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Problema de obstáculos

El problema del obstáculo es un ejemplo clásico que motiva el estudio matemático de las desigualdades variacionales y los problemas de frontera libre . El problema consiste en e...

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El problema del obstáculo es un ejemplo clásico que motiva el estudio matemático de las desigualdades variacionales y los problemas de frontera libre . El problema consiste en encontrar la posición de equilibrio de una membrana elástica cuyo límite se mantiene fijo y que está restringida a situarse por encima de un obstáculo dado. Está profundamente relacionado con el estudio de las superficies mínimas y la capacidad de un conjunto en la teoría del potencial . Entre sus aplicaciones se incluyen el estudio de la filtración de fluidos en medios porosos, el calentamiento restringido, la elastoplasticidad, el control óptimo y las matemáticas financieras. [ 1 ]

La formulación matemática del problema consiste en buscar minimizadores del funcional de energía de Dirichlet ,

J=∫D|∇tú|2dincógnita{\displaystyle \displaystyle J=\int _{D}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x}

en algunos dominiosD{\displaystyle D}donde las funcionestú{\displaystyle u}representan el desplazamiento vertical de la membrana. Además de satisfacer las condiciones de contorno de Dirichlet correspondientes al contorno fijo de la membrana, las funcionestú{\displaystyle u}Además, están restringidos a ser mayores que una función de obstáculo dada.ϕ(incógnita){\displaystyle \phi (x)}La solución se divide en una región donde la solución es igual a la función del obstáculo, conocida como conjunto de contacto, y una región donde la solución está por encima del obstáculo. La interfaz entre ambas regiones es el límite libre.

En general, la solución es continua y posee derivadas primeras continuas de Lipschitz , pero presenta discontinuidad en las derivadas segundas a través de la frontera libre. Dicha frontera se caracteriza por ser una superficie continua de Hölder , salvo en ciertos puntos singulares que se encuentran en una variedad diferenciable.

Nota histórica

Qualche tempo dopo Stampacchia, partendo siempre desde su disequazione variazionale, aperse un nuevo campo di ricerche che si rivelò importante e fecondo. Si tratta di quello che oggi è chiamato il problema dell'ostacolo . [ 2 ]

— Sandro Faedo , ( Faedo 1986 , p. 107) 

Problemas motivadores

Forma de una membrana sobre un obstáculo

El problema del obstáculo surge cuando se considera la forma que adopta una película de jabón en un dominio cuya posición límite es fija (véase el problema de Plateau ), con la restricción añadida de que la membrana está obligada a situarse por encima de algún obstáculo.ϕ(incógnita){\displaystyle \phi (x)}también en el interior del dominio. [ 3 ] En este caso, el funcional de energía que se debe minimizar es la integral del área superficial, o

J(tú)=∫D1+|∇tú|2dincógnita.{\displaystyle \displaystyle J(u)=\int _{D}{\sqrt {1+|\nabla u|^{2}}}\,\mathrm {d} x.}

Este problema puede linealizarse en el caso de pequeñas perturbaciones expandiendo el funcional de energía en términos de su serie de Taylor y tomando solo el primer término, en cuyo caso la energía a minimizar es la energía de Dirichlet estándar.

J(tú)=∫D|∇tú|2dincógnita.{\displaystyle \displaystyle J(u)=\int _ {D}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x.}

Parada óptima

El problema del obstáculo también surge en la teoría de control , específicamente en la cuestión de encontrar el tiempo de parada óptimo para un proceso estocástico con función de pagoϕ(incógnita){\displaystyle \phi (x)}.

En el caso simple en el que el proceso es movimiento browniano y se fuerza al proceso a detenerse al salir del dominio, la solución estú(incógnita){\displaystyle u(x)}del problema del obstáculo puede caracterizarse como el valor esperado de la recompensa, comenzando el proceso enincógnita{\displaystyle x}, si se sigue la estrategia de parada óptima. El criterio de parada es simplemente que uno debe detenerse al alcanzar el conjunto de contactos . [ 4 ]

Declaración formal

Supongamos que se proporcionan los siguientes datos:

  1. un dominio abierto y acotadoD⊆Rnorte{\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}con límite suave
  2. una función suaveF{\displaystyle f}en∂D{\displaystyle \partial D}(el límite deD{\displaystyle D})
  3. una función suaveφ{\displaystyle \varphi }definido en todos losD{\displaystyle D}de tal manera queφ|∂D<F{\displaystyle \varphi |_{\partial D}<f}, es decir, la restricción deφ{\displaystyle \varphi }hasta el límite deD{\displaystyle D}(su rastro ) es menor queF{\displaystyle f}.

Consideremos entonces el conjunto

K={v∈H1(D):v|∂D=F y v≥φ},{\displaystyle \displaystyle K=\left\{v\in H^{1}(D):v|_{\partial D}=f{\text{ y }}v\geq \varphi \right\},}

que es un subconjunto convexo cerrado del espacio de SobolevH1(D){\displaystyle H^{1}(D)}de funciones de cuadrado integrable con dominioD{\displaystyle D}cuyas primeras derivadas débiles son de cuadrado integrable, contienen aquellas funciones con las condiciones de contorno deseadas y cuyos valores están por encima de los del obstáculo. Una solución al problema del obstáculo es una funcióntú∈K{\displaystyle u\in K}lo que minimiza la integral de energía

J(v)=∫D|∇v|2dincógnita{\displaystyle \displaystyle J(v)=\int _ {D}|\nabla v|^{2}\mathrm {d} x}

sobre todas las funcionesv{\displaystyle v}perteneciente aK{\displaystyle K}; en símbolos

J(tú)=minv∈K⁡J(v) o tú∈ArgminK⁡J.{\displaystyle J(u)=\operatorname {min} _{v\in K}J(v){\text{ o }}u\in \operatorname {Argmin} _{K}J.}

La existencia y unicidad de dicho minimizador está asegurada por consideraciones de la teoría de espacios de Hilbert . [ 3 ] [ 5 ]

Formulaciones alternativas

Desigualdad variacional

El problema del obstáculo puede reformularse como un problema estándar en la teoría de desigualdades variacionales en espacios de Hilbert . Buscando el minimizador de energía en el conjuntoK{\displaystyle K}de funciones adecuadas es equivalente a buscar

tú∈K{\displaystyle \displaystyle u\en K}de tal manera que∫D∇tú⋅∇(v−tú)d⁡incógnita≥0∀v∈K,{\displaystyle \int _{D}{\nabla u}\cdot {\nabla (vu)}\operatorname {d} x\geq 0\qquad \forall v\in K,}

dónde⋅:Rnorte×Rnorte→R{\displaystyle \cdot :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } es el producto escalar ordinario en el espacio vectorial real de dimensión finitaRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}Este es un caso especial de la forma más general de desigualdades variacionales en espacios de Hilbert, cuyas soluciones son funcionestú{\displaystyle u}en algún subconjunto convexo cerradoK{\displaystyle K}del espacio total, de tal manera que

a(tú,v−tú)≥l(v−tú)∀v∈K.{\displaystyle \displaystyle a(u,vu)\geq l(vu)\qquad \forall v\in K.\,}

para formas bilineales coercitivas , de valor real y acotadas(v,w)↦a(v,w){\displaystyle (v,w)\mapsto a(v,w)}y funcionales lineales acotadosv↦l(v){\displaystyle v\mapsto l(v)} enH1(D){\displaystyle H^{1}(D)}. [ 6 ]

Función superarmónica mínima

Un argumento variacional muestra que, fuera del conjunto de contacto, la solución al problema del obstáculo es armónica. Un argumento similar, restringido a variaciones positivas, muestra que la solución es superarmónica en el conjunto de contacto. En conjunto, ambos argumentos implican que la solución es una función superarmónica. [ 1 ]

De hecho, una aplicación del principio del máximo muestra que la solución al problema del obstáculo es la función superarmónica menos significativa del conjunto de funciones admisibles. [ 6 ]

Propiedades de regularidad

Solución de un problema de obstáculo unidimensional. Observe cómo la solución permanece superarmónica (cóncava hacia abajo en 1-D) y hace coincidir las derivadas con el obstáculo (que es eldo1,1{\displaystyle C^{1,1}}condición)

Regularidad óptima

La solución al problema del obstáculo tienedo1,1{\displaystyle C^{1,1}}regularidad, o derivadas segundas acotadas , cuando el obstáculo mismo tiene estas propiedades. [ 7 ] Más precisamente, el módulo de continuidad de la solución y el módulo de continuidad para su derivada están relacionados con los del obstáculo.

  1. Si el obstáculoϕ(incógnita){\displaystyle \phi (x)}tiene módulo de continuidadσ(r){\displaystyle \sigma (r)}, es decir que|ϕ(incógnita)−ϕ(y)|≤σ(|incógnita−y|){\displaystyle |\phi (x)-\phi (y)|\leq \sigma (|xy|)}, entonces la solucióntú(incógnita){\displaystyle u(x)}tiene un módulo de continuidad dado pordoσ(2r){\displaystyle C\sigma (2r)}donde la constante depende únicamente del dominio y no del obstáculo.
  2. Si la primera derivada del obstáculo tiene módulo de continuidadσ(r){\displaystyle \sigma (r)}, entonces la primera derivada de la solución tiene un módulo de continuidad dado pordorσ(2r){\displaystyle Cr\sigma (2r)}, donde la constante nuevamente depende solo del dominio. [ 8 ]

Superficies planas y el límite libre

Sujeto a una condición de degeneración, los conjuntos de nivel de la diferencia entre la solución y el obstáculo,{incógnita:tú(incógnita)−ϕ(incógnita)=t}{\displaystyle \{x:u(x)-\phi (x)=t\}}parat>0{\displaystyle t>0}sondo1,α{\displaystyle C^{1,\alpha }}superficies. El límite libre, que es el límite del conjunto donde la solución encuentra el obstáculo, también esdo1,α{\displaystyle C^{1,\alpha }}excepto en un conjunto de puntos singulares, que a su vez están aislados o contenidos localmente en undo1{\displaystyle C^{1}}multicapa. [ 9 ]

Generalizaciones

La teoría del problema del obstáculo se extiende a otros operadores elípticos uniformes de divergencia [ 6 ] y sus funcionales de energía asociados. También puede generalizarse a operadores elípticos degenerados.

También resulta de interés el problema del doble obstáculo, en el que la función está restringida a situarse por encima de una función obstáculo y por debajo de otra.

El problema de Signorini es una variante del problema de obstáculos, donde se minimiza el funcional de energía sujeto a una restricción que solo existe en una superficie de una dimensión menor, lo que incluye el problema de obstáculos de frontera , donde la restricción opera en la frontera del dominio.

Los casos parabólicos y dependientes del tiempo del problema del obstáculo, así como sus variantes, también son objeto de estudio.

Véase también

Notas

  1. ^ Véase Caffarelli 1998 , p. 384 . 
  2. ↑ «Algún tiempo después, Stampacchia, partiendo de nuevo de su desigualdad variacional, abrió un nuevo campo de investigación que se reveló como importante y fructífero. Es el que ahora se denomina problema del obstáculo » (traducción al inglés). El énfasis en cursiva se debe al propio autor.
  3. ^ Véase Caffarelli 1998 , pág. 383 . 
  4. ↑ Véanse los apuntes de clase de Evans , págs. 110-114) . 
  5. ↑ Véase Kinderlehrer & Stampacchia 1980 , págs. 40–41 . 
  6. ^ Véase Kinderlehrer y Stampacchia 1980 , págs. 23–49 . 
  7. ↑ Véase Frehse 1972 .
  8. ↑ Véase Caffarelli 1998 , p. 386 . 
  9. ↑ Véase Caffarelli 1998 , págs. 394 y 397 . 

Referencias históricas

  • Faedo, Sandro (1986), "Leonida Tonelli e la scuola matematica pisana", en Montalenti, G.; Amerio, L .; Acquaro, G.; Baiada, E.; et  al. (eds.), Convegno celebrativo del centenario della nascita di Mauro Picone e Leonida Tonelli (6–9 de mayo de 1985) , Atti dei Convegni Lincei (en italiano), vol.  77, Roma: Accademia Nazionale dei Lincei , págs. 89-109 , archivado desde el original el 23 de febrero de 2011 , consultado el 12 de febrero de 2013 « Leonida Tonelli y la escuela matemática de Pisa » es un estudio de la obra de Tonelli en Pisa y su influencia en el desarrollo de la escuela, presentado en el Congreso Internacional con motivo del centenario del nacimiento de Mauro Picone y Leonida Tonelli (celebrado en Roma del 6 al 9 de mayo de 1985). El autor fue uno de sus alumnos y, tras su muerte, ocupó su cátedra de análisis matemático en la Universidad de Pisa , llegando a ser decano de la facultad de ciencias y posteriormente rector: ejerció una fuerte influencia positiva en el desarrollo de la universidad.

Referencias

  • Caffarelli, Luis (julio de 1998), "El problema del obstáculo revisitado", The Journal of Fourier Analysis and Applications , 4 ( 4–5 ): 383–402 , Bibcode : 1998JFAA....4..383C , doi : 10.1007/BF02498216 , MR 1658612 , S2CID 123431389 , Zbl 0928.49030   
  • Evans, Lawrence , Introducción a las ecuaciones diferenciales estocásticas (PDF) , pág.  130, archivado del original (PDF) el 18 de julio de 2011 , consultado el 11 de julio de 2011.Un conjunto de apuntes de clase que ofrecen un panorama general, " sin entrar en demasiados detalles precisos, de la teoría básica de la probabilidad, las ecuaciones diferenciales aleatorias y algunas aplicaciones ", como afirma el propio autor.
  • Frehse, Jens (1972), "Sobre la regularidad de la solución de una desigualdad variacional de segundo orden", Bolletino della Unione Matematica Italiana , Serie IV, vol.  6, pp. 312–315 , MR 0318650 , Zbl 0261.49021   .
  • Friedman, Avner (1982), Principios variacionales y problemas de frontera libre , Matemáticas puras y aplicadas, Nueva York: John Wiley & Sons , págs.  ix+710, ISBN 0-471-86849-3, MR 0679313 , Zbl 0564.49002  .
  • Kinderlehrer, David ; Stampacchia, Guido (1980), Introducción a las desigualdades variacionales y sus aplicaciones , Matemáticas puras y aplicadas, vol.  88, Nueva York: Academic Press , pp.  xiv+313, ISBN 0-12-407350-6, MR 0567696 , Zbl 0457.35001  
  • Petrosyan, Arshak; Shahgholian, Henrik; Uraltseva, Nina (2012), Regularidad de fronteras libres en problemas de tipo obstáculo. Estudios de posgrado en matemáticas , Sociedad Matemática Americana, Providence, RI, ISBN 978-0-8218-8794-3
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