Trabajo virtual

En mecánica , el trabajo virtual surge de la aplicación del principio de mínima acción al estudio de las fuerzas y el movimiento de un sistema mecánico . El trabajo que realiza una fuerza sobre una partícula mientras se desplaza es diferente para cada desplazamiento. Entre todos los posibles desplazamientos que puede seguir una partícula, denominados desplazamientos virtuales , uno minimizará la acción . Este desplazamiento es, por lo tanto, el que sigue la partícula según el principio de mínima acción.

El trabajo que una fuerza ejerce sobre una partícula a lo largo de un desplazamiento virtual se conoce como trabajo virtual.

Históricamente, el trabajo virtual y el cálculo de variaciones asociado se formularon para analizar sistemas de cuerpos rígidos, ^{[ 1 ]} pero también se han desarrollado para el estudio de la mecánica de cuerpos deformables. ^{[ 2 ]}

El principio del trabajo virtual se había utilizado de alguna forma desde la antigüedad en el estudio de la estática. Fue empleado por los griegos, los árabes y latinos medievales, y los italianos del Renacimiento como «la ley de la palanca». ^{[ 3 ]} La idea del trabajo virtual fue invocada por muchos físicos notables del siglo XVII, como Galileo, Descartes, Torricelli, Wallis y Huygens, con distintos grados de generalidad, al resolver problemas de estática. ^{[ 3 ]} Trabajando con conceptos leibnizianos, Johann Bernoulli sistematizó el principio del trabajo virtual y explicitó el concepto de desplazamiento infinitesimal. Logró resolver problemas tanto para cuerpos rígidos como para fluidos. La versión de Bernoulli de la ley del trabajo virtual apareció en su carta a Pierre Varignon en 1715, que posteriormente se publicó en el segundo volumen de Nouvelle mécanique ou Statique de Varignon en 1725. Esta formulación del principio se conoce hoy como el principio de las velocidades virtuales y se considera comúnmente como el prototipo de los principios contemporáneos del trabajo virtual. ^{[ 3 ]} En 1743, D'Alembert publicó su Traité de Dynamique, donde aplicó el principio del trabajo virtual, basado en el trabajo de Bernoulli, para resolver diversos problemas de dinámica. Su idea era convertir un problema dinámico en un problema estático mediante la introducción de una fuerza inercial . ^{[ 4 ]} En 1768, Lagrange presentó el principio del trabajo virtual de una forma más eficiente mediante la introducción de coordenadas generalizadas y lo presentó como un principio alternativo de la mecánica mediante el cual se podían resolver todos los problemas de equilibrio. Una exposición sistemática del programa de Lagrange para aplicar este enfoque a toda la mecánica, tanto estática como dinámica, esencialmente el principio de D'Alembert , se presentó en su Mécanique Analytique de 1788. ^{[ 3 ]} Aunque Lagrange había presentado su versión del principio de mínima acción antes de esta obra, reconoció que el principio del trabajo virtual era más fundamental principalmente porque podía asumirse por sí solo como fundamento de toda la mecánica, a diferencia de la comprensión moderna de que la mínima acción no tiene en cuenta las fuerzas no conservativas. ^{[ 3 ]}

Si una fuerza actúa sobre una partícula mientras se mueve desde un punto${\displaystyle A}$señalar${\displaystyle B}$Entonces, para cada trayectoria posible que pueda tomar la partícula, es posible calcular el trabajo total realizado por la fuerza a lo largo de la trayectoria. El principio del trabajo virtual , que es la forma del principio de mínima acción aplicada a estos sistemas, establece que la trayectoria realmente seguida por la partícula es aquella para la cual la diferencia entre el trabajo a lo largo de esta trayectoria y otras trayectorias cercanas es cero (en primera aproximación). El procedimiento formal para calcular la diferencia de funciones evaluadas en trayectorias cercanas es una generalización de la derivada conocida del cálculo diferencial , y se denomina cálculo de variaciones .

Consideremos una partícula puntual que se mueve a lo largo de una trayectoria descrita por una función.${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$desde el punto${\displaystyle A}$, dónde${\displaystyle \mathbf {r} (t=t_{0})}$, para señalar${\displaystyle B}$, dónde${\displaystyle \mathbf {r} (t=t_{1})}$Es posible que la partícula se mueva desde${\displaystyle A}$a${\displaystyle B}$a lo largo de un sendero cercano descrito por${\displaystyle \mathbf {r} (t)+\delta \mathbf {r} (t)}$, dónde${\displaystyle \delta \mathbf {r} (t)}$se llama la variación de${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$. La variación${\displaystyle \delta \mathbf {r} (t)}$satisface el requisito${\displaystyle \delta \mathbf {r} (t_{0})=\delta \mathbf {r} (t_{1})=0}$. Los componentes escalares de la variación ${\displaystyle \delta r_{1}(t)}$,${\displaystyle \delta r_{2}(t)}$y${\displaystyle \delta r_{3}(t)}$se denominan desplazamientos virtuales. Esto puede generalizarse a un sistema mecánico arbitrario definido por las coordenadas generalizadas.${\displaystyle q_{i}}$,${\displaystyle i=1,2,...,n}$. En cuyo caso, la variación de la trayectoria${\displaystyle q_{i}(t)}$se define por los desplazamientos virtuales${\displaystyle \delta q_{i}}$,${\displaystyle i=1,2,...,n}$.

El trabajo virtual es el trabajo total realizado por las fuerzas aplicadas y las fuerzas de inercia de un sistema mecánico al moverse a través de una serie de desplazamientos virtuales. Al considerar las fuerzas aplicadas a un cuerpo en equilibrio estático, el principio de mínima acción exige que el trabajo virtual de estas fuerzas sea cero.

Consideremos una partícula P que se mueve de un punto A a un punto B a lo largo de una trayectoria r ( t ) , mientras se le aplica una fuerza F ( r ( t )) . El trabajo realizado por la fuerza F viene dado por la integral $${\displaystyle W=\int _{\mathbf {r} (t_{0})=A}^{\mathbf {r} (t_{1})=B}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}~dt=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} ~dt,}$$ donde d r es el elemento diferencial a lo largo de la curva que es la trayectoria de P , y v es su velocidad. Es importante notar que el valor del trabajo W depende de la trayectoria r ( t ) .

Consideremos ahora la partícula P que se mueve del punto A al punto B nuevamente, pero esta vez se mueve a lo largo de una trayectoria cercana que difiere de r ( t ) por la variación δ r ( t ) = ε h ( t ) , donde ε es una constante de escala que puede hacerse tan pequeña como se desee y h ( t ) es una función arbitraria que satisface h ( t₀ ) = h ( t₁ ) = 0. Supongamos que la fuerza F ( r ( t ) + ε h ₍ t )) es la misma que F ( r ( t )) . _El trabajo realizado por la fuerza viene dado por la integral $${\displaystyle {\bar {W}}=\int _{\mathbf {r} (t_{0})=A}^{\mathbf {r} (t_{1})=B}\mathbf {F} \cdot d(\mathbf {r} +\varepsilon \mathbf {h} )=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {d(\mathbf {r} (t)+\varepsilon \mathbf {h} (t))}{dt}}~dt=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot (\mathbf {v} +\varepsilon {\dot {\mathbf {h} }})~dt.}$$ La variación del trabajo δW asociada con esta trayectoria cercana, conocida como trabajo virtual , se puede calcular como $${\displaystyle \delta W={\bar {W}}-W=\int _{t_{0}}^{t_{1}}(\mathbf {F} \cdot \varepsilon {\dot {\mathbf {h} }})~dt.}$$

Si no hay restricciones en el movimiento de P , entonces se necesitan 3 parámetros para describir completamente la posición de P en cualquier instante t . Si hay k ( k ≤ 3 ) fuerzas de restricción, entonces se necesitan n = (3 − k ) parámetros. Por lo tanto, podemos definir n coordenadas generalizadas q _i ( t ) ( i = 1,..., n ), y expresar r ( t ) y δ r = ε h ( t ) en términos de las coordenadas generalizadas. Es decir, $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n};t),}$$$${\displaystyle \mathbf {h} (t)=\mathbf {h} (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n};t).}$$ Entonces, la derivada de la variación δ r = ε h ( t ) viene dada por $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\delta \mathbf {r} ={\frac {d}{dt}}\varepsilon \mathbf {h} =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\varepsilon {\dot {q}}_{i},}$$ entonces tenemos $${\displaystyle \delta W=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\varepsilon {\dot {q}}_{i}\right)dt=\sum _{i=1}^{n}\left(\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\varepsilon {\dot {q}}_{i}~dt\right).}$$

El requisito de que el trabajo virtual sea cero para una variación arbitraria δ r ( t ) = ε h ( t ) es equivalente al conjunto de requisitos $${\displaystyle Q_{i}=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}=0,\quad i=1,\ldots ,n.}$$ Los términos Q _i se denominan fuerzas generalizadas asociadas con el desplazamiento virtual δ r .

El equilibrio estático es un estado en el que la fuerza neta y el torque neto que actúan sobre el sistema son cero. En otras palabras, tanto el momento lineal como el momento angular del sistema se conservan. El principio del trabajo virtual establece que el trabajo virtual de las fuerzas aplicadas es cero para todos los movimientos virtuales del sistema desde el equilibrio estático . Este principio puede generalizarse de manera que se incluyan rotaciones tridimensionales : el trabajo virtual de las fuerzas y momentos aplicados es cero para todos los movimientos virtuales del sistema desde el equilibrio estático. Es decir, $${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot \delta \mathbf {\varphi } _{j}=0,}$$ donde F _i , i = 1, 2, ..., m y M _j , j = 1, 2, ..., n son las fuerzas aplicadas y los momentos aplicados, respectivamente, y δ r _i , i = 1, 2, ..., m y δ φ _j , j = 1, 2, ..., n son los desplazamientos virtuales y las rotaciones virtuales , respectivamente.

Supongamos que el sistema consta de N partículas y tiene f ( f ≤ 6 N ) grados de libertad . Basta con usar solo f coordenadas para dar una descripción completa del movimiento del sistema, por lo que se definen f coordenadas generalizadas q _k , k = 1, 2, ..., f de tal manera que los movimientos virtuales puedan expresarse en términos de estas coordenadas generalizadas . Es decir, $${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{f};t),\quad i=1,2,\dots ,m;}$$$${\displaystyle \delta \phi _{j}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{f};t),\quad j=1,2,\dots ,n.}$$

El trabajo virtual puede entonces ser reparametrizado mediante las coordenadas generalizadas : $${\displaystyle \delta W=\sum _{k=1}^{f}\left[\left(\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\phi } _{j}}{\partial q_{k}}}\right)\delta q_{k}\right]=\sum _{k=1}^{f}Q_{k}\delta q_{k},}$$ donde las fuerzas generalizadas Q _k se definen como $${\displaystyle Q_{k}=\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\phi } _{j}}{\partial q_{k}}},\quad k=1,2,\dots ,f.}$$ Kane ^{[ 5 ]} muestra que estas fuerzas generalizadas también pueden formularse en términos de la relación de derivadas temporales. Es decir, $${\displaystyle Q_{k}=\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\omega } _{j}}{\partial {\dot {q}}_{k}}},\quad k=1,2,\dots ,f.}$$

El principio del trabajo virtual requiere que el trabajo virtual realizado sobre un sistema por las fuerzas F _i y los momentos M _j se anule si está en equilibrio . Por lo tanto, las fuerzas generalizadas Q _k son cero, es decir $${\displaystyle \delta W=0\quad \Rightarrow \quad Q_{k}=0\quad k=1,2,\dots ,f.}$$

Una palanca se modela como una barra rígida conectada a un marco base mediante una articulación llamada punto de apoyo. La palanca se acciona aplicando una fuerza de entrada F _A en un punto A , determinado por el vector de coordenadas r _A en la barra. La palanca ejerce entonces una fuerza de salida F _B en el punto B , determinado por r _B. La rotación de la palanca alrededor del punto de apoyo P se define mediante el ángulo de rotación θ .

Sea r _P el vector de coordenadas del punto P que define el fulcro , e introduzcamos las longitudes. $${\displaystyle a=|\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{P}|,\quad b=|\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{P}|,}$$ que son las distancias desde el punto de apoyo hasta el punto de entrada A y hasta el punto de salida B , respectivamente.

Ahora introducimos los vectores unitarios e _A y e _B desde el punto de apoyo hasta los puntos A y B , de modo que $${\displaystyle \mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{P}=a\mathbf {e} _{A},\quad \mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{P}=b\mathbf {e} _{B}.}$$ Esta notación nos permite definir la velocidad de los puntos A y B como $${\displaystyle \mathbf {v} _{A}={\dot {\theta }}a\mathbf {e} _{A}^{\perp },\quad \mathbf {v} _{B}={\dot {\theta }}b\mathbf {e} _{B}^{\perp },}$$ donde e _A ^⊥ y e _B ^⊥ son vectores unitarios perpendiculares a e _A y e _B , respectivamente.

El ángulo θ es la coordenada generalizada que define la configuración de la palanca; por lo tanto, utilizando la fórmula anterior para las fuerzas aplicadas a un mecanismo de un grado de libertad, la fuerza generalizada viene dada por $${\displaystyle Q=\mathbf {F} _{A}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{A}}{\partial {\dot {\theta }}}}-\mathbf {F} _{B}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{B}}{\partial {\dot {\theta }}}}=a(\mathbf {F} _{A}\cdot \mathbf {e} _{A}^{\perp })-b(\mathbf {F} _{B}\cdot \mathbf {e} _{B}^{\perp }).}$$

Ahora, denotemos como F _A y F _B las componentes de las fuerzas que son perpendiculares a los segmentos radiales PA y PB . Estas fuerzas están dadas por $${\displaystyle F_{A}=\mathbf {F} _{A}\cdot \mathbf {e} _{A}^{\perp },\quad F_{B}=\mathbf {F} _{B}\cdot \mathbf {e} _{B}^{\perp }.}$$ Esta notación y el principio del trabajo virtual dan como resultado la fórmula para la fuerza generalizada como $${\displaystyle Q=aF_{A}-bF_{B}=0.}$$

La relación entre la fuerza de salida F _B y la fuerza de entrada F _A es la ventaja mecánica de la palanca, y se obtiene a partir del principio del trabajo virtual como $${\displaystyle MA={\frac {F_{B}}{F_{A}}}={\frac {a}{b}}.}$$

Esta ecuación muestra que si la distancia a desde el punto de apoyo hasta el punto A donde se aplica la fuerza de entrada es mayor que la distancia b desde el punto de apoyo hasta el punto B donde se aplica la fuerza de salida, entonces la palanca amplifica la fuerza de entrada. Si ocurre lo contrario, es decir, si la distancia desde el punto de apoyo hasta el punto de entrada A es menor que la distancia desde el punto de apoyo hasta el punto de salida B , entonces la palanca reduce la magnitud de la fuerza de entrada.

Esta es la ley de la palanca , que fue demostrada por Arquímedes mediante razonamiento geométrico. ^{[ 6 ]}

Un tren de engranajes se forma montando engranajes sobre un bastidor de manera que sus dientes engranen. Los dientes de los engranajes están diseñados para asegurar que los círculos primitivos de los engranajes engranados rueden uno sobre otro sin deslizarse, lo que proporciona una transmisión de rotación suave de un engranaje al siguiente. Para este análisis, consideramos un tren de engranajes con un grado de libertad, lo que significa que la rotación angular de todos los engranajes del tren está definida por el ángulo del engranaje de entrada.

El tamaño de los engranajes y la secuencia en la que se acoplan definen la relación entre la velocidad angular ω _A del engranaje de entrada y la velocidad angular ω _B del engranaje de salida, conocida como relación de velocidad o relación de transmisión del tren de engranajes. Sea R la relación de velocidad, entonces $${\displaystyle {\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}=R.}$$

El par de entrada TA _que actúa sobre el engranaje de entrada GA se transforma, mediante el tren de engranajes, en el par de salida _{TB ejercido por} el engranaje de salida GB . Si suponemos que los engranajes son rígidos y que no hay pérdidas en el acoplamiento de los dientes, entonces se puede utilizar el principio del trabajo virtual para analizar el equilibrio estático del tren de engranajes.

Sea el ángulo θ del engranaje de entrada la coordenada generalizada del tren de engranajes, entonces la relación de velocidad R del tren de engranajes define la velocidad angular del engranaje de salida en términos del engranaje de entrada, es decir $${\displaystyle \omega _{A}=\omega ,\quad \omega _{B}=\omega /R.}$$

La fórmula anterior para el principio del trabajo virtual con pares aplicados produce la fuerza generalizada $${\displaystyle Q=T_{A}{\frac {\partial \omega _{A}}{\partial \omega }}-T_{B}{\frac {\partial \omega _{B}}{\partial \omega }}=T_{A}-T_{B}/R=0.}$$

La ventaja mecánica del tren de engranajes es la relación entre el par de salida T _B y el par de entrada T _A , y la ecuación anterior produce: $${\displaystyle MA={\frac {T_{B}}{T_{A}}}=R.}$$

Por lo tanto, la relación de velocidad de un tren de engranajes también define su ventaja mecánica. Esto demuestra que si el engranaje de entrada gira más rápido que el de salida, el tren de engranajes amplifica el par de entrada. Y si el engranaje de entrada gira más lento que el de salida, el tren de engranajes reduce el par de entrada.

Si el principio del trabajo virtual para fuerzas aplicadas se utiliza en partículas individuales de un cuerpo rígido , el principio se puede generalizar para un cuerpo rígido: Cuando un cuerpo rígido que está en equilibrio está sujeto a desplazamientos virtuales compatibles, el trabajo virtual total de todas las fuerzas externas es cero; y a la inversa, si el trabajo virtual total de todas las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo rígido es cero, entonces el cuerpo está en equilibrio .

Si un sistema no se encuentra en equilibrio estático, D'Alembert demostró que, al introducir los términos de aceleración de las leyes de Newton como fuerzas de inercia, este enfoque se generaliza para definir el equilibrio dinámico. El resultado es la formulación de D'Alembert del principio del trabajo virtual, que se utiliza para derivar las ecuaciones de movimiento de un sistema mecánico de cuerpos rígidos.

La expresión «desplazamientos compatibles» significa que las partículas permanecen en contacto y se desplazan conjuntamente, de modo que el trabajo realizado por pares de fuerzas de acción/reacción entre partículas se anula. Se atribuyen diversas formulaciones de este principio a Johann (Jean) Bernoulli (1667-1748) y Daniel Bernoulli (1700-1782).

Consideremos ahora el diagrama de cuerpo libre de un cuerpo deformable , que está compuesto por un número infinito de cubos diferenciales. Definamos dos estados no relacionados para el cuerpo:

• El${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$-Estado : Esto muestra las fuerzas superficiales externas T , las fuerzas de volumen f y las tensiones internas.${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$en equilibrio.
• El${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$-Estado : Esto muestra desplazamientos continuos${\displaystyle \mathbf {u} ^{*}}$y cepas consistentes${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}^{*}}$.

El superíndice * enfatiza que los dos estados no están relacionados. Aparte de las condiciones mencionadas anteriormente, no es necesario especificar si alguno de los estados es real o virtual.

Imagina ahora que las fuerzas y tensiones en el${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$-El estado experimenta los desplazamientos y deformaciones en el${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$-Estado: Podemos calcular el trabajo virtual (imaginario) total realizado por todas las fuerzas que actúan sobre las caras de todos los cubos de dos maneras diferentes:

• Primero, sumando el trabajo realizado por fuerzas como${\displaystyle F_{A}}$que actúan sobre caras comunes individuales (Fig. c): Dado que el material experimenta desplazamientos compatibles , dicho trabajo se cancela, quedando solo el trabajo virtual realizado por las fuerzas superficiales T (que son iguales a las tensiones en las caras de los cubos, por equilibrio).
• Segundo, calculando el trabajo neto realizado por tensiones o fuerzas como${\displaystyle F_{A}}$,${\displaystyle F_{B}}$que actúan sobre un cubo individual, por ejemplo, para el caso unidimensional de la figura (c):$${\displaystyle F_{B}\left(u^{*}+{\frac {\partial u^{*}}{\partial x}}dx\right)-F_{A}u^{*}\approx {\frac {\partial u^{*}}{\partial x}}\sigma dV+u^{*}{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}dV=\epsilon ^{*}\sigma dV-u^{*}fdV}$$donde la relación de equilibrio${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial x}}+f=0}$se ha utilizado y se ha omitido el término de segundo orden.
  La integración en todo el cuerpo produce:$${\displaystyle \int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}^{*T}{\boldsymbol {\sigma }}\,dV}$$– Trabajo realizado por las fuerzas del cuerpo f .

Igualando ambos resultados se llega al principio del trabajo virtual para un cuerpo deformable:

donde el trabajo virtual externo total lo realizan T y f . Por lo tanto,

El lado derecho de ( d , e ) se suele denominar trabajo virtual interno. El principio del trabajo virtual establece que el trabajo virtual externo es igual al trabajo virtual interno cuando las fuerzas y tensiones en equilibrio experimentan desplazamientos y deformaciones no relacionados pero consistentes . Incluye el principio del trabajo virtual para cuerpos rígidos como un caso especial en el que el trabajo virtual interno es cero.

Una especialización del principio de fuerzas virtuales es el método de la fuerza ficticia unitaria , muy útil para calcular desplazamientos en sistemas estructurales. Según el principio de D'Alembert , la inclusión de fuerzas inerciales como fuerzas de volumen adicionales dará como resultado la ecuación del trabajo virtual aplicable a sistemas dinámicos. Se pueden derivar principios más generalizados mediante:

• permitiendo variaciones de todas las cantidades.
• utilizando multiplicadores de Lagrange para imponer condiciones de contorno y/o para relajar las condiciones especificadas en los dos estados.

Estos aspectos se describen en algunas de las referencias.

Entre los numerosos principios energéticos de la mecánica estructural , el principio del trabajo virtual merece un lugar especial debido a su generalidad, que da lugar a potentes aplicaciones en el análisis estructural , la mecánica de sólidos y el método de elementos finitos en la mecánica estructural .

• Método de flexibilidad
• Método de fuerza ficticia unitaria
• Método de elementos finitos en mecánica estructural
• Cálculo de variaciones
• mecánica lagrangiana
• Principio de Müller-Breslau
• Principio de D'Alembert

• Ejemplos de aplicaciones del principio del trabajo virtual. Archivado el 1 de diciembre de 2022 en Wayback Machine.

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