Fuerza ficticia

Muchos problemas requieren el uso de sistemas de referencia no inerciales, por ejemplo, aquellos que involucran satélites ^{[ 29 ] [ 30 ]} y aceleradores de partículas. ^{[ 31 ]} La Figura 2 muestra una partícula con masa m y vector de posición x _A ( t ) en un sistema de referencia inercial particular A. Consideremos un sistema de referencia no inercial B cuyo origen relativo al inercial viene dado por X _AB ( t ). Sea x _B ( t ) la posición de la partícula en el sistema de referencia B. ¿Cuál es la fuerza sobre la partícula expresada en el sistema de coordenadas del sistema de referencia B? ^{[ 32 ] [ 33 ]}

Para responder a esta pregunta, representemos los ejes de coordenadas en B mediante vectores unitarios u _j, donde j es cualquiera de { 1, 2, 3 } para los tres ejes de coordenadas. Entonces $${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {B} }=\sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}\,.}$$

La interpretación de esta ecuación es que x _B es el vector de desplazamiento de la partícula expresado en términos de las coordenadas en el sistema de referencia B en el instante t . Desde el sistema de referencia A, la partícula se encuentra en: $${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {A} }=\mathbf {X} _{\mathrm {AB} }+\sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}\,.}$$

Cabe mencionar que los vectores unitarios { u _j } no pueden cambiar de magnitud, por lo que las derivadas de estos vectores expresan únicamente la rotación del sistema de coordenadas B. Por otro lado, el vector X _AB simplemente indica la ubicación del origen del sistema de coordenadas B con respecto al sistema de coordenadas A, por lo que no puede incluir la rotación del sistema de coordenadas B.

Al tomar la derivada con respecto al tiempo , la velocidad de la partícula es: $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt}}={\frac {d\mathbf {X} _{\mathrm {AB} }}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {dx_{j}}{dt}}\mathbf {u} _{j}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}\,.}$$

La suma de los dos términos es la velocidad de la partícula, digamos v _B medida en el sistema de referencia B. Es decir: $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt}}=\mathbf {v} _{\mathrm {AB} }+\mathbf {v} _{\mathrm {B} }+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}.}$$

La interpretación de esta ecuación es que la velocidad de la partícula vista por los observadores en el sistema de referencia A consiste en lo que los observadores en el sistema de referencia B denominan velocidad, es decir, v _B , más dos términos adicionales relacionados con la tasa de cambio de los ejes de coordenadas del sistema de referencia B. Uno de estos es simplemente la velocidad del origen móvil v _AB . El otro es una contribución a la velocidad debida a que diferentes ubicaciones en el sistema de referencia no inercial tienen diferentes velocidades aparentes debido a la rotación del sistema; un punto visto desde un sistema de referencia giratorio tiene una componente rotacional de la velocidad que es mayor cuanto más lejos esté el punto del origen.

Para hallar la aceleración, otra diferenciación temporal proporciona: $${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+{\frac {d\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {dx_{j}}{dt}}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}.}$$

Utilizando la misma fórmula ya empleada para la derivada temporal de x _B , la derivada de la velocidad de la derecha es: $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{dt}}=\sum _{j=1}^{3}{\frac {dv_{j}}{dt}}\mathbf {u} _{j}+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}.}$$

Como consecuencia,

La interpretación de esta ecuación es la siguiente: la aceleración de la partícula en el sistema de referencia A consiste en lo que los observadores en el sistema de referencia B denominan aceleración de la partícula a _B , pero además, existen tres términos de aceleración relacionados con el movimiento de los ejes de coordenadas del sistema de referencia B: un término relacionado con la aceleración del origen del sistema de referencia B, a saber, a _AB , y dos términos relacionados con la rotación del sistema de referencia B. En consecuencia, los observadores en B percibirán el movimiento de la partícula como poseedor de una aceleración "extra", que atribuirán a "fuerzas" que actúan sobre la partícula, pero que los observadores en A consideran fuerzas "ficticias" que surgen simplemente porque los observadores en B no reconocen la naturaleza no inercial del sistema de referencia B.

El factor de dos en la fuerza de Coriolis surge de dos contribuciones iguales: (i) el cambio aparente de una velocidad inercialmente constante con el tiempo porque la rotación hace que la dirección de la velocidad parezca cambiar (un término d v _B /d t ) y (ii) un cambio aparente en la velocidad de un objeto cuando su posición cambia, acercándolo o alejándolo del eje de rotación (el cambio en${\textstyle \sum x_{j}\,d\mathbf {u} _{j}/dt}$debido al cambio en x _j ).

Para expresarlo en términos de fuerzas, las aceleraciones se multiplican por la masa de la partícula: $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {A} }=\mathbf {F} _{\mathrm {B} }+m\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+2m\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+m\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\ .}$$

La fuerza observada en el sistema de referencia B, F _B = m a _B, está relacionada con la fuerza real sobre la partícula, F _A , mediante $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {B} }=\mathbf {F} _{\mathrm {A} }+\mathbf {F} _{\mathrm {ficticio} },}$$ dónde: $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ficticio} }=-m\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }-2m\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}-m\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\,.}$$

Por lo tanto, los problemas pueden resolverse en el sistema de referencia B asumiendo que se cumple la segunda ley de Newton (con respecto a las cantidades en ese sistema de referencia) y tratando a F como una fuerza adicional _{ficticia .} ^{[ 19 ] [ 34 ] [ 35 ]}

A continuación se presentan varios ejemplos que aplican este resultado a fuerzas ficticias. Encontrará más ejemplos en el artículo sobre la fuerza centrífuga .

Una situación común en la que resultan útiles los sistemas de referencia no inerciales es cuando el sistema de referencia está girando. Dado que este movimiento de rotación no es inercial, debido a la aceleración inherente a cualquier movimiento rotacional, siempre se puede invocar una fuerza ficticia utilizando un sistema de referencia rotacional. A pesar de esta complejidad, el uso de fuerzas ficticias suele simplificar los cálculos.

Para derivar expresiones para las fuerzas ficticias, se necesitan derivadas para la tasa aparente de cambio temporal de vectores que tengan en cuenta la variación temporal de los ejes de coordenadas. Si la rotación del marco 'B' está representada por un vector Ω apuntando a lo largo del eje de rotación con la orientación dada por la regla de la mano derecha y con magnitud dada por $${\displaystyle |{\boldsymbol {\Omega }}|={\frac {d\theta }{dt}}=\omega (t),}$$

entonces la derivada temporal de cualquiera de los tres vectores unitarios que describen el marco B es ^{[ 34 ] [ 36 ]}$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {u} _{j}(t)}{dt}}={\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t),}$$ y $${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}(t)}{dt^{2}}}={\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\frac {d\mathbf {u} _{j}(t)}{dt}}={\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)\right],}$$ como se verifica utilizando las propiedades del producto vectorial . Estas fórmulas derivadas se aplican ahora a la relación entre la aceleración en un sistema de referencia inercial y la de un sistema de coordenadas que gira con velocidad angular variable en el tiempo ω( _{t). De la sección anterior, donde el subíndice A se refiere al sistema de referencia inercial y B al sistema de referencia giratorio, estableciendo AB} = 0 para eliminar cualquier aceleración traslacional y centrándonos únicamente en las propiedades rotacionales (véase la ecuación 1 ): $${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2\sum _ {j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} _{\mathrm {A} }&=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+\ 2\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}\ +\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)\right]\\&=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2{\boldsymbol {\Omega }}\times \sum _{j=1}^{3}v_{j}\mathbf {u} _{j}(t)+{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}(t)\right].\end{aligned}}}$$ Al agrupar los términos, el resultado es la llamada fórmula de transformación de aceleración : ^{[ 37 ]}$${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {A} }=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }+{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }\right)\,.}$$

La aceleración física a _A debida a lo que los observadores en el sistema de referencia inercial A denominan fuerzas externas reales sobre el objeto no es, por lo tanto, simplemente la aceleración a _B vista por los observadores en el sistema de referencia rotacional B, sino que tiene varios términos de aceleración geométrica adicionales asociados con la rotación de B. Como se observa en el sistema de referencia rotacional, la aceleración a _B de la partícula viene dada por la reordenación de la ecuación anterior como: $${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {B} }=\mathbf {a} _{\mathrm {A} }-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }-{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} })-{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }.}$$

La fuerza neta sobre el objeto, según los observadores en el sistema de referencia giratorio, es F _B = m a _B . Para que sus observaciones resulten en la fuerza correcta sobre el objeto al usar las leyes de Newton, deben considerar que existe una fuerza adicional F _{fict , por lo que el resultado es} F _B = F _A + F _fict . Por lo tanto, la fuerza ficticia utilizada por los observadores en B para obtener el comportamiento correcto del objeto según las leyes de Newton es igual a: $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} })-m{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }.}$$

Aquí, el primer término es la fuerza de Coriolis , ^{[ 38 ]} el segundo término es la fuerza centrífuga , ^{[ 39 ]} y el tercer término es la fuerza de Euler . ^{[ 40 ] [ 41 ]}

Como ejemplo relacionado, supongamos que el sistema de coordenadas móvil B gira con una velocidad angular constante ω en un círculo de radio R alrededor del origen fijo del marco inercial A , pero mantiene sus ejes de coordenadas fijos en orientación, como en la Figura 3. La aceleración de un cuerpo observado es ahora (véase la Ec. 1 ): $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{A}}{dt^{2}}}&=\mathbf {a} _{AB}+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\\&=\mathbf {a} _{AB}\ +\mathbf {a} _{B}\ ,\end{aligned}}}$$ donde las sumas son cero ya que los vectores unitarios no tienen dependencia temporal. El origen del sistema B se encuentra, según el sistema de referencia A, en: $${\displaystyle \mathbf {X} _{AB}=R\left(\cos(\omega t),\ \sin(\omega t)\right)\ ,}$$ lo que lleva a una velocidad del origen del sistema de referencia B como: $${\displaystyle \mathbf {v} _{AB}={\frac {d}{dt}}\mathbf {X} _{AB}=\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\ ,}$$ lo que conduce a una aceleración del origen de B dada por: $${\displaystyle \mathbf {a} _{AB}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\mathbf {X} _{AB}=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)=-\omega ^{2}\mathbf {X} _{AB}\,.}$$ Porque el primer término, que es $${\displaystyle \mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)\,,}$$ tiene la misma forma que la expresión normal de la fuerza centrífuga: $${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\,,}$$ Es una extensión natural de la terminología estándar (aunque no existe una terminología estándar para este caso) llamar a este término "fuerza centrífuga". Cualquiera que sea la terminología adoptada, los observadores en el sistema de referencia B deben introducir una fuerza ficticia, esta vez debida a la aceleración del movimiento orbital de todo su sistema de coordenadas, que se dirige radialmente hacia afuera desde el centro de rotación del origen de su sistema de coordenadas: $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=m\omega ^{2}\mathbf {X} _{AB}\,,}$$ y de magnitud: $${\displaystyle |\mathbf {F} _{\mathrm {fict} }|=m\omega ^{2}R\,.}$$

Esta "fuerza centrífuga" presenta diferencias con respecto al caso de un sistema de referencia giratorio. En el sistema de referencia giratorio, la fuerza centrífuga está relacionada con la distancia del objeto al origen del sistema de referencia B , mientras que en el caso de un sistema de referencia orbital, la fuerza centrífuga es independiente de la distancia del objeto al origen del sistema de referencia B , sino que depende de la distancia del origen del sistema de referencia B a su centro de rotación, lo que resulta en la misma fuerza centrífuga ficticia para todos los objetos observados en el sistema de referencia B.

Como ejemplo de combinación, la Figura 4 muestra un sistema de coordenadas B que orbita el marco inercial A como en la Figura 3, pero los ejes de coordenadas en el marco B giran de manera que el vector unitario u ₁ siempre apunta hacia el centro de rotación. Este ejemplo podría aplicarse a un tubo de ensayo en una centrífuga, donde el vector u ₁ apunta a lo largo del eje del tubo hacia su abertura en la parte superior. También se asemeja al sistema Tierra-Luna, donde la Luna siempre presenta la misma cara a la Tierra. ^{[ 42 ]} En este ejemplo, el vector unitario u ₃ conserva una orientación fija, mientras que los vectores u ₁ , u ₂ giran a la misma velocidad que el origen de coordenadas. Es decir, $${\displaystyle \mathbf {u} _{1}=(-\cos \omega t,\ -\sin \omega t)\$$ ;\ \mathbf {u} _{2}=(\sin \omega t,\ -\cos \omega t)\,.} $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {u} _{1}=\mathbf {\Omega \times u_{1}} =\omega \mathbf {u} _{2}\$$ ;\ {\frac {d}{dt}}\mathbf {u} _{2}=\mathbf {\Omega \times u_{2}} =-\omega \mathbf {u} _{1}\ \ .} Por lo tanto, la aceleración de un objeto en movimiento se expresa como (ver Ec. 1 ): $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{A}}{dt^{2}}}&=\mathbf {a} _{AB}+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\ \sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\\&=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ \mathbf {\Omega \times u_{j}} \ +\ \sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}\right)\\&=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}\ \ +\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\\&=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times } (\mathbf {X} _{AB}+\mathbf {x} _{B})\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}\ \,,\end{aligned}}}$$ donde el término de aceleración angular es cero para la velocidad de rotación constante. Porque el primer término, que es $${\displaystyle \mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times } (\mathbf {X} _{AB}+\mathbf {x} _{B})\right)\,,}$$ tiene la misma forma que la expresión normal de la fuerza centrífuga: $${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\,,}$$ Es una extensión natural de la terminología estándar (aunque no existe una terminología estándar para este caso) llamar a este término "fuerza centrífuga". Aplicando esta terminología al ejemplo de un tubo en una centrífuga, si el tubo está lo suficientemente lejos del centro de rotación, | XAB | = R ≫ | XB |, toda la materia en el tubo _{de ensayo experimenta la misma aceleración (la misma fuerza centrífuga). Por lo tanto, en este} caso, la fuerza ficticia es principalmente una fuerza centrífuga uniforme a lo largo del eje del tubo, lejos del centro de rotación, con un valor | _Ffict | = ^ω²R , donde R es la distancia de la materia en el tubo al centro de la centrífuga. Es la especificación estándar de una centrífuga usar el radio "efectivo" de la centrífuga para estimar su capacidad de proporcionar fuerza centrífuga. Por lo tanto, la primera estimación de la fuerza centrífuga en una centrífuga puede basarse en la distancia de los tubos al centro de rotación, y aplicar correcciones si es necesario. ^{[ 43 ] [ 44 ]}

Además, el tubo de ensayo limita el movimiento a la dirección longitudinal, por lo que v _B es opuesta a u ₁ y la fuerza de Coriolis es opuesta a u ₂ , es decir, contra la pared del tubo. Si el tubo gira durante un tiempo suficientemente prolongado, la velocidad v _B se reduce a cero a medida que la materia alcanza una distribución de equilibrio. Para más detalles, consulte los artículos sobre sedimentación y la ecuación de Lamm .

Un problema relacionado es el de las fuerzas centrífugas en el sistema Tierra-Luna-Sol, donde aparecen tres rotaciones: la rotación diaria de la Tierra sobre su eje, la rotación lunar del sistema Tierra-Luna sobre su centro de masa y la revolución anual del sistema Tierra-Luna sobre el Sol. Estos tres movimientos influyen en las mareas . ^{[ 45 ]}

La Figura 5 muestra otro ejemplo que compara las observaciones de un observador inercial con las de un observador en un carrusel giratorio . ^{[ 46 ]} El carrusel gira a una velocidad angular constante representada por el vector Ω con magnitud ω , apuntando hacia arriba según la regla de la mano derecha . Un pasajero en el carrusel camina radialmente a través de él a una velocidad constante, en lo que para el caminante parece ser una trayectoria en línea recta inclinada a 45° en la Figura 5. Sin embargo, para el observador estacionario, el caminante recorre una trayectoria en espiral. Los puntos identificados en ambas trayectorias en la Figura 5 corresponden a los mismos tiempos espaciados a intervalos de tiempo iguales. Nos preguntamos cómo dos observadores, uno en el carrusel y otro en un sistema de referencia inercial, formulan lo que ven utilizando las leyes de Newton.

Nótese que esta discusión cinemática no profundiza en el mecanismo mediante el cual se generan las fuerzas necesarias. Ese es el tema de la cinética . En el caso del carrusel, la discusión cinética implicaría quizás un estudio de los zapatos del caminante y la fricción que deben generar contra el piso del carrusel, o tal vez la dinámica del monopatín si el caminante optara por desplazarse en monopatín. Cualquiera que sea el medio de transporte a través del carrusel, las fuerzas calculadas anteriormente deben materializarse. Una analogía muy simple es la de calentar una casa: se necesita una temperatura determinada para estar cómodo, pero si se calienta con gas o con carbón es otro asunto. La cinemática ajusta el termostato, la cinética enciende la caldera.