Tiempo de caída libre

Es relativamente sencillo derivar el tiempo de caída libre aplicando la tercera ley de Kepler del movimiento planetario a una órbita elíptica degenerada . Consideremos una masa puntual.${\displaystyle m}$a distancia${\textstyle R}$desde una fuente puntual de masa${\textstyle M}$que cae radialmente hacia adentro. (Curiosamente, la tercera ley de Kepler depende solo del semieje mayor de la órbita y no depende de la excentricidad ). Una trayectoria puramente radial es un ejemplo de una elipse degenerada con una excentricidad de 1 y semieje mayor.${\textstyle R/2.}$Por lo tanto, el tiempo que tardaría un cuerpo en caer hacia adentro, girar y volver a su posición original es el mismo que el período de una órbita circular de radio${\textstyle R/2,}$Según la tercera ley de Kepler:$${\displaystyle t_{\text{órbita}}={\frac {2\pi }{\sqrt {G(M+m)}}}\left({\tfrac {R}{2}}\right)^{3/2}={\frac {\pi R^{3/2}}{\sqrt {2G(M+m)}}}.}$$

Para ver que el semieje mayor es${\textstyle R/2,}$Debemos examinar las propiedades de las órbitas a medida que se vuelven cada vez más elípticas. La primera ley de Kepler establece que una órbita es una elipse con el centro de masa como uno de sus focos. En el caso de una masa muy pequeña que cae hacia una masa muy grande...${\textstyle M,}$El centro de masa se encuentra dentro de la masa mayor. El foco de una elipse se descentra cada vez más a medida que aumenta su elipticidad. En el caso límite de una elipse degenerada con una excentricidad de 1, el diámetro mayor de la órbita se extiende desde la posición inicial del objeto que cae.${\textstyle R}$hasta la fuente puntual de masa${\textstyle M.}$En otras palabras, la elipse se convierte en una línea de longitud${\textstyle R.}$El semieje mayor es la mitad del ancho de la elipse a lo largo del eje largo, que en el caso degenerado se convierte en${\textstyle R/2.}$

Si el cuerpo en caída libre completara una órbita completa, comenzaría a una distancia${\textstyle R}$desde la masa de la fuente puntual${\displaystyle M}$Cae hacia adentro hasta alcanzar esa fuente puntual, luego regresa a su posición original. En sistemas reales, la masa de la fuente puntual no es realmente una fuente puntual y el cuerpo que cae finalmente colisiona con alguna superficie. Por lo tanto, solo completa la mitad de la órbita. Pero la órbita es simétrica, así que el tiempo de caída libre es la mitad del período.$${\displaystyle t_{\text{ff}}=t_{\text{órbita}}/2=\pi {\frac {(R/2)^{3/2}}{\sqrt {G(M+m)}}}=\pi R/2[{\tfrac {R/2}{G(M+m)}}]^{1/2}}$$(Esta fórmula también se deduce de la fórmula para el tiempo de caída en función de la posición ).

Por ejemplo, el tiempo que tarda un objeto en orbitar la Tierra alrededor del Sol con un período${\textstyle P=1}$año, para caer en el Sol si se detuviera repentinamente en su órbita, sería:$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\frac {P}{2^{3/2}}}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {P}{4}}.}$$Esto equivale a 64,6 días.

Ahora, consideremos un caso en el que la masa${\textstyle M}$no es una masa puntual, sino que se distribuye en una distribución esféricamente simétrica alrededor del centro, con una densidad de masa promedio de${\textstyle \rho }$,$${\displaystyle \rho ={\frac {3M}{4\pi R^{3}}},}$$donde el volumen de una esfera es:${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi R^{3}.}$

Supongamos que la única fuerza que actúa es la gravedad. Entonces, como demostró Newton por primera vez , y se puede demostrar fácilmente utilizando el teorema de la divergencia , la aceleración de la gravedad en cualquier distancia dada${\textstyle R}$desde el centro de la esfera depende únicamente de la masa total contenida en su interior.${\textstyle R.}$La consecuencia de este resultado es que si uno imaginara romper la esfera en una serie de capas concéntricas, cada capa colapsaría solo después de las capas interiores a ella, y ninguna capa se cruzaría durante el colapso. Como resultado, el tiempo de caída libre de una partícula de prueba en${\displaystyle R}$puede expresarse únicamente en términos de la masa total${\textstyle M}$interior a él. En términos de la densidad promedio interior a${\textstyle R,}$El tiempo de caída libre es ^{[ 1 ]} :$${\displaystyle t_{\text{ff}}={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {\tfrac {3\pi }{2G\rho }}}\simeq 0.5427{\tfrac {1}{\sqrt {G\rho }}}\simeq 66430{\frac {1}{\sqrt {\rho }}}}$$donde este último está en unidades del SI .

Este resultado es exactamente el mismo que el de la sección anterior cuando${\textstyle M\gg m.}$

Para un objeto que cae desde el infinito en una órbita de captura , el tiempo que tarda desde una posición dada en caer hasta la masa puntual central es el mismo que el tiempo de caída libre, excepto por una constante.${\displaystyle {\tfrac {4}{3\pi }}\approx 0.424\,.}$