Desigualdad variacional

Este es un problema de ejemplo estándar, reportado por Antman (1983 , p. 283) : considérese el problema de encontrar el valor mínimo de una función diferenciable. ${\displaystyle f}$durante un intervalo cerrado${\displaystyle I=[a,b]}$. Dejar${\displaystyle x^{\ast }}$ser un punto en${\displaystyle I}$donde se produce el mínimo. Pueden darse tres casos:

1. si${\displaystyle a<x^{\ast }<b,}$entonces${\displaystyle f^{\prime }(x^{\ast })=0;}$
2. si${\displaystyle x^{\ast }=a,}$entonces${\displaystyle f^{\prime }(x^{\ast })\geq 0;}$
3. si${\displaystyle x^{\ast }=b,}$entonces${\displaystyle f^{\prime }(x^{\ast })\leq 0.}$

Estas condiciones necesarias pueden resumirse como el problema de encontrar ${\displaystyle x^{\ast }\in I}$de tal manera que

${\displaystyle f^{\prime }(x^{\ast })(yx^{\ast })\geq 0\quad }$para${\displaystyle \quad \forall y\in I.}$

Se debe buscar el mínimo absoluto entre las soluciones (si hay más de una) de la desigualdad anterior : tenga en cuenta que la solución es un número real , por lo tanto, se trata de una desigualdad variacional de dimensión finita.

Una formulación del problema general en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ es lo siguiente: dado un subconjunto${\displaystyle K}$de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ y un mapeo${\displaystyle F\colon K\to \mathbb {R} }$, el problema de desigualdad variacional de dimensión finita asociado con${\displaystyle K}$ consisten en encontrar un${\displaystyle n}$vector de -dimensiones${\displaystyle x}$perteneciente a ${\displaystyle K}$de tal manera que

${\displaystyle \langle \nabla F(x),yx\rangle \geq 0\qquad \forall y\in K}$

dónde${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$es el producto interno estándar en el espacio vectorial${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

En el estudio histórico ( Fichera 1995 ) , Gaetano Fichera describe la génesis de su solución al problema de Signorini : el problema consiste en encontrar la configuración de equilibrio elástico .${\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=\left(u_{1}({\boldsymbol {x}}),u_{2}({\boldsymbol {x}}),u_{3}({\boldsymbol {x}})\right)}$ de un cuerpo elástico no homogéneo anisotrópico que se encuentra en un subconjunto${\displaystyle A}$del espacio euclidiano tridimensional cuyo límite es${\displaystyle \partial A}$, apoyado sobre una superficie rígida sin fricción y sujeto únicamente a las fuerzas de su masa . La solución${\displaystyle u}$del problema existe y es único (bajo supuestos precisos) en el conjunto de desplazamientos admisibles${\displaystyle {\mathcal {U}}_{\Sigma}}$ es decir, el conjunto de vectores de desplazamiento que satisfacen el sistema de condiciones de contorno ambiguas si y solo si

${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {u}})-F({\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {u}})\geq 0\qquad \forall {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

dónde${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})}$ y${\displaystyle F({\boldsymbol {v}})}$ son los siguientes funcionales , escritos utilizando la notación de Einstein

${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})=-\int _{A}\sigma _{ik}({\boldsymbol {u}})\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {v}})\,\mathrm {d} x}$,   ${\displaystyle F({\boldsymbol {v}})=\int _{A}v_{i}f_{i}\,\mathrm {d} x+\int _{\partial A\setminus \Sigma }\!\!\!\!\!v_{i}g_{i}\,\mathrm {d} \sigma }$,   ${\displaystyle {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

donde, para todos${\displaystyle {\boldsymbol {x}}\in A}$,

• ${\displaystyle \Sigma }$es la superficie de contacto (o más generalmente un conjunto de contactos ),
• ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {x}})=\left(f_{1}({\boldsymbol {x}}),f_{2}({\boldsymbol {x}}),f_{3}({\boldsymbol {x}})\right)}$es la fuerza corporal aplicada al cuerpo,
• ${\displaystyle {\boldsymbol {g}}({\boldsymbol {x}})=\left(g_{1}({\boldsymbol {x}}),g_{2}({\boldsymbol {x}}),g_{3}({\boldsymbol {x}})\right)}$es la fuerza superficial aplicada a${\displaystyle \partial A\!\setminus \!\Sigma }$,
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}({\boldsymbol {u}})=\left(\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {u}})\right)=\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}\right)\right)}$es el tensor de deformación infinitesimal ,
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left(\sigma _{ik}\right)}$es el tensor de tensiones de Cauchy , definido como

${\displaystyle \sigma _{ik}=-{\frac {\partial W}{\partial \varepsilon _{ik}}}\qquad \forall i,k=1,2,3}$

dónde${\displaystyle W({\boldsymbol {\varepsilon }})=a_{ikjh}({\boldsymbol {x}})\varepsilon _{ik}\varepsilon _{jh}}$ es la energía potencial elástica y${\displaystyle {\boldsymbol {a}}({\boldsymbol {x}})=\left(a_{ikjh}({\boldsymbol {x}})\right)}$es el tensor de elasticidad .

• Antman, Stuart (1983), "La influencia de la elasticidad en el análisis: desarrollos modernos", Bulletin of the American Mathematical Society , 9 (3): 267–291 , doi : 10.1090/S0273-0979-1983-15185-6 , MR 0714990 , Zbl 0533.73001  . Un artículo histórico sobre la fructífera interacción entre la teoría de la elasticidad y el análisis matemático : la creación de la teoría de las desigualdades variacionales por Gaetano Fichera se describe en el §5, páginas 282-284.
• Duvaut, Georges (1971), "Problèmes unilatéraux en mécanique des milieux continus" , Actes du Congrès international des mathématiciens, 1970 , ICM Proceedings , vol.  Mathématiques appliquées (E), Histoire et Enseignement (F) – Volumen 3, París : Gauthier-Villars , págs. 71–78 , archivado desde el original (PDF) el 25 de julio de 2015 , consultado el 25 de julio de 2015 . Un breve estudio de investigación que describe el campo de las desigualdades variacionales, precisamente el subcampo de los problemas de mecánica de medios continuos con restricciones unilaterales.
• Fichera, Gaetano (1995), "La nascita della teoria delle disequazioni variazionali ricordata dopo trent'anni", Incontro Scientifico italo-spagnolo. Roma, 21 de octubre de 1993 , Atti dei Convegni Lincei (en italiano), vol.  114, Roma : Accademia Nazionale dei Lincei , págs. 47-53 El nacimiento de la teoría de las desigualdades variacionales recordado treinta años después (traducción al inglés del título) es un artículo histórico que describe los inicios de la teoría de las desigualdades variacionales desde el punto de vista de su fundador .

• Facchinei, Francisco; Pang, Jong-Shi (2003), Desigualdades variacionales de dimensión finita y problemas de complementariedad, Vol. 1 , Springer Series in Operations Research, Berlín – Heidelberg – Nueva York : Springer-Verlag , ISBN 0-387-95580-1, Zbl 1062.90001 
• Facchinei, Francisco; Pang, Jong-Shi (2003), Desigualdades variacionales de dimensión finita y problemas de complementariedad, Vol. 2 , Springer Series in Operations Research, Berlín – Heidelberg – Nueva York : Springer-Verlag , ISBN 0-387-95581-X, Zbl 1062.90001 
• Fichera, Gaetano (1963), "Sul problema elastostatico di Signorini con ambigue condizioni al contorno" [ Sobre el problema elastostático de Signorini con condiciones de contorno ambiguas ] , Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , 8 (en italiano), 34 (2): 138– 142, MR 0176661 , Zbl 0128.18305  Una breve nota de investigación que anuncia y describe (sin demostraciones) la solución del problema de Signorini.
• Fichera, Gaetano (1964a), "Problemi elastostatici con vincoli unilaterali: il problema di Signorini con ambigue condizioni al contorno" [ Problemas elastostáticos con restricciones unilaterales: el problema de Signorini con condiciones de contorno ambiguas ] , Memorie della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , 8 (en italiano), 7 (2): 91– 140, Zbl 0146.21204 Este es el primer artículo donde se demuestra un teorema de existencia y unicidad para el problema de Signorini.
• Fichera, Gaetano (1964b), "Problemas elastostáticos con restricciones unilaterales: el problema de Signorini con condiciones de contorno ambiguas", Seminari dell'istituto Nazionale di Alta Matematica 1962–1963 , Roma : Edizioni Cremonese, págs . . Una traducción al inglés de ( Fichera 1964a ) .
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• Stampacchia, Guido (1964), "Formes bilineaires coercitives sur les ensembles convexes" , Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences , 258 : 4413– 4416, Zbl 0124.06401 , disponible en Gallica . El artículo que contiene la generalización de Stampacchia del teorema de Lax-Milgram .