Mapa regular (teoría de grafos)

En matemáticas , una función regular es una teselación simétrica de una superficie cerrada . Más precisamente, una función regular es una descomposición de una variedad bidimensional (como una esfera , un toro o un plano proyectivo real ) en discos topológicos de modo que cada bandera (una tripleta vértice-arista-cara incidente) pueda transformarse en cualquier otra bandera mediante una simetría de la descomposición. Las funciones regulares son, en cierto sentido, generalizaciones topológicas de los sólidos platónicos . La teoría de funciones y su clasificación está relacionada con la teoría de superficies de Riemann , la geometría hiperbólica y la teoría de Galois . Las funciones regulares se clasifican según: el género y la orientabilidad de la superficie de soporte, el grafo subyacente o el grupo de automorfismos .

Los mapas regulares normalmente se definen y estudian de tres maneras: topológicamente, mediante teoría de grupos y mediante teoría de grafos.

Topológicamente, un mapa es una descomposición de 2 celdas de una 2-variedad compacta y conexa. ^[1]

El género g de una función M viene dado por la relación de Euler , que es igual a si la función es orientable y si la función no es orientable. Es un hecho crucial que existe un número finito (distinto de cero) de funciones regulares para cada género orientable, excepto el toro. ${\displaystyle \chi(M)=|V|-|E|+|F|}$${\estilo de visualización 2-2g}$${\estilo de visualización 2-g}$

En teoría de grupos, la representación de permutación de una función regular M es un grupo de permutación transitiva  C , sobre un conjunto de banderas , generado por tres involuciones libres de punto fijo r ₀ , r ₁ , r ₂ que satisfacen (r ₀ r ₂ ) ² = I. En esta definición, las caras son las órbitas de F  =  < r ₀ ,  r ₁ >, las aristas son las órbitas de E  = < r ₀ ,  r ₂ >, y los vértices son las órbitas de V  = < r ₁ ,  r ₂ >. De manera más abstracta, el grupo de automorfismos de cualquier función regular es la imagen homomórfica no degenerada de un grupo de triángulos <2,m,n> . ${\estilo de visualización \Omega}$

En teoría de grafos, un mapa es un grafo cúbico con aristas de color azul, amarillo y rojo de manera que: es conexo, cada vértice incide en una arista de cada color y los ciclos de aristas que no están coloreadas de amarillo tienen una longitud de 4. Nótese que es el grafo de banderas o el mapa codificado en grafos (GEM) del mapa, definido en el conjunto de vértices de banderas y no es el esqueleto G = (V,E) del mapa. En general, | | = 4|E|. ${\estilo de visualización \Gamma}$${\estilo de visualización \Gamma}$${\estilo de visualización \Gamma}$${\estilo de visualización \Omega}$${\estilo de visualización \Omega}$

Una función M es regular si Aut(M) actúa regularmente sobre las banderas. Aut( M ) de una función regular es transitiva sobre los vértices, aristas y caras de  M . Se dice que una función M es reflexiva si y solo si Aut( M ) es regular y contiene un automorfismo que fija tanto un vértice  v como una cara  f , pero invierte el orden de las aristas. Se dice que una función que es regular pero no reflexiva es quiral . ${\estilo de visualización \phi}$

• El gran dodecaedro es una aplicación regular con caras pentagonales en la superficie orientable de género 4.
• El hemicubo es una función regular de tipo {4,3} en el plano proyectivo .
• El hemidodecaedro es un mapa regular producido por la incrustación pentagonal del gráfico de Petersen en el plano proyectivo.
• El p- hosoedro es una función regular de tipo {2,p}.
• El mapa de Dyck es un mapa regular de 12 octágonos sobre una superficie de género 3. Su gráfico subyacente, el gráfico de Dyck , también puede formar un mapa regular de 16 hexágonos en un toro.

La siguiente es una lista completa de mapas regulares en superficies de característica de Euler positiva , χ: la esfera y el plano proyectivo. ^[2]

Las imágenes a continuación muestran tres de los 20 mapas regulares del triple toro , etiquetados con sus tipos Schläfli.

• 
  {6,4 }
• 
  {4,8 }
• 
  {8,4 }

Los mapas regulares existen como poliedros toroédricos como porciones finitas de teselaciones euclidianas, envueltas sobre la superficie de un duocilindro como un toro plano . Estos se etiquetan como {4,4} _{b , c} para aquellos relacionados con la teselación cuadrada , {4,4}. ^[4] {3,6} _{b , c} están relacionados con la teselación triangular , {3,6}, y {6,3} _{b , c} relacionados con la teselación hexagonal , {6,3}. b y c son números enteros . ^[5] Hay 2 casos especiales ( b , 0) y ( b , b ) con simetría reflexiva, mientras que los casos generales existen en pares quirales ( b , c ) y ( c , b ).

Las aplicaciones regulares de la forma {4,4} _{m ,0} se pueden representar como el poliedro oblicuo regular finito {4,4 | m }, visto como las caras cuadradas de un duoprisma m × m en 4 dimensiones.

A continuación se muestra un ejemplo de {4,4} _8,0 proyectado desde un plano como un tablero de ajedrez a una sección de cilindro y luego a un toro. La proyección desde un cilindro a un toro distorsiona la geometría en tres dimensiones, pero se puede realizar sin distorsión en cuatro dimensiones.

En poliedros toroidales generalmente regulares { p , q } _{b , c} se pueden definir si p o q son pares, aunque solo los euclidianos anteriores pueden existir como poliedros toroidales en 4 dimensiones. En {2 p , q }, las trayectorias ( b , c ) se pueden definir como escalonadas cara-arista-cara en líneas rectas, mientras que las formas duales { p ,2 q } verán las trayectorias ( b , c ) como escalonadas vértice-arista-vértice en líneas rectas.

• Teoría de grafos topológicos
• Politopo abstracto
• Gráfico planar
• Gráfica toroidal
• Incorporación de gráficos
• Azulejos regulares
• Sólido platónico
• Gráfica platónica

• Coxeter, HSM ; Moser, WOJ (1980), Generadores y relaciones para grupos discretos , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, vol. 14 (4ª ed.), Springer Verlag, ISBN 978-0-387-09212-6.
• van Wijk, Jarke J. (2009), "Azulejos simétricos de superficies cerradas: visualización de mapas regulares" (PDF) , Proc. SIGGRAPH, ACM Transactions on Graphics , 28 (3) 49: 1–12, doi :10.1145/1531326.1531355, archivado desde el original (PDF) el 2011-06-09.
• Conder, Marston ; Dobcsányi, Peter (2001), "Determinación de todos los mapas regulares de géneros pequeños", Journal of Combinatorial Theory, Serie B , 81 (2): 224–242, doi : 10.1006/jctb.2000.2008.
• Nedela, Roman (2007), Mapas, hipermapas y temas relacionados (PDF).
• Vince, Andrew (2004), "Mapas", Manual de teoría de grafos.
• Brehm, Ulrich; Schulte, Egon (2004), "Mapas poliédricos", Manual de geometría discreta y computacional.
• Séquin, Carlo (2013), "Inmersiones simétricas de mapas regulares no orientables de género bajo" (PDF) , Berkeley University.