Problema de los señores

El problema de Signorini es un problema de elastoestática de elasticidad lineal : consiste en encontrar la configuración de equilibrio elástico de un cuerpo elástico anisotrópico no homogéneo , que reposa sobre una superficie rígida sin fricción y está sujeto únicamente a las fuerzas de su masa . El nombre fue acuñado por Gaetano Fichera en honor a su maestro, Antonio Signorini : el nombre original acuñado por él es problema con condiciones de contorno ambiguas .

—  Gaetano Fichera , (Fichera 1995, p. 49)

El problema fue planteado por Antonio Signorini durante un curso impartido en el Istituto Nazionale di Alta Matematica en 1959, publicado posteriormente como artículo (Signorini 1959), ampliando una breve exposición previa que dio en una nota publicada en 1933. Signorini (1959, p. 128) lo llamó el propio problema con condiciones de contorno ambiguas , ^[2] ya que hay dos conjuntos alternativos de condiciones de contorno que la solución debe satisfacer en cualquier punto de contacto dado . El enunciado del problema implica no sólo igualdades sino también desigualdades , y no se sabe a priori cuál de los dos conjuntos de condiciones de contorno se satisface en cada punto . Signorini pidió determinar si el problema está bien planteado o no en un sentido físico, es decir, si su solución existe y es única o no: invitó explícitamente a los jóvenes analistas a estudiar el problema. ^[3]

Al curso asistieron Gaetano Fichera y Mauro Picone , y Fichera comenzó a investigar el problema: como no encontró referencias a problemas similares en la teoría de problemas de valores en la frontera , ^[4] decidió abordarlo partiendo de los primeros principios , específicamente del principio del trabajo virtual .

Durante las investigaciones de Fichera sobre el problema, Signorini comenzó a sufrir serios problemas de salud; sin embargo, deseaba saber la respuesta a su pregunta antes de morir. Picone, que estaba unido a Signorini por una fuerte amistad, comenzó a perseguir a Fichera para encontrar una solución: el propio Fichera, que también estaba unido a Signorini por sentimientos similares, percibió los últimos meses de 1962 como días preocupantes. ^[5] Finalmente, en los primeros días de enero de 1963, Fichera pudo dar una prueba completa de la existencia de una solución única para el problema con condiciones de contorno ambiguas, que llamó el "problema de Signorini" en honor a su maestro. Un anuncio preliminar de investigación, publicado más tarde como (Fichera 1963), fue escrito y enviado a Signorini exactamente una semana antes de su muerte. Signorini expresó gran satisfacción por ver una solución a su pregunta.
Unos días más tarde, Signorini tuvo con su médico de familia , Damiano Aprile, la conversación citada anteriormente. ^[6]

La solución del problema de Signorini coincide con el nacimiento del campo de las desigualdades variacionales . ^[7]

El contenido de esta sección y las subsecciones siguientes sigue de cerca el tratamiento de Gaetano Fichera en Fichera 1963, Fichera 1964b y también Fichera 1995: su derivación del problema es diferente de la de Signorini en que no considera solo cuerpos incompresibles y una superficie plana en reposo , como lo hace Signorini. ^[8] El problema consiste en encontrar el vector de desplazamiento a partir de la configuración natural de un cuerpo elástico anisotrópico no homogéneo que se encuentra en un subconjunto del espacio euclidiano tridimensional cuyo límite es y cuya normal interior es el vector , que descansa sobre una superficie rígida sin fricción cuya superficie de contacto (o más generalmente conjunto de contacto ) es y está sujeta solo a sus fuerzas corporales , y fuerzas superficiales aplicadas sobre la superficie libre (es decir, no en contacto con la superficie en reposo) : el conjunto y la superficie de contacto caracterizan la configuración natural del cuerpo y se conocen a priori. Por lo tanto, el cuerpo tiene que satisfacer las ecuaciones de equilibrio general.${\displaystyle \scriptstyle {\boldsímbolo {u}}({\boldsímbolo {x}})=\left(u_{1}({\boldsímbolo {x}}),u_{2}({\boldsímbolo {x}}),u_{3}({\boldsímbolo {x}})\right)}$ ${\estilo de visualización A}$ ${\displaystyle \scriptstyle \parcial A}$ ${\estilo de visualización n}$ ${\estilo de visualización \Sigma}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsímbolo {f}}({\boldsímbolo {x}})=\left(f_{1}({\boldsímbolo {x}}),f_{2}({\boldsímbolo {x}}),f_{3}({\boldsímbolo {x}})\right)}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsímbolo {g}}({\boldsímbolo {x}})=\left(g_{1}({\boldsímbolo {x}}),g_{2}({\boldsímbolo {x}}),g_{3}({\boldsímbolo {x}})\right)}$${\displaystyle \scriptstyle \partial A\setminus \Sigma }$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización \Sigma}$

(1)     ${\displaystyle \qquad {\frac {\partial \sigma _{ik}}{\partial x_{k}}}-f_{i}=0\qquad {\text{para }}i=1,2,3}$

escrito usando la notación de Einstein como todo en el siguiente desarrollo, las condiciones de contorno ordinarias en${\displaystyle \scriptstyle \partial A\setminus \Sigma }$

(2)     ${\displaystyle \qquad \sigma _{ik}n_{k}-g_{i}=0\qquad {\text{para }}i=1,2,3}$

y los dos conjuntos siguientes de condiciones de contorno en , donde es el tensor de tensiones de Cauchy . Obviamente, las fuerzas del cuerpo y las fuerzas de superficie no pueden darse de manera arbitraria sino que deben satisfacer una condición para que el cuerpo alcance una configuración de equilibrio: esta condición se deducirá y analizará en el siguiente desarrollo. ${\estilo de visualización \Sigma}$${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {u}})}$

Si es cualquier vector tangente al conjunto de contacto , entonces las condiciones de contorno ambiguas en cada punto de este conjunto se expresan mediante los siguientes dos sistemas de desigualdades${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\tau }}=(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3})}$ ${\estilo de visualización \Sigma}$

(3)      o (4)${\displaystyle \quad {\begin{cases}u_{i}n_{i}&=0\\\sigma _{ik}n_{i}n_{k}&\geq 0\\\sigma _{ik}n_{i}\tau _{k}&=0\end{cases}}}$               ${\displaystyle {\begin{cases}u_{i}n_{i}&>0\\\sigma _{ik}n_{i}n_{k}&=0\\\sigma _{ik}n_{i}\tau _{k}&=0\end{cases}}}$

Analicemos su significado:

• Cada conjunto de condiciones consta de tres relaciones , igualdades o desigualdades , y todos los segundos miembros son la función cero .
• Las cantidades en el primer miembro de cada primera relación son proporcionales a la norma del componente del vector de desplazamiento dirigido a lo largo del vector normal .${\displaystyle n}$
• Las cantidades en el primer miembro de cada segunda relación son proporcionales a la norma del componente del vector de tensión dirigido a lo largo del vector normal ,${\displaystyle n}$
• Las cantidades en el primer miembro de cada tercera relación son proporcionales a la norma del componente del vector de tensión a lo largo de cualquier vector tangente en el punto dado al conjunto de contacto .${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \Sigma }$
• Las cantidades en el primer miembro de cada una de las tres relaciones son positivas si tienen el mismo sentido del vector al que son proporcionales , mientras que son negativas si no, por lo tanto las constantes de proporcionalidad son respectivamente y .${\displaystyle \scriptstyle +1}$${\displaystyle \scriptstyle -1}$

Conocidos estos hechos, el conjunto de condiciones (3) se aplica a puntos del borde del cuerpo que no salen del conjunto de contacto en la configuración de equilibrio , ya que, según la primera relación , el vector desplazamiento no tiene componentes dirigidas como el vector normal , mientras que, según la segunda relación, el vector tensión puede tener una componente dirigida como el vector normal y que tenga el mismo sentido . De manera análoga, el conjunto de condiciones (4) se aplica a puntos del borde del cuerpo que salen de dicho conjunto en la configuración de equilibrio, ya que el vector desplazamiento tiene una componente dirigida como el vector normal , mientras que el vector tensión no tiene componentes dirigidas como el vector normal . Para ambos conjuntos de condiciones, el vector tensión no tiene componente tangente al conjunto de contacto , según la hipótesis de que el cuerpo reposa sobre una superficie rígida sin fricción .${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle u}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Cada sistema expresa una restricción unilateral , en el sentido de que expresan la imposibilidad física del cuerpo elástico de penetrar en la superficie donde reposa: la ambigüedad no está sólo en los valores desconocidos que deben satisfacer las magnitudes no nulas en el conjunto de contacto , sino también en el hecho de que no se sabe a priori si un punto perteneciente a ese conjunto satisface el sistema de condiciones de contorno (3) o (4) . El conjunto de puntos donde se satisface (3) se denomina área de apoyo del cuerpo elástico sobre , mientras que su complemento respecto de se denomina área de separación . ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma }$

La formulación anterior es general , ya que el tensor de tensiones de Cauchy , es decir, la ecuación constitutiva del cuerpo elástico, no se ha hecho explícita: es igualmente válida suponiendo la hipótesis de elasticidad lineal o las de elasticidad no lineal . Sin embargo, como se desprende de los siguientes desarrollos, el problema es inherentemente no lineal , por lo que suponer un tensor de tensiones lineal no simplifica el problema .

La forma asumida por Signorini y Fichera para la energía potencial elástica es la siguiente (como en los desarrollos anteriores, se adopta la notación de Einstein )

${\displaystyle W({\boldsymbol {\varepsilon }})=a_{ik,jh}({\boldsymbol {x}})\varepsilon _{ik}\varepsilon _{jh}}$

dónde

• ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {a}}({\boldsymbol {x}})=\left(a_{ik,jh}({\boldsymbol {x}})\right)}$es el tensor de elasticidad
• ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}({\boldsymbol {u}})=\left(\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {u}})\right)=\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}\right)\right)}$es el tensor de deformación infinitesimal

El tensor de tensión de Cauchy tiene por tanto la siguiente forma

(5)     ${\displaystyle \sigma _{ik}=-{\frac {\partial W}{\partial \varepsilon _{ik}}}\qquad {\text{for }}i,k=1,2,3}$

y es lineal con respecto a los componentes del tensor de deformación infinitesimal; sin embargo, no es homogéneo ni isótropo .

En cuanto a la sección sobre el enunciado formal del problema de Signorini, el contenido de esta sección y las subsecciones incluidas siguen de cerca el tratamiento de Gaetano Fichera en Fichera 1963, Fichera 1964b, Fichera 1972 y también Fichera 1995: obviamente, la exposición se centra en los pasos básicos de la prueba de la existencia y unicidad para la solución de los problemas (1) , (2) , (3) , (4) y (5) , más que en los detalles técnicos.

El primer paso del análisis de Fichera así como el primer paso del análisis de Antonio Signorini en Signorini 1959 es el análisis de la energía potencial , es decir la siguiente función

(6)      ${\displaystyle I({\boldsymbol {u}})=\int _{A}W({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {\varepsilon }})\mathrm {d} x-\int _{A}u_{i}f_{i}\mathrm {d} x-\int _{\partial A\setminus \Sigma }u_{i}g_{i}\mathrm {d} \sigma }$

donde pertenece al conjunto de desplazamientos admisibles , es decir, al conjunto de vectores de desplazamiento que satisfacen el sistema de condiciones de contorno (3) o (4) . El significado de cada uno de los tres términos es el siguiente ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

• La primera es la energía potencial elástica total del cuerpo elástico.
• La segunda es la energía potencial total debida a las fuerzas del cuerpo , por ejemplo, la fuerza gravitacional.
• La tercera es la energía potencial debida a las fuerzas superficiales , por ejemplo las fuerzas ejercidas por la presión atmosférica.

Signorini (1959, pp. 129-133) fue capaz de demostrar que el desplazamiento admisible que minimiza la integral es una solución del problema con condiciones de contorno ambiguas (1) , (2) , (3) , (4) y (5) , siempre que sea una función apoyada en la clausura del conjunto : sin embargo, Gaetano Fichera dio una clase de contraejemplos en (Fichera 1964b, pp. 619-620) mostrando que en general, los desplazamientos admisibles no son funciones suaves de esta clase. Por lo tanto, Fichera intenta minimizar el funcional (6) en un espacio de funciones más amplio : al hacerlo, primero calcula la primera variación (o derivada funcional ) del funcional dado en la vecindad del desplazamiento admisible minimizador buscado , y luego requiere que sea mayor o igual a cero.${\displaystyle u}$${\displaystyle I(u)}$${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\bar {A}}}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {u}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}I({\boldsymbol {u}}+t{\boldsymbol {v}})\right\vert _{t=0}=-\int _{A}\sigma _{ik}({\boldsymbol {u}})\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {v}})\mathrm {d} x-\int _{A}v_{i}f_{i}\mathrm {d} x-\int _{\partial A\setminus \Sigma }\!\!\!\!\!v_{i}g_{i}\mathrm {d} \sigma \geq 0\qquad \forall {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

Definición de las siguientes funciones

${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})=-\int _{A}\sigma _{ik}({\boldsymbol {u}})\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {v}})\mathrm {d} x\qquad {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

y

${\displaystyle F({\boldsymbol {v}})=\int _{A}v_{i}f_{i}\mathrm {d} x+\int _{\partial A\setminus \Sigma }\!\!\!\!\!v_{i}g_{i}\mathrm {d} \sigma \qquad {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

La desigualdad anterior se puede escribir como

(7)      ${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})-F({\boldsymbol {v}})\geq 0\qquad \forall {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

Esta desigualdad es la desigualdad variacional del problema de Signorini .

• Elasticidad lineal
• Desigualdad variacional

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• Fichera, Gaetano (2004), Opere scelte [ Obras seleccionadas ], Firenze : Edizioni Cremonese (distribuida por Unione Matematica Italiana ), págs. XXIX+432 (vol. 1), págs. VI+570 (vol. 2), págs. VI+583 (vol. 3), archivado desde el original el 28 de diciembre de 2009, ISBN 88-7083-811-0 (vol. 1), ISBN 88-7083-812-9 (vol. 2), ISBN 88-7083-813-7 (vol. 3). Tres volúmenes que recogen los trabajos matemáticos más importantes de Gaetano Fichera, con una reseña biográfica de Olga A. Oleinik .   
• Signorini, Antonio (1991), Opere scelte [ Obras seleccionadas ], Firenze : Edizioni Cremonese (distribuido por Unione Matematica Italiana ), págs. XXXI + 695, archivado desde el original el 28 de diciembre de 2009. Un volumen que recoge las obras más importantes de Antonio Signorini con una introducción y un comentario de Giuseppe Grioli.

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