo grupo finitamente presentado aparece como el grupo fundamental de alguna 4-variedad simpléctica , en marcado contraste con el caso de Kähler.

Se puede decir que la mayoría de las variedades simplécticas no son de Kähler; por lo tanto, no poseen una estructura compleja integrable compatible con la forma simpléctica. Sin embargo, Mikhail Gromov hizo la importante observación de que las variedades simplécticas sí admiten una abundancia de estructuras casi complejas compatibles , de modo que satisfacen todos los axiomas de una variedad de Kähler, excepto el requisito de que las aplicaciones de transición sean holomorfas .

Gromov utilizó la existencia de estructuras casi complejas en variedades simplécticas para desarrollar una teoría de curvas pseudoholomorfas , ^{[ 5 ]} lo que ha dado lugar a varios avances en la topología simpléctica, incluyendo una clase de invariantes simplécticos ahora conocidos como invariantes de Gromov-Witten . Posteriormente, utilizando la técnica de curvas pseudoholomorfas, Andreas Floer inventó otra herramienta importante en geometría simpléctica conocida como homología de Floer . ^{[ 6 ]}

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• Contenido multimedia relacionado con la geometría simpléctica en Wikimedia Commons.
• "Estructura simpléctica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]