Principio de d'Alembert

El principio de D'Alembert , también conocido como principio de Lagrange-d'Alembert , es un enunciado de las leyes clásicas fundamentales del movimiento. Recibe su nombre de su descubridor, el físico y matemático francés Jean le Rond d'Alembert , y del matemático ítalo-francés Joseph Louis Lagrange . El principio de D'Alembert generaliza el principio del trabajo virtual de sistemas estáticos a dinámicos mediante la introducción de fuerzas de inercia que, al sumarse a las fuerzas aplicadas en un sistema, dan como resultado un equilibrio dinámico . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

El principio de D'Alembert puede aplicarse en casos de restricciones cinemáticas que dependen de las velocidades. ^{[ 1 ] : 92} El principio no se aplica a desplazamientos irreversibles, como la fricción por deslizamiento , y se requiere una especificación más general de la irreversibilidad. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

El principio establece que la suma de las diferencias entre las fuerzas que actúan sobre un sistema de partículas masivas y las derivadas temporales de los momentos del propio sistema proyectadas sobre cualquier desplazamiento virtual consistente con las restricciones del sistema es cero. Así, en notación matemática, el principio de d'Alembert se escribe de la siguiente manera: $${\displaystyle \sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}-{\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0,}$$

dónde:

• ${\displaystyle i}$es un número entero que se utiliza para indicar (mediante un subíndice) una variable que corresponde a una partícula particular en el sistema,
• ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$es la fuerza total aplicada (excluyendo las fuerzas de restricción) sobre el${\displaystyle i}$-ésima partícula,
• ${\displaystyle m_{i}}$es la masa de la${\displaystyle i}$-ésima partícula,
• ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$es la velocidad de la${\displaystyle i}$-ésima partícula,
• ${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}}$es el desplazamiento virtual de la${\displaystyle i}$partícula -ésima, de acuerdo con las restricciones.

La notación de puntos de Newton se utiliza para representar la derivada con respecto al tiempo. La ecuación anterior se suele llamar principio de d'Alembert, pero fue escrita por primera vez en esta forma variacional por Joseph Louis Lagrange . ^{[ 5 ]} La contribución de d'Alembert fue demostrar que en la totalidad de un sistema dinámico las fuerzas de restricción se desvanecen. Es decir, que las fuerzas generalizadas${\displaystyle \mathbf {Q} _ {j}}$No es necesario incluir fuerzas de restricción. Es equivalente al principio de Gauss de mínima restricción, que es algo más engorroso .

D'Alembert demostró que un cuerpo rígido acelerado puede transformarse en un sistema estático equivalente mediante la suma de la denominada " fuerza inercial " y el "par inercial" o momento. La fuerza inercial debe actuar a través del centro de masa, mientras que el par inercial puede actuar en cualquier punto. El sistema puede entonces analizarse exactamente como un sistema estático sometido a esta "fuerza y ​​momento inerciales" y a las fuerzas externas. La ventaja reside en que, en el sistema estático equivalente, se pueden tomar momentos respecto a cualquier punto (no solo al centro de masa). Esto suele simplificar los cálculos, ya que cualquier fuerza (a su vez) puede eliminarse de las ecuaciones de momento eligiendo el punto adecuado respecto al cual aplicar la ecuación de momento (suma de momentos = cero). Incluso en los cursos de Fundamentos de Dinámica y Cinemática de máquinas, este principio ayuda a analizar las fuerzas que actúan sobre un eslabón de un mecanismo cuando está en movimiento. En los libros de texto de dinámica de ingeniería, a veces se le denomina principio de D'Alembert .

Algunos educadores advierten que los intentos de usar la mecánica inercial de d'Alembert llevan a los estudiantes a cometer frecuentes errores de signo. ^{[ 10 ]} Una posible causa de estos errores es el signo de las fuerzas inerciales . Las fuerzas inerciales se pueden usar para describir una fuerza aparente en un sistema de referencia no inercial que tiene una aceleración${\displaystyle \mathbf {a} }$con respecto a un sistema de referencia inercial . En un sistema de referencia no inercial, una masa que está en reposo y tiene aceleración cero en un sistema de referencia inercial, porque no actúan fuerzas sobre ella, seguirá teniendo una aceleración.${\displaystyle -\mathbf {a} }$y una fuerza inercial aparente, o pseudo o ficticia.${\displaystyle -m\mathbf {a} }$parecerá actuar sobre ella: en esta situación la fuerza de inercia tiene un signo negativo. ^{[ 10 ]}

La formulación de D'Alembert del principio del trabajo virtual establece que un sistema de cuerpos rígidos está en equilibrio dinámico cuando el trabajo virtual de la suma de las fuerzas aplicadas y las fuerzas de inercia es cero para cualquier desplazamiento virtual del sistema. Por lo tanto, el equilibrio dinámico de un sistema de${\displaystyle n}$cuerpos rígidos con${\displaystyle m}$Las coordenadas generalizadas requieren $${\displaystyle \delta W=\left(Q_{1}+Q_{1}^{*}\right)\delta q_{1}+\dots +\left(Q_{m}+Q_{m}^{*}\right)\delta q_{m}=0,}$$ para cualquier conjunto de desplazamientos virtuales${\displaystyle \delta q_{j}}$con${\displaystyle Q_{j}}$siendo una fuerza aplicada generalizada y ${\displaystyle Q_{j}^{*}}$siendo una fuerza de inercia generalizada. Esta condición produce${\displaystyle m}$ecuaciones, $${\displaystyle Q_{j}+Q_{j}^{*}=0,\quad j=1,\ldots ,m,}$$ que también se puede escribir como $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=Q_{j},\quad j=1,\ldots ,m.}$$ El resultado es un conjunto de m ecuaciones de movimiento que definen la dinámica del sistema de cuerpo rígido.

El principio de D'Alembert puede reescribirse en términos del lagrangiano.${\displaystyle L=T-V}$del sistema como una versión generalizada del principio de Hamilton para el caso de partículas puntuales, como sigue: $${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)dt+\sum _{i}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}dt=0,}$$ dónde:

• ${\displaystyle \mathbf {r} =(\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{N})}$

• ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$son las fuerzas aplicadas

• ${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}}$es el desplazamiento virtual de la${\displaystyle i}$partícula -ésima, consistente con las restricciones${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$
• La curva crítica satisface las restricciones.${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}=0}$

Con el lagrangiano $${\displaystyle L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}^{2},}$$ Se recupera la formulación anterior del principio de d'Alembert.

Una extensión del principio de d'Alembert puede utilizarse en termodinámica. ^{[ 4 ]} Por ejemplo, para un sistema termodinámico cerrado adiabáticamente descrito por un lagrangiano que depende de una única entropía S y con masas constantes${\displaystyle m_{i}}$, como $${\displaystyle L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},S,t)=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}^{2}-V(\mathbf {r} ,S),}$$ Se escribe de la siguiente manera $${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},S,t)dt+\sum _{i}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}dt=0,}$$ donde las restricciones anteriores${\textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$y${\textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}=0}$se generalizan para incluir la entropía como:

• ${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+T\delta S=0}$
• ${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}+T{\dot {S}}=0.}$

Aquí${\displaystyle T=\partial V/\partial S}$es la temperatura del sistema,${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$son las fuerzas externas,${\displaystyle \mathbf {C} _{i}}$son las fuerzas disipativas internas. Esto da como resultado las ecuaciones de equilibrio mecánico y térmico: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle m_{i}\mathbf {a} _{i}=-{\frac {\partial V}{\partial \mathbf {r} _{i}}}+\mathbf {C} _{i}+\mathbf {F} _{i},\;\;i=1,...,N\qquad \qquad T{\dot {S}}=-\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}.}$$ Entre las aplicaciones típicas de este principio se incluyen los sistemas termomecánicos, el transporte a través de membranas y las reacciones químicas.

Para${\displaystyle \delta S={\dot {S}}=0}$Se recuperan el principio y las ecuaciones clásicas de d'Alembert.