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Articulo de referencia

Fuerzas generalizadas

En mecánica analítica (en particular, mecánica lagrangiana ), las fuerzas generalizadas son conjugadas a las coordenadas generalizadas . Se obtienen a partir de las fuerzas apli...

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En mecánica analítica (en particular, mecánica lagrangiana ), las fuerzas generalizadas son conjugadas a las coordenadas generalizadas . Se obtienen a partir de las fuerzas aplicadas F i , i = 1, …, n , que actúan sobre un sistema cuya configuración se define en términos de coordenadas generalizadas. En la formulación del trabajo virtual , cada fuerza generalizada es el coeficiente de variación de una coordenada generalizada.

Trabajo virtual

Las fuerzas generalizadas se pueden obtener a partir del cálculo del trabajo virtual , δW , de las fuerzas aplicadas. [ 1 ] : 265

El trabajo virtual de las fuerzas, F i , que actúan sobre las partículas P i , i = 1, ..., n , viene dado por δW=∑i=1norteFi⋅δri{\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}} donde δ r i es el desplazamiento virtual de la partícula P i .

Coordenadas generalizadas

Sean los vectores de posición de cada una de las partículas, r i , una función de las coordenadas generalizadas, q j , j = 1, ..., m . Entonces los desplazamientos virtuales δ r i vienen dados por δri=∑j=1metro∂ri∂qjδqj,i=1,…,norte,{\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j},\quad i=1,\ldots ,n,} donde δq j es el desplazamiento virtual de la coordenada generalizada q j .

El trabajo virtual para el sistema de partículas se convierte en δW=F1⋅∑j=1metro∂r1∂qjδqj+⋯+Fnorte⋅∑j=1metro∂rnorte∂qjδqj.{\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{1}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}+\dots +\mathbf {F} _{n}\cdot \sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{n}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}.} Reúna los coeficientes de δq j de modo que δW=∑i=1norteFi⋅∂ri∂q1δq1+⋯+∑i=1norteFi⋅∂ri∂qmetroδqmetro.{\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{1}}}\delta q_{1}+\dots +\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{m}}}\delta q_{m}.}

Fuerzas generalizadas

El trabajo virtual de un sistema de partículas se puede escribir de la forma δW=Q1δq1+⋯+Qmetroδqmetro,{\displaystyle \delta W=Q_{1}\delta q_{1}+\dots +Q_{m}\delta q_{m},} dónde Qj=∑i=1norteFi⋅∂ri∂qj,j=1,…,metro,{\displaystyle Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m,} se denominan fuerzas generalizadas asociadas con las coordenadas generalizadas q j , j = 1, ..., m .

Formulación de velocidad

En la aplicación del principio del trabajo virtual, a menudo es conveniente obtener desplazamientos virtuales a partir de las velocidades del sistema. Para el sistema de n partículas, sea V i la velocidad de cada partícula P i , entonces el desplazamiento virtual δ r i también se puede escribir en la forma [ 2 ].δri=∑j=1metro∂Vi∂q˙jδqj,i=1,…,norte.{\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j},\quad i=1,\ldots ,n.}

Esto significa que la fuerza generalizada, Q j , también puede determinarse como Qj=∑i=1norteFi⋅∂Vi∂q˙j,j=1,…,metro.{\displaystyle Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}

Principio de D'Alembert

D'Alembert formuló la dinámica de una partícula como el equilibrio de las fuerzas aplicadas con una fuerza de inercia ( fuerza aparente ), llamado principio de D'Alembert . La fuerza de inercia de una partícula, P i , de masa m i es Fi∗=−metroiAi,i=1,…,norte,{\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{*}=-m_{i}\mathbf {A} _{i},\quad i=1,\ldots ,n,} donde A i es la aceleración de la partícula.

Si la configuración del sistema de partículas depende de las coordenadas generalizadas q j , j = 1, ..., m , entonces la fuerza de inercia generalizada viene dada por Qj∗=∑i=1norteFi∗⋅∂Vi∂q˙j,j=1,…,metro.{\displaystyle Q_{j}^{*}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}^{*}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}

La formulación de D'Alembert del principio del trabajo virtual produce δW=(Q1+Q1∗)δq1+⋯+(Qmetro+Qmetro∗)δqmetro.{\displaystyle \delta W=(Q_{1}+Q_{1}^{*})\delta q_{1}+\dots +(Q_{m}+Q_{m}^{*})\delta q_{m}.}

Véase también

Referencias

  1. ↑ Torby, Bruce (1984). «Métodos energéticos». Dinámica avanzada para ingenieros . Serie HRW en ingeniería mecánica. Estados Unidos de América: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4.
  2. ↑ TR Kane y DA Levinson, Dinámica, teoría y aplicaciones , McGraw-Hill, Nueva York, 2005.