caída libre

En 1551, Domingo de Soto fue el primero en afirmar que un cuerpo en caída libre acelera uniformemente y que esta aceleración es causada por la masa de la Tierra ^{[ 3 ].} Este concepto clave de la física fue esencial para los estudios posteriores de la gravedad realizados por Galileo y Newton . Galileo reconoció a De Soto como su inspiración y fuente de sus estudios, pero Isaac Newton, a pesar de haber leído a Galileo Galilei, nunca lo mencionó. En el siglo XX, Pierre Duhem le atribuyó importantes logros en dinámica y consideró su trabajo como precursor de la mecánica moderna. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Según un relato posiblemente apócrifo, entre 1589 y 1592 Galileo dejó caer dos objetos de masa desigual desde la Torre Inclinada de Pisa . Dada la velocidad a la que se produciría tal caída, es dudoso que Galileo pudiera haber obtenido mucha información de este experimento. La mayoría de sus observaciones de cuerpos en caída libre eran en realidad de cuerpos rodando por rampas. Esto ralentizó el proceso lo suficiente como para que pudiera medir los intervalos de tiempo con relojes de agua y su propio pulso (los cronómetros aún no se habían inventado). Repitió esto "cien veces" hasta alcanzar "una precisión tal que la desviación entre dos observaciones nunca superó una décima parte de un latido". Entre 1589 y 1592, Galileo escribió De Motu Antiquiora , un manuscrito inédito sobre el movimiento de los cuerpos en caída libre.

Este es el caso típico del movimiento vertical de un objeto que cae desde una corta distancia cerca de la superficie de un planeta. Es una buena aproximación en el aire siempre que la fuerza de gravedad sobre el objeto sea mucho mayor que la fuerza de resistencia del aire, o, lo que es lo mismo, que la velocidad del objeto sea siempre mucho menor que la velocidad terminal (véase más abajo).

${\displaystyle v(t)=v_{0}-gt\,}$y

${\displaystyle y(t)=v_{0}t+y_{0}-{\frac {1}{2}}gt^{2},}$

dónde

${\displaystyle v_{0}\,}$es la componente vertical inicial de la velocidad (m/s).

${\displaystyle v(t)\,}$es la componente vertical de la velocidad en${\displaystyle t\,}$(EM).

${\displaystyle y_{0}\,}$es la altitud inicial (m).

${\displaystyle y(t)\,}$es la altitud en${\displaystyle t\,}$(metro).

${\displaystyle t\,}$es el tiempo transcurrido (s).

${\displaystyle g\,}$es la aceleración debida a la gravedad (9,81 m/s² ^cerca de la superficie de la tierra).

Si la velocidad inicial es cero, entonces la distancia caída desde la posición inicial crecerá como el cuadrado del tiempo transcurrido:

${\displaystyle v(t)=-gt}$y${\displaystyle y_{0}-y(t)={\frac {1}{2}}gt^{2}.}$

Además, dado que la suma de los números impares es igual a un cuadrado perfecto , la distancia recorrida en intervalos de tiempo sucesivos aumenta con los números impares. Esta descripción del comportamiento de los cuerpos en caída libre fue dada por Galileo. ^{[ 8 ]}

Este caso se aplica a paracaidistas, buceadores o cualquier cuerpo de masa,${\displaystyle m}$y área de sección transversal,${\textstyle A,}$con el número de Reynolds${\textstyle Re}$muy por encima del número de Reynolds crítico, de modo que la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad de caída,${\textstyle v}$,

Tiene una ecuación de movimiento vertical en el régimen de Newton.

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=mg-{\tfrac {1}{2}}\rho C_{\mathrm {D} }Av^{2}\,,}$

dónde${\displaystyle \rho }$es la densidad del aire y${\displaystyle C_{\mathrm {D} }}$es el coeficiente de arrastre , que se supone constante (${\textstyle Re>1000}$) aunque en general dependerá del número de Reynolds.

Suponiendo que un objeto cae desde el reposo y que no hay cambio en la densidad del aire con la altitud (¿gas ideal?${\textstyle 1/\rho =RT/p}$), la solución es:

${\displaystyle v(t)=v_{\infty }\tanh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}\right),}$

donde la velocidad terminal viene dada por

${\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {\frac {2mg}{\rho C_{D}A}}}\,.}$

La velocidad del objeto en función del tiempo se puede integrar a lo largo del tiempo para hallar la posición vertical en función del tiempo:

${\displaystyle y=y_{0}+{\frac {v_{\infty }^{2}}{g}}\ln \cosh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}\right).}$

Utilizando la cifra de 56  m/s para la velocidad terminal de un ser humano, se encuentra que después de 10 segundos habrá caído 348 metros y alcanzado el 94% de la velocidad terminal, y después de 12 segundos habrá caído 455 metros y alcanzado el 97% de la velocidad terminal. El campo gravitatorio es g(y) dependiente de la posición (vertical): cuando${\textstyle y_{0}\ll R,}$${\textstyle g/g_{o}=1-2y_{0}/R.}$Disminución lineal con la altura, altura pequeña en comparación con el radio de la Tierra.${\textstyle R=}$6379  km.

However, when the air density cannot be assumed to be constant, such as for objects falling from high altitude, the equation of motion becomes much more difficult to solve analytically and a numerical simulation of the motion is usually necessary. The figure shows the forces acting on small meteoroids falling through the Earth's upper atmosphere (an acceleration of 1.0 km/s² is ${\textstyle 100g_{0}}$). HALO jumps, including Joe Kittinger's and Felix Baumgartner's record jumps, also belong in this category.^[9]

It can be said that two objects in space orbiting each other in the absence of other forces are in free fall around each other, e.g. that the Moon or an artificial satellite "falls around" the Earth, or a planet "falls around" the Sun. Assuming spherical objects means that the equation of motion is governed by Newton's law of universal gravitation, with solutions to the gravitational two-body problem being elliptic orbits obeying Kepler's laws of planetary motion. This connection between falling objects close to the Earth and orbiting objects is best illustrated by the thought experiment, Newton's cannonball.

The motion of two objects moving radially towards each other with no angular momentum can be considered a special case of an elliptical orbit of eccentricitye = 1 (radial elliptic trajectory). This allows one to compute the free-fall time for two point objects on a radial path. The solution of this equation of motion yields time as a function of separation:

${\displaystyle t(y)={\sqrt {\tfrac {{y_{0}}^{3}}{2\mu }}}{\bigl (}{\sqrt {{\tfrac {y}{y_{0}}}\left(1-{\tfrac {y}{y_{0}}}\right)}}+\arccos {\sqrt {\tfrac {y}{y_{0}}}}{\bigr )},}$

where

${\displaystyle t}$ is the time after the start of the fall

${\displaystyle y}$ is the distance between the centers of the bodies

${\displaystyle y_{0}}$ is the initial value of ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \mu =G(m_{1}+m_{2})}$ is the standard gravitational parameter.

Substituting ${\textstyle y=0}$ we get the free-fall time

${\displaystyle t_{\text{ff}}=\pi {\sqrt {y_{0}^{3}/(8\mu )}}}$ and ${\displaystyle t/t_{\text{ff}}=2/\pi \left({\sqrt {y_{r}\left(1-y_{r}\right)}}+\arccos {\sqrt {y_{r}}}\right),}$

which contains time t_r (dimensionless) and relative distance y_r(1↘0).

• The separation can be expressed explicitly as a function of time:^[10]

${\displaystyle y(t)=y_{0}~Q(1-{\frac {t}{t_{\text{ff}}}};{\tfrac {3}{2}},{\tfrac {1}{2}})~,}$ where ${\textstyle Q(x;\alpha,\beta)}$ is the quantile function of the beta distribution;

• also known as the inverse function of the regularized incomplete beta function${\textstyle I_{x}(\alpha ,\beta ).}$
• ${\displaystyle I_{x}({\tfrac {3}{2}},{\tfrac {1}{2}})={\tfrac {\mathrm {B} (x;\,{\tfrac {3}{2}},{\tfrac {1}{2}})}{\mathrm {B} ({\tfrac {3}{2}},{\tfrac {1}{2}})}},}$ with ${\displaystyle B(x)=\int _{0}^{x}t^{1/2}\,(1-t)^{-1/2}\,dt=\int _{0}^{x}[t/(1-t)]^{1/2}\,dt}$ and denominator: ${\displaystyle {\frac {\Gamma ({\tfrac {3}{2}})\,\Gamma ({\tfrac {1}{2}})}{\Gamma (2)}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\cdot {\sqrt {\pi }}/[{\frac {3!}{({\tfrac {3}{2}})!2^{3}}}{\sqrt {\pi }}]={\tfrac {2}{3}}{\sqrt {\pi }}\cdot ({\tfrac {3}{2}})!}$^[11]

• numerator: ${\displaystyle \int _{0}^{x}1/[{\frac {1}{t}}-1]^{1/2}\,dt=int(t=x)-int(t=0)}$ with 0<t<1.

This solution can also be represented exactly by the analytic power series:

${\displaystyle y(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\cdot \lim _{r\to 0}{\bigl (}{\tfrac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} r^{\,n-1}}}\left[r^{n}\left({\tfrac {7}{2}}{\bigl (}\arcsin({\sqrt {r}})-{\sqrt {r-r^{2}}}{\bigr )}\right)^{-{\frac {2}{3}}n}\right]{\bigr )}=}$

${\displaystyle x/\lim _{r\to 0}[\left({\tfrac {7}{2}}{\bigl (}\arcsin({\sqrt {r}})-{\sqrt {r-r^{2}}}{\bigr )}\right)^{\frac {2}{3}}]'+{\tfrac {x^{2}}{2!}}\lim _{r\to 0}({\tfrac {\mathrm {d} ^{1}}{\mathrm {d} r^{1}}}{\bigl [}r^{2}\left({\tfrac {7}{2}}{\bigl (}\arcsin({\sqrt {r}})-{\sqrt {r-r^{2}}}{\bigr )}\right)^{-{\frac {4}{3}}}{\bigr ]})}$

${\displaystyle +{\tfrac {x^{3}}{3!}}\lim _{r\to 0}{\bigl (}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} r^{2}}}\left[r^{3}\left({\tfrac {7}{2}}{\bigl (}\arcsin({\sqrt {r}})-{\sqrt {r-r^{2}}}{\bigr )}\right)^{-2}\right]{\bigr )}+\cdots }$^[12]

Al evaluar esto se obtiene: ^{[ 13 ] [ 14 ]}

${\displaystyle y(t)/y_{0}=x-{\tfrac {1}{5}}x^{2}-{\tfrac {3}{175}}x^{3}-{\tfrac {23}{7875}}x^{4}-{\tfrac {1894}{3,031875}}x^{5}-{\tfrac {3293}{21,896875}}x^{6}-{\tfrac {2,418092}{62,077,640625}}x^{7}-\cdots }$

${\displaystyle =x-{\tfrac {1}{5}}x[x+({\tfrac {3}{7}}x^{2}+{\tfrac {23}{315}}x^{3}+{\tfrac {1894}{121,275}}x^{4}+{\tfrac {3293}{875,875}}x^{5}+{\tfrac {2,418092}{2,483,105625}}x^{6}+\cdots ){\tfrac {1}{5}}]}$

${\displaystyle =x(1-{\tfrac {1}{5}}x[1+{\tfrac {x}{5}}({\tfrac {3}{7}}+{\tfrac {x}{5}}{\bigl (}{\tfrac {23}{63}}+{\tfrac {1894}{24,255}}x+{\tfrac {3293}{175,175}}x^{2}+{\tfrac {2,418092}{496,621125}}x^{3}{\bigr )}+\cdots )]),}$

dónde

${\displaystyle x=\left[{\tfrac {3}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}-t{\sqrt {\tfrac {2\mu }{{y_{0}}^{3}}}}\right)\right]^{2/3}=[{\tfrac {3}{4}}\pi \cdot (1-t/t_{\text{ff}})]^{2/3}.}$^{[ 15 ]}

Este polinomio es difícil de obtener y no es una solución viable ^{[ 16 ]} .