Método de fuerza ficticia unitaria

El método de fuerza ficticia unitaria proporciona un medio conveniente para calcular desplazamientos en sistemas estructurales. ^{[ 1 ]} Es aplicable tanto para comportamientos de materiales lineales como no lineales, así como para sistemas sujetos a efectos ambientales, y por lo tanto es más general que el segundo teorema de Castigliano .

Consideremos un sistema discreto como cerchas, vigas o pórticos con elementos interconectados en los nodos. Sea el conjunto consistente de deformaciones de los elementos dado por${\displaystyle \mathbf {q} _{M\times 1}}$, que se pueden calcular utilizando la relación de flexibilidad del miembro . Estas deformaciones del miembro dan lugar a los desplazamientos nodales.${\displaystyle \mathbf {r} _{N\times 1}}$, que queremos determinar.

Comenzamos aplicando N fuerzas nodales virtuales.${\displaystyle \mathbf {R} _{N\times 1}^{*}}$, uno para cada r deseado , y encontrar las fuerzas miembro virtuales${\displaystyle \mathbf {Q} _{M\times 1}^{*}}$que están en equilibrio con${\displaystyle \mathbf {R} _{N\times 1}^{*}}$:

En el caso de un sistema estáticamente indeterminado , la matriz B no es única porque el conjunto de${\displaystyle \mathbf {Q} _{M\times 1}^{*}}$que satisface el equilibrio nodal es infinito. Se puede calcular como la inversa de la matriz de equilibrio nodal de cualquier sistema primario derivado del sistema original.

Imaginemos que las fuerzas virtuales internas y externas experimentan, respectivamente, las deformaciones y desplazamientos reales; el trabajo virtual realizado puede expresarse como:

• Trabajo virtual externo:${\displaystyle \mathbf {R} ^{*T}\mathbf {r} }$
• Trabajo virtual interno:${\displaystyle \mathbf {Q} ^{*T}\mathbf {q} }$

Según el principio del trabajo virtual , las dos expresiones de trabajo son iguales: $${\displaystyle \mathbf {R} ^{*T}\mathbf {r} =\mathbf {Q} ^{*T}\mathbf {q} }$$

La sustitución de (1) da como resultado $${\displaystyle \mathbf {R} ^{*T}\mathbf {r} =\mathbf {R} ^{*T}\mathbf {B} ^{T}\mathbf {q} .}$$

Desde${\displaystyle \mathbf {R} ^{*}}$contiene fuerzas virtuales arbitrarias, la ecuación anterior da

Es notable que el cálculo en (2) no implique ninguna integración, independientemente de la complejidad de los sistemas, y que el resultado sea único, sin importar la elección del sistema primario para B. Por lo tanto, es mucho más conveniente y general que la forma clásica del método de carga unitaria ficticia, que varía con el tipo de sistema y con los efectos externos impuestos. Por otro lado, la ecuación (2) sirve únicamente para calcular desplazamientos o rotaciones de los nodos. Esto no representa una restricción, ya que podemos convertir cualquier punto en un nodo cuando se desee.

Finalmente, el nombre de carga unitaria surge de la interpretación de que los coeficientes${\displaystyle B_{i,j}}$En la matriz B se encuentran las fuerzas de los miembros en equilibrio con la fuerza nodal unitaria.${\displaystyle R_{j}^{*}=1}$, en virtud de la ecuación (1).

Para un sistema general, el método de fuerza ficticia unitaria también se deriva directamente del principio del trabajo virtual . La figura (a) muestra un sistema con deformaciones reales conocidas.${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$Estas deformaciones, supuestamente consistentes, dan lugar a desplazamientos en todo el sistema. Por ejemplo, un punto A se ha movido a A', y queremos calcular el desplazamiento r de A en la dirección mostrada. Para este propósito en particular, elegimos el sistema de fuerzas virtual de la figura (b), que muestra:

• La fuerza unitaria R * está en A y en la dirección de r, de modo que el trabajo virtual externo realizado por R * es, teniendo en cuenta que el trabajo realizado por las reacciones virtuales en (b) es cero porque sus desplazamientos en (a) son cero:$${\displaystyle R^{*}\times r=1\times r}$$es el desplazamiento deseado
• El trabajo virtual interno realizado por las tensiones virtuales es$${\displaystyle \int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}^{*}dV}$$donde las tensiones virtuales${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{*}}$debe satisfacer el equilibrio en todas partes.

Igualando las dos expresiones de trabajo se obtiene el desplazamiento deseado: $${\displaystyle 1\times r=\int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}^{*}dV}$$